Le calcul : où sont les enjeux ? Christine Mangiante Maître de Conférences en didactique des mathématiques ESPE Lille Nord de France Laboratoire de Mathématiques de Lens Remercier…

En guise d’introduction Un questionnement principal… Les enjeux du calcul mental (en lien avec les différents types de calcul) …avec une entrée particulière : les besoins de formation…

En guise d’introduction A chaque changement de programmes, son lot de « nouveautés » (ici, calcul en ligne) Toute « nouveauté » suscite des questions Mise en garde : attention à ce que les « nouveautés » n’occultent pas le reste ! Attention au « buzz » ! Besoins de formation : Exprimés : que faire avec ces « nouveautés » ? Réels : clarifier les enjeux (paragraphe introductif de chacun des domaines)

En guise d’introduction Adopter un point de vue plus large (non restreint à la « nouveauté ») pour ne pas perdre de vue les autres apprentissages tout aussi importants pour mieux comprendre comment cette « nouveauté » vient s’insérer dans le domaine concerné

Identifier les besoins (réels et/ou exprimés) http://forums-enseignants-du-primaire.com/topic/303346-calcul-en-ligne-calcul-pos%C3%A9/ Bonjour, Etant PES en CE1, je me pose pas mal de questions concernant les liens entre calcul en ligne et calcul posé... Voyez-vous le calcul en ligne avant la technique opératoire ? En même temps ? Ou considérez-vous que l'on peut dissocier les deux et faire du calcul en ligne d'additions avec retenues en même temps que la technique opératoire de la soustraction par exemple ? Je ne sais pas si je suis assez claire. Merci d'avance pour vos réponses ! 5

Questions retenues Quels sont les liens entre calcul en ligne et calcul posé...et calcul mental ? Comment organiser la progressivité des apprentissages et comment penser l’articulation entre ces différents types de calcul ?

Éléments de didactique à propos du calcul mental

Un exemple pour une première mise en situation Calculer 18 x 15 Lister les différentes procédures (de calcul mental) pouvant être mise en œuvre. Les écrire sous forme d’une suite de calculs à effectuer : 18 x 15 =….=… Pour chacune de ces procédures, indiquer les différentes « connaissances à activer » 10 MINUTES

Quelques procédures possibles P1 : Décomposition du 18 18 x 15 = (10 + 8) x 15 = (10 x 15) + (8 x 15) Décompositions additives ; Distributivité ; Multiplier par 10 ; commutativité ; double ; règle : multiplier par 8 c'est doubler trois fois... P2 : Décomposition du 15 18 x 15 = 18 x (10 + 5) Décompositions additives ; Distributivité ; Multiplier par 10 ; moitié ; règle : multiplier par 15 c'est multiplier par 10 et ajouter la moitié (180+90)...

Quelques procédures possibles P3 : Raccrochage à 20 car doubler c'est facile 18 x 15 = (20 - 2) x 15 = 300 - 30 Décompositions soustractives ; Distributivité ; Décomposition multiplicative; Multiplier par 10 ; commutativité ; double ; compléments à 10 ; Calcul raisonné... P4 : Double et moitié, ici, c'est facile 18 x 15 = 9 x 2 x 15 = 9 x 30 Décompositions multiplicatives ; Double, multiplier par 10 ; associativité ; Connaissance des tables ; Calcul raisonné...

Quelques procédures possibles P5 : Il y a un 10 et multiplier par 10, c'est facile 18 x 15 = 9 x 2 x 3 x 5 = 10 x 27 Décompositions multiplicatives ; Multiplier par 10 ; commutativité ; associativité ; Connaissance des tables ; Calcul raisonné...

Eléments de didactique à propos du calcul mental Parmi ces procédures, certaines sont induites par les nombres choisis, d’autres non. Distinguer celles qui témoignent d’une adaptation et celles qui peuvent relever d’automatismes. P1 P2 P3 P4 P5 18 x 15 = (10 + 8) x 15 = (10 x 15) + (8 x 15) 18 x 15 = 18 x (10 + 5) 18 x 15 = (20 - 2) x 15 = 300 - 30 18 x 15 = 9 x 2 x 15 = 9 x 30 18 x 15 = 9 x 2 x 3 x 5 = 10 x 27 Pas d’adaptation nécessaire Adaptation aux nombres choisis

Eléments de didactique à propos du calcul mental Parmi ces procédures, certaines sont induites par les nombres choisis, d’autres non. Distinguer celles qui témoignent d’une adaptation et celles qui peuvent relever d’automatismes. P1 P2 P3 P4 P5 18 x 15 = (10 + 8) x 15 = (10 x 15) + (8 x 15) 18 x 15 = 18 x (10 + 5) 18 x 15 = (20 - 2) x 15 = 300 - 30 18 x 15 = 9 x 2 x 15 = 9 x 30 18 x 15 = 9 x 2 x 3 x 5 = 10 x 27 Adaptation possible pour calculs Adaptation possible pour calculs intermédiaires Adaptation aux nombres choisis

Que retenir ? L’enjeu : Calculer mais pas seulement ! Savoir s’adapter aux nombres donnés, c’est-à-dire mobiliser des connaissances pour réduire le coût en calcul et mémoire (ce qui suppose mettre à distance certains automatismes) Hiérarchie des procédures qui va du calcul posé à des procédures mobilisant des décompositions adaptées au calcul : de P1 à P5 Progression dans cette hiérarchie qui peut être accélérée par l’enseignant, quasi inexistante pour les élèves en difficulté Travaux de Denis Butlen

Extrait des programmes, cycle 3 Le calcul, dans toutes ses modalités, contribue à la connaissance des nombres. Ainsi, même si le calcul mental permet de produire des résultats utiles dans différents contextes de la vie quotidienne, son enseignement vise néanmoins prioritairement l’exploration des nombres et des propriétés des opérations. Il s’agit d’amener les élèves à s’adapter en adoptant la procédure la plus efficace en fonction de leurs connaissances mais aussi et surtout en fonction des nombres et des opérations mis en jeu dans les calculs.

Pour revenir aux questions retenues… Qu’est ce que le calcul mental ? Quelle(s) différence(s) et quel(s) lien(s) avec d’autres types de calculs (calcul posé, en ligne, instrumenté…) ? Pour mieux comprendre, comparons des procédures élèves à partir d’un autre exemple : 18 x 5

A retenir « Le calcul mental est un calcul sur les nombres plutôt que sur les chiffres » (Boule, 1997) Les procédures de calcul mental varient selon les nombres en jeu. Ex : 18x5, je calcule 20x5 ...etc.. Les techniques opératoires sont des algorithmes indépendants des nombres auxquels ils s’appliquent et dont ils ne prennent en compte ni l’ordre de grandeur, ni les propriétés mathématiques. Ex: 5 fois 8 quarante, 0 et je retiens 4, 5 fois 1 cinq et 4 neuf.

Éléments de didactique à propos des techniques opératoires

Tâche, technique, technologie La TACHE : effectuer l’opération posée… Pour chaque technique opératoire, distinguer : Comment on fait ? TECHNIQUE (c’est-à-dire, la suite des actions à effectuer pour obtenir le résultat de l’opération) Pourquoi ça marche ? TECHNOLOGIE (c’est-à-dire, ce qui du point de vue des mathématiques, justifie la suite des actions à effectuer) Yves Chevallard : (tâche, technique, technologie, théorie)

Addition Comment on fait ? On dispose les nombres les uns en dessous des autres en alignant à droite le chiffre des unités. Comme pour compléter le tableau des unités. centaine dizaine unité Si le nombre d’unités, de dizaines, de centaines est supérieur à 9 on place une retenue en haut de la colonne suivante… On calcule d’abord le nombre d’unités puis le nombre de dizaines puis le nombre de centaines.

Addition Pourquoi ça marche ? On calcule le nombre d’unités, si ce nombre est supérieur à 10, alors on peut faire un (ou plusieurs) paquet(s) de 10 qu’il faut ajouter au nombre de dizaines…

Comment on fait ? ● Je pose 23 X 14. ● Je commence toujours par les unités. ● 4 x 3 = ? ● 4 x 3 = 12. Comme on ne peut écrire qu’un chiffre par colonne, je note 2 dans la colonne des unités et 1 en retenue dans la partie des dizaines. ● Ensuite je calcule 4 x 20. ● J’ajoute à ce résultat ma retenue et je trouve le résultat final.

Oui, mais « pourquoi ça marche ? »

20 3 4 10

20 3 4 4x20 4x3 10 10x20 10x3

Pourquoi utiliser des grilles rectangulaires Pourquoi utiliser des grilles rectangulaires ? Pour mettre en évidence « pourquoi ça marche ? »

Quid du calcul en ligne ?

Quid du calcul en ligne ? (source Eduscol) Le calcul en ligne est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit. Il se distingue à la fois : du calcul mental, en donnant la possibilité à chaque élève, s’il en ressent le besoin, d’écrire des étapes de calcul intermédiaires qui seraient trop lourdes à garder en mémoire ; du calcul posé, dans le sens où il ne consiste pas en la mise en œuvre d’un algorithme indépendant des nombres en jeu.

Pas d’étapes de calcul intermédiaires Calcul mental Calcul en ligne Calcul posé Pas d’étapes de calcul intermédiaires Possibilité à chaque élève, s’il en ressent le besoin, d’écrire des étapes de calcul intermédiaires qui seraient trop lourdes à garder en mémoire Il ne consiste pas en la mise en œuvre d’un algorithme indépendant des nombres en jeu Mise en œuvre d’un algorithme indépendant des nombres en jeu

Calcul mental Calcul en ligne Calcul posé les habiletés développées en calcul mental sont au service du calcul en ligne le calcul en ligne peut aussi être vu comme une étape dans le développement du calcul mental Le calcul en ligne n’est pas une autre manière d’écrire un calcul posé. Algorithme spécifique Comme le calcul mental, le calcul en ligne permet à l’élève d’utiliser la richesse de ses connaissances sur le nombre et sur les propriétés des opérations.

Des nuances à apporter Automatiser/Expliciter Algorithme, non Calcul mental Calcul en ligne Calcul posé Automatiser/Expliciter Algorithme, non mais possibilité d’un raisonnement prenant appui sur des connaissances qui justifient l’algorithme Ex : Une modalité possible, mais autres supports pertinents : droite graduée, matériel de numération…

Procédures à construire TYPE DE CALCUL Calcul réfléchi Calcul automatisé Procédures à construire Résultats mémorisés ou mobilisation de procédures ou d’algorithmes automatisés

TYPE DE CALCUL Calcul réfléchi Calcul automatisé Papier / crayon « De tête » Calculatrice

TYPE DE CALCUL Calcul réfléchi Calcul automatisé Papier / crayon Détailler par écrit les différentes étapes d’un calcul réfléchi ou d’un arbre à calcul ex : 35 + 17 = 30+5+10+7 Effectuer un calcul en colonne en appliquant une technique opératoire connue. « De tête » Effectuer un calcul de tête ex : 11 fois 15 Réciter les tables, avoir recours à un répertoire mémorisé, ex : 11 fois 15 Calculatrice Utiliser le calcul comme auxiliaire dans la conduite d’une procédure ex : trouver trois entiers successifs dont la somme soit égale à 72. Utiliser la calculette dans sa fonction classique d’outil de calcul.

TYPE DE CALCUL Calcul réfléchi Calcul automatisé Papier / crayon Détailler par écrit les différentes étapes d’un calcul réfléchi ou d’un arbre à calcul ex : 35 + 17 = 30+5+10+7 Effectuer un calcul en colonne en appliquant une technique opératoire connue. « De tête » Effectuer un calcul de tête ex : 11 fois 15 Réciter les tables, avoir recours à un répertoire mémorisé, ex : 11 fois 15 Calculatrice Utiliser le calcul comme auxiliaire dans la conduite d’une procédure ex : trouver trois entiers successifs dont la somme soit égale à 72. Utiliser la calculette dans sa fonction classique d’outil de calcul.

Quels repères de progression ? des étapes écrites utiles pour l’élève sous différentes formes : calculs séparés, arbres de calcul, écritures utilisant des mots ou des flèches, ou tout autre écrit qui accompagne la démarche de l’élève progressivement, ces étapes s’organisent pour devenir un calcul écrit en ligne

Exemple au CP Cap Maths Différentes formes de présentation des procédures de calcul utilisées. Exemple : Avant de mettre en place le calcul posé de l’addition de 2 nombres, les élèves ont à utiliser le calcul réfléchi pour trouver un résultat. Exprimer les procédures retenues par des arbres de calcul, puis par une écriture d’égalités en ligne.

Dès le CE2 10 fois 2 fois 43 2 fois 10 fois 43 A partir du CE2, l’écriture d’égalités en ligne prend plus d’importance pour expliciter des procédures, mais en assurant un lien entre ces écritures et d’autres représentations des calculs. Exemple : La multiplication d’un nombre par un multiple simple de 10 ou de 100 est exprimée de diverses manières (extrait du guide de l’enseignant CE2). 10 fois 2 fois 43 2 fois 10 fois 43

Dès la fin du CE2, au CM1 et au CM2 Initiation à l’usage des parenthèses dans des situations où ils doivent interpréter de telles écritures ou dans des situations où ils doivent les produire. Exemples de calculs à interpréter et à produire

Identifier les besoins (réels et/ou exprimés) http://forums-enseignants-du-primaire.com/topic/303346-calcul-en-ligne-calcul-pos%C3%A9/ Posté(e) 8 Mars, 2014 Bonjour, Etant PES en CE1, je me pose pas mal de questions concernant les liens entre calcul en ligne et calcul posé... Voyez-vous le calcul en ligne avant la technique opératoire ? En même temps ? Ou considérez-vous que l'on peut dissocier les deux et faire du calcul en ligne d'additions avec retenues en même temps que la technique opératoire de la soustraction par exemple ? Je ne sais pas si je suis assez claire. Merci d'avance pour vos réponses ! 41

Quelques éléments de réponses Penser des séquences et prévoir des articulations Le sens d’une opération : calcul mental et calcul posé Calcul mental : en amont de la technique opératoire mais pas exclusivement Calcul en ligne : ce n’est pas du calcul posé mais cela peut aider les élèves à mieux comprendre ce qui justifie la technique opératoire (technologie) Quelles connaissances à mobiliser/technique opératoire de la soustraction ?

Plus généralement… Calculer mais pas seulement Explorer les nombres et les propriétés des opérations S’adapter en fonction des nombres et des opérations en jeu Comprendre ce qui justifie les techniques opératoires (technologies) Acquérir des automatismes Connaitre des faits numériques, les tables, des procédures automatisées… Mettre en œuvre des algorithmes simples (techniques) Plus généralement…

Identifier des besoins (d’après votre analyse) Ressources à disposition des enseignants La leçon de maths chez Lutin Bazar http://www.lutinbazar.fr/bienvenue-dans-mon-petit-univers-p44044

Identifier les besoins (exprimés) Ces besoins font-ils écho aux préoccupations des enseignants pour pouvoir entrer en résonnance ? Que disent les enseignants ? http://forums-enseignants-du-primaire.com/topic/188929-multiplier-par-10-100-et-1000/

Extraits Forum (dans l’ordre chronologique) Extrait 1 «Bonjour, Je suis en train de préparer une séquence sur la multiplication pr mes ce2. Je ne sais pas trop comment m'y prendre pour les multiplications par 10, 100 et 1000...J'aimerais qu'ils comprennent et pas qu'ils ajoutent un deux ou trois zéro après le chiffre que l'on multiplie. Quelqu'un pourrait-il me dire comment mener cette séance?? Merci d'avance! »

Extrait 2 (Réponse) « J'y vais volontairement provoc mais s'ils sont tous capables d'ajouter le nombre de 0 qu'il faut et qu'ils ne "comprennent" que plus tard, c'est déjà pas mal :P »   « Oui...enfin j'aimerais quand même qu'ils comprennent un minimum ! » « Vi vi (et je vais suivre avec attention les réponses constructives). »

Extrait 3 (autre réponse) « 3 × 10 c'est 3 paquets de 10 et 3 paquets de dix ça s'écrit 30 (retour sur le fonctionnement de notre système de numération décimal) 32 x 10 c'est 32 paquets de 10 et 32 paquets de 10 ça s'écrit 320 (retour sur le fonctionnement de notre système de numération décimal) 3 × 100 c'est 3 paquets de 100 et 3 paquets de 100 ça s'écrit 300 (retour sur le fonctionnement de notre système de numération décimal) 34 × 100 c'est 34 paquets de 100 et 34 paquets de 100 ça s'écrit 3400 (retour sur le fonctionnement de notre système de numération décimal) » « Ok...! ça commence à s'éclaircir ! »

Et en réponse à : « J'y vais volontairement provoc mais s'ils sont tous capables d'ajouter le nombre de 0 qu'il faut et qu'ils ne "comprennent" que plus tard, c'est déjà pas mal :P » « Oui... mais si on n'essaie pas d'expliquer "la règle des zéros" au CE2, on renforce, je crois, le risque qu'au CM1 ou au CM2 des élèves écrivent : 3,2 x 10 = 3,20 »

Extrait 4 : (autre réponse) « Tout à fait d'accord avec Dominique: dire qu'on rajoute un zéro risque de les perturber pour les nombres décimaux et est mathématiquement faux. L'ajout du zéro ne tombe pas du ciel: le zéro est déjà présent dans le nombre. 25 x10 c'est pareil que 25,0000 x10 Multiplier par 10 revient à "décaler" la colonne de l'unité vers la colonne des dizaines (ce n'est donc pas la virgule qui se décale mais bien le nombre; la virgule restant tjs entre l'unité et la partie décimale). Avec un tableau avec unités, dizaine, centaine et partie décimale et une explication de ce décalage, ça rentre tout seul et après la multiplication des décimaux passe beaucoup mieux car on est plus obligé de "déconstruire" un savoir pour leur apprendre un autre "truc" (ajout de zéro, décalage de virgule, etc...). »

Extrait 5 : (autre réponse) « Je suis aussi d'accord avec Dominique et Gandalf. Multiplier par 10 c'est transformer des unités en dizaines ; par 100 c'est transformer des unités en centaines ; par 1000 c'est transformer des unités en milliers. Pour qu'ils comprennent, tu peux utiliser le tableau comme le suggère Gandalf mais tu peux aussi utiliser l'abaque et déplacer les "perles" d'une tige à l'autre. Quand une tige n'a pas de perles, on met un zéro. Si on leur dit juste multiplier par 10 c'est ajouter un zéro, certains pourront mettre : 9 x 10 = 910 > cet élève a ajouté le chiffre 1 et le chiffre 0 comme on lui a dit ..... C'est important qu'ils comprennent pour les nombres décimaux ensuite et pour ne pas appliquer bêtement quelque chose qu'on leur dit. Voilà! »

Emergence d’une problématique de formation Faut-il donner ou faire construire la règle ? Quelle prise en compte des connaissances mathématiques qui permettent de justifier la règle ? Quelle anticipation des liens entre la règle et d’autres notions visées par les programmes ? Comment élaborer la règle ? Comment formuler la règle ? Comment automatiser la règle ? Comment réinvestir la règle ?...etc

Bibliographie autour du thème du calcul mental Boule, F. (2008). Le calcul mental au quotidien. Scéren – CRDP de Brougogne. Clavie, C., Peltier, M-L., Auber, P. (2005). Calcul mental au cycle 2 : des activités pour un entraînement quotidien. Paris : Hatier Clavie, C., Peltier, M-L., Auber, P. (2005). Calcul mental au cycle 3 : des activités pour un entraînement quotidien. Paris : Hatier Clivaz, S. (2011). Des mathématiques pour enseigner, analyse de l'influence des connaissances mathématiques d'enseignants vaudois sur leur enseignement de mathématiques à l'école primaire. Thèse de doctorat. Université de Genève, Genève. http://archive-ouverte.unige.ch/unige:17047 Copirelem (2012). Calcul mental à l’école primaire. Ressources et formation. Edition Arpeme