Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x Je déplace l’hyperbole de la fonction inverse vers la droite : la courbe n’est pas déformée, donc reste une hyperbole.

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 fct fct … ? x 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct x x - 2 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct x x - 2 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct x x - 2 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct x x - 2 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct x x - 2 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct x x - 2 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct x x - 2 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct x x - 2 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct x x - 2 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct x x - 2 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct 3 x x - 2 2 fct … ?

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct 3 x x - 2 2 1 fct + 3 x - 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct 3 x x - 2 2 1 fct + 3 fct … ? x - 2

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct 3 x x - 2 2 1 - 1 fct + 3 fct x – 2 x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct 3 x x - 2 2 1 - 1 fct + 3 fct x – 2 x fct … ?

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? 1 1 fct fct 3 x x - 2 2 1 - 1 fct + 3 fct - 1 x – 2 x fct × 1,5 x

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? Le cas général pour avoir une hyperbole est une fct du type f(x) = … ?

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? Le cas général pour avoir une hyperbole est une fct du type 1 f(x) = a + d x + b

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? Le cas général pour avoir une hyperbole est une fct du type 1 a d(x+b) f(x) = a + d = + x + b x + b x + b

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? Le cas général pour avoir une hyperbole est une fct du type 1 a d(x+b) a + d(x+b) f(x) = a + d = + = x + b x + b x + b x + b

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? Le cas général pour avoir une hyperbole est une fct du type 1 a d(x+b) a + d(x+b) f(x) = a + d = + = x + b x + b x + b x + b dx + (a + db) dx + c = donc de la forme x + b x + b

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? Le cas général pour avoir une hyperbole est une fct du type 1 dx + c f(x) = a + d = x + b x + b e ( dx + c ) (ed)x + (ec) Ax + B = = donc cas général e ( x + b ) e x + (eb) Cx + D

Y a-t-il des fonctions qui se comportent comme la fonction inverse ? Exercice : 1°) Avec votre calculatrice graphique, tracez les courbes des fonctions suivantes : 2x + 5 5x – 1 - 3x + 7 x + 8 x – 3 - x + 2 3x + 6 - 2x + 8 ax + b que l’on pourra généraliser en cx + d 2°) Que remarquez-vous ? Ces caractéristiques dépendent de quels paramètres ?

On obtient : 2x + 5 5x – 1 - 3x + 7 x + 8 x – 3 - x + 2 3x + 6 - 2x + 8

On obtient : 2x + 5 5x – 1 - 3x + 7 x + 8 x – 3 - x + 2 3x + 6 - 2x + 8

On obtient : 2x + 5 5x – 1 - 3x + 7 x + 8 x – 3 - x + 2 3x + 6 - 2x + 8 On remarque que toutes les courbes …

On obtient : 2x + 5 5x – 1 - 3x + 7 x + 8 x – 3 - x + 2 3x + 6 - 2x + 8 On remarque que toutes les courbes sont des hyperboles. avec des axes différents. et des sens de variations différents.

2 2x + 5 5x – 1 - 3x + 7 x + 8 x – 3 - x + 2 3x + 6 - 2x + 8 3 2 -2 4 3 2 -2 4 -5 -1 -½ ax + b cx + d Les axes de la fonction inverse ont été translatés. Les verticaux sont d’équation x = …

2 2x + 5 5x – 1 - 3x + 7 x + 8 x – 3 - x + 2 3x + 6 - 2x + 8 3 2 -2 4 3 2 -2 4 -5 -1 -½ ax + b cx + d Les axes de la fonction inverse ont été translatés. d Les verticaux sont d’équation x = - qui est la valeur interdite. c

2 2x + 5 5x – 1 - 3x + 7 x + 8 x – 3 - x + 2 3x + 6 - 2x + 8 3 2 -2 4 3 2 -2 4 -5 -1 -½ ax + b cx + d Les axes de la fonction inverse ont été translatés. d Les verticaux sont d’équation x = - qui est la valeur interdite. c Les horizontaux sont d’équations y = …

2x + 5 5x – 1 - 3x + 7 1x + 8 1x – 3 -1 x + 2 3x + 6 - 2 x + 8 ax + b 2 cx + d 3 2 -2 4 -5 -1 -½ Les axes de la fonction inverse ont été translatés. d Les verticaux sont d’équation x = - qui est la valeur interdite. c a ax a Les horizontaux sont d’équations y = car lorsque x est très grand, f(x) ≈ = c ax+b ≈ ax et cx+d ≈ cx cx c

Démonstration : ax + b 1 La courbe de est une hyperbole comme celle de car : cx + d x ax + b 1 … y = = cx + d c cx + d

Démonstration : ax + b 1 La courbe de est une hyperbole comme celle de car : cx + d x ax + b 1 acx + bc y = = cx + d c cx + d

Démonstration : ax + b 1 La courbe de est une hyperbole comme celle de car : cx + d x ax + b 1 acx + bc 1 acx + ad + bc + … y = = = cx + d c cx + d c cx + d

Démonstration : ax + b 1 La courbe de est une hyperbole comme celle de car : cx + d x ax + b 1 acx + bc 1 acx + ad + bc – ad y = = = cx + d c cx + d c cx + d

Démonstration : ax + b 1 La courbe de est une hyperbole comme celle de car : cx + d x ax + b 1 acx + bc 1 acx + ad + bc – ad y = = = cx + d c cx + d c cx + d 1 a( … ) + bc – ad = c cx + d

Démonstration : ax + b 1 La courbe de est une hyperbole comme celle de car : cx + d x ax + b 1 acx + bc 1 acx + ad + bc – ad y = = = cx + d c cx + d c cx + d 1 a( cx + d ) + bc – ad = c cx + d

Démonstration : ax + b 1 La courbe de est une hyperbole comme celle de car : cx + d x ax + b 1 acx + bc 1 acx + ad + bc – ad y = = = cx + d c cx + d c cx + d 1 a( cx + d ) + bc – ad 1 bc – ad = = × … + c cx + d c cx + d

Démonstration : ax + b 1 La courbe de est une hyperbole comme celle de car : cx + d x ax + b 1 acx + bc 1 acx + ad + bc – ad y = = = cx + d c cx + d c cx + d 1 a( cx + d ) + bc – ad 1 bc – ad = = × a + c cx + d c cx + d

Démonstration : ax + b 1 La courbe de est une hyperbole comme celle de car : cx + d x ax + b 1 acx + bc 1 acx + ad + bc – ad y = = = cx + d c cx + d c cx + d 1 a( cx + d ) + bc – ad 1 bc – ad bc - ad = = × a + = … + c cx + d c cx + d …

Démonstration : ax + b 1 La courbe de est une hyperbole comme celle de car : cx + d x ax + b 1 acx + bc 1 acx + ad + bc – ad y = = = cx + d c cx + d c cx + d 1 a( cx + d ) + bc – ad 1 bc – ad a bc - ad = = × a + = + c cx + d c cx + d c c ( cx + d )

Démonstration : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b a bc – ad y = = … = + cx + d c c ( cx + d )

Démonstration : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b a bc – ad a bc – ad 1 y = = … = + = + cx + d c c ( cx + d ) c c² …

Démonstration : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b a bc – ad a bc – ad 1 y = = … = + = + cx + d c c ( cx + d ) c c² x +

Démonstration : Changement de variables : X = … ; Y = … et k = … La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b a bc – ad a bc – ad 1 y = = … = + = + cx + d c c ( cx + d ) c c² x + Changement de variables : X = … ; Y = … et k = … y = f(x) devient … = …

Démonstration : Changement de variables : d a bc – ad La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b a bc – ad a bc – ad 1 y = = … = + = + cx + d c c ( cx + d ) c c² x + Changement de variables : d a bc – ad X = x + ; Y = y - et k = c c c² y = f(x) devient … = …

Démonstration : Changement de variables : d a bc – ad La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b a bc – ad a bc – ad 1 y = = … = + = + cx + d c c ( cx + d ) c c² x + Changement de variables : d a bc – ad X = x + ; Y = y - et k = c c c² a 1 1 y = f(x) devient y - = k Y = k c x + X

Conclusion : ax + b 1 y = est devenu Y = k X et Y sont … cx + d X y x

Conclusion : ax + b 1 y = est devenu Y = k X et Y sont les nouveaux axes. cx + d X y Y X x

Conclusion : Si k = 1 alors on obtient … y Y X x ax + b 1 y = est devenu Y = k X et Y sont les nouveaux axes. cx + d X Si k = 1 alors on obtient … y Y X x

Conclusion : ax + b 1 y = est devenu Y = k X et Y sont les nouveaux axes. cx + d X 1 Si k = 1 alors on obtient Y = y X donc la même hyperbole que la fonction inverse. x

Conclusion : ax + b 1 y = est devenu Y = k X et Y sont les nouveaux axes. cx + d X 1 Si k = 1 alors on obtient Y = y X donc la même hyperbole que la fonction inverse. Si k > 1 l’ hyperbole est … x

Conclusion : ax + b 1 y = est devenu Y = k X et Y sont les nouveaux axes. cx + d X 1 Si k = 1 alors on obtient Y = y X donc la même hyperbole que la fonction inverse. Si k > 1 l’ hyperbole est x déformée vers l’extérieur.

Conclusion : ax + b 1 y = est devenu Y = k X et Y sont les nouveaux axes. cx + d X 1 Si k = 1 alors on obtient Y = y X donc la même hyperbole que la fonction inverse. Si k > 1 l’ hyperbole est x déformée vers l’extérieur. Si Si k < 0 l’ hyperbole est …

Conclusion : ax + b 1 y = est devenu Y = k X et Y sont les nouveaux axes. cx + d X 1 Si k = 1 alors on obtient Y = y X donc la même hyperbole que la fonction inverse. Si k > 1 l’ hyperbole est x déformée vers l’extérieur. Si Si k < 0 l’ hyperbole est inversée.

Remarque : Si l’on connait le nouvel axe Y grâce à x = - d/c, et le nouvel axe X grâce à y = a/c, quel information très simple me permet d’en déduire les sens de variation ? fct avec 2 croissances ? ou avec 2 décroissances ?

Remarque : Si l’on connait le nouvel axe Y grâce à x = - d/c, et le nouvel axe X grâce à y = a/c, quel information très simple me permet d’en déduire les sens de variation ? fct avec 2 croissances ? ou avec 2 décroissances ? c’est f(0) !

Remarque : Si l’on connait le nouvel axe Y grâce à x = - d/c, et le nouvel axe X grâce à y = a/c, quel information très simple me permet d’en déduire les sens de variation ? fct avec 2 croissances ? ou avec 2 décroissances ? c’est f(0) !

Exemple : 6x - 24 Soit la fonction définie par f(x) = 3x + 12 1°) Déterminez son ensemble de définition. 2°) Déterminez la forme de sa courbe. 3°) Déduisez-en ses tableaux de variations et de signes.

Exemple : 6x - 24 Soit la fonction définie par f(x) = 3x + 12 1°) Déterminez son ensemble de définition. 3x + 12 ≠ 0 3x ≠ 0 – 12 x ≠ - 12/3 = - 4 Df = ] - ∞ ; - 4 [ U ] – 4 ; + ∞ [ = R – { - 4 }

2°) Déterminez la forme de sa courbe. 6x - 24 ax + b f(x) = = 3x + 12 cx + d avec c ≠ 0 donc sa courbe est une hyperbole. Axe Y d’équation x = - 4 la valeur interdite. a 6 et axe X d’équation y = = = 2 c 3

2°) Déterminez la forme de sa courbe. ax + b f(x) = avec c ≠ 0 donc sa courbe est une hyperbole. cx + d Axe Y d’équation x = - 4 et axe X d’équation y = 2

2°) Déterminez la forme de sa courbe. ax + b f(x) = avec c ≠ 0 donc sa courbe est une hyperbole. cx + d Axe Y d’équation x = - 4 et axe X d’équation y = 2 2 - 4

2°) Déterminez la forme de sa courbe. ax + b f(x) = avec c ≠ 0 donc sa courbe est une hyperbole. cx + d Axe Y d’équation x = - 4 et axe X d’équation y = 2 2 6(0) – 24 - 24 - 4 f(0) = = = - 2 3(0) + 12 12

2°) Déterminez la forme de sa courbe. ax + b f(x) = avec c ≠ 0 donc sa courbe est une hyperbole. cx + d Axe Y d’équation x = - 4 et axe X d’équation y = 2 2 6(0) – 24 - 24 - 4 f(0) = = = - 2 - 2 3(0) + 12 12

2°) Déterminez la forme de sa courbe. ax + b f(x) = avec c ≠ 0 donc sa courbe est une hyperbole. cx + d Axe Y d’équation x = - 4 et axe X d’équation y = 2 2 6(0) – 24 - 24 - 4 f(0) = = = - 2 - 2 3(0) + 12 12

3°) tableaux de variations et de signes. ax + b f(x) = avec c ≠ 0 donc sa courbe est une hyperbole. cx + d Axe Y d’équation x = - 4 et axe X d’équation y = 2 2 f(0) = - 2 - 4 - 2 x - ∞ - 4 + ∞ f(x)

3°) tableaux de variations et de signes. f(x) = 0 = 0 6x – 24 = 0 6x = 24 x = 4 3x + 12 2 -4 -2 x - ∞ - 4 + ∞ f(x)

3°) tableaux de variations et de signes. f(x) = 0 = 0 6x – 24 = 0 6x = 24 x = 4 3x + 12 2 -4 -2 x - ∞ - 4 + ∞ f(x)

3°) tableaux de variations et de signes. f(x) = 0 = 0 6x – 24 = 0 6x = 24 x = 4 3x + 12 2 -4 -2 x - ∞ - 4 4 + ∞ f(x) + - 0 + x - ∞ - 4 + ∞ f(x)

Recherche : ax + b Soit la fonction définie par f(x) = cx + d 1°) Pourquoi doit-on avoir c ≠ 0 pour que sa courbe soit une hyperbole ? 2°) Pourquoi doit-on avoir ad – bc ≠ 0 pour que sa courbe soit une hyperbole ?

1°) Pourquoi doit-on avoir c ≠ 0 ? ax + b Si c = 0, f(x) = = … cx + d

1°) Pourquoi doit-on avoir c ≠ 0 ? ax + b ax + b a b Si c = 0, f(x) = = = x + 0x + d d d d donc f est une fonction affine, donc sa courbe est une droite, donc sa courbe ne peut être une hyperbole comme celle de la fonction inverse.

2°) Pourquoi doit-on avoir ad - bc ≠ 0 ? Si ad - bc = 0 … = … ax + b f(x) = cx + d

2°) Pourquoi doit-on avoir ad - bc ≠ 0 ? ad Si ad - bc = 0 b = puisque c ≠ 0 d’après 1°. c ax + b f(x) = = … cx + d

2°) Pourquoi doit-on avoir ad - bc ≠ 0 ? Si ad - bc = 0 b = puisque c ≠ 0 d’après 1°. ax + b ax + f(x) = = cx + d cx + d

2°) Pourquoi doit-on avoir ad - bc ≠ 0 ? Si ad - bc = 0 b = puisque c ≠ 0 d’après 1°. ax + b ax + a( … ) f(x) = = = cx + d cx + d cx + d

2°) Pourquoi doit-on avoir ad - bc ≠ 0 ? Si ad - bc = 0 b = puisque c ≠ 0 d’après 1°. ax + b ax + a(x + ) f(x) = = = cx + d cx + d cx + d

2°) Pourquoi doit-on avoir ad - bc ≠ 0 ? Si ad - bc = 0 b = puisque c ≠ 0 d’après 1°. ax + b ax + a(x + ) ( … ) f(x) = = = = cx + d cx + d cx + d cx + d

2°) Pourquoi doit-on avoir ad - bc ≠ 0 ? Si ad - bc = 0 b = puisque c ≠ 0 d’après 1°. ax + b ax + a(x + ) (cx + d) f(x) = = = = cx + d cx + d cx + d cx + d

2°) Pourquoi doit-on avoir ad - bc ≠ 0 ? Si ad - bc = 0 b = puisque c ≠ 0 d’après 1°. ax + b ax + a(x + ) (cx + d) f(x) = = = = = … cx + d cx + d cx + d cx + d

2°) Pourquoi doit-on avoir ad - bc ≠ 0 ? Si ad - bc = 0 b = puisque c ≠ 0 d’après 1°. ax + b ax + a(x + ) (cx + d) a f(x) = = = = = cx + d cx + d cx + d cx + d c

2°) Pourquoi doit-on avoir ad - bc ≠ 0 ? Si ad - bc = 0 b = puisque c ≠ 0 d’après 1°. ax + b ax + a(x + ) (cx + d) a f(x) = = = = = cx + d cx + d cx + d cx + d c donc f est …

2°) Pourquoi doit-on avoir ad - bc ≠ 0 ? Si ad - bc = 0 b = puisque c ≠ 0 d’après 1°. ax + b ax + a(x + ) (cx + d) a f(x) = = = = = cx + d cx + d cx + d cx + d c donc f est une fonction constante donc affine, donc sa courbe est une droite horizontale, donc sa courbe ne peut être une hyperbole comme celle de la fonction inverse.

II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse sont appelées fonctions homographiques. Une fonction homographique est du type …

II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse sont appelées fonctions homographiques. ax + b Une fonction homographique est du type avec … cx + d

II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse sont appelées fonctions homographiques. ax + b Une fonction homographique est du type avec c ≠ 0 et bc – ad ≠ 0 cx + d Elle est définie sur …

II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse sont appelées fonctions homographiques. ax + b Une fonction homographique est du type avec c ≠ 0 et bc – ad ≠ 0 cx + d Elle est définie sur R privé de (– d/c) Sa courbe est …

II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse sont appelées fonctions homographiques. ax + b Une fonction homographique est du type avec c ≠ 0 et bc – ad ≠ 0 cx + d Elle est définie sur R privé de (– d/c) Sa courbe est une hyperbole. Ses axes sont d’équations ...

II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse sont appelées fonctions homographiques. ax + b Une fonction homographique est du type avec c ≠ 0 et bc – ad ≠ 0 cx + d Elle est définie sur R privé de (– d/c) - d a Sa courbe est une hyperbole. Ses axes sont d’équations x = et y = … me permet d’en déduire les sens de variation. c c

II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse II Les fonctions qui se comportent comme la fonction inverse sont appelées fonctions homographiques. ax + b Une fonction homographique est du type avec c ≠ 0 et bc – ad ≠ 0 cx + d Elle est définie sur R privé de (– d/c) - d a Sa courbe est une hyperbole. Ses axes sont d’équations x = et y = f(0) me permet d’en déduire les sens de variation. c c