Exercice 2 : Soit le tétraèdre SABC dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux de côté a, et de base ABC horizontale. 1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral ( a non fixé ). 2°) Déterminez sa perspective cavalière ( on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et on tracera pour a = 8 cm ). 3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre ( a non fixé ). 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ).

1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral A de côté a. a a h B D C ½a a

1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral A de côté a. a a h B D C ABD est rectangle ½a donc d’après Pythagore … a

1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral. A Pythagore dans ABD : AB² = AD² + DB² a² = h² + (½ a)² B D C h² = a² - ¼ a² = ¾ a² 3 a 3 h = a² = ≈ 0,866 a 4 2

1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral. A Autre méthode : 30° adj. AD h cos 30° = = = B D C hyp. AB a 60° 3 h = a cos 30° = a 2

1°) Déterminez la hauteur h d’un triangle équilatéral. A Autre méthode : 30° opp. AD h ou sin 60° = = = B D C hyp. AB a 60° 3 h = a sin 60° = a 2

Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière (on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et on tracera pour a = 8 cm ). a

Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière (on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et on tracera pour a = 8 cm ). a ½a√3 a

Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière (on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et on tracera pour a = 8 cm ). a ½a√3 a

Exercice 2 : 2°) Déterminez sa perspective cavalière (on admettra qu’il est de hauteur ≈ 0,82a et on tracera pour a = 8 cm ). Toutes les faces sont identiques, donc le sommet est à la verticale du centre de la base. a ½a√3 a

2°) Déterminez sa perspective cavalière ½a√3 a a

2°) Déterminez sa perspective cavalière ½a√3 a a

3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre. S SH ≈ 0,82a SH = ? A B H C

3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre. S SHB est rectangle en H car le sommet est à la verticale du centre de la base. A B D H C

3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre. S On connait BS = a On veut déterminer SH = h’ Il nous faut connaître BH A B D H C

3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre. S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² Les hauteurs de ABC sont des médianes, donc H est le centre de gravité, donc il est situé aux ⅓ ⅔ sur [BD] : 2 2 a 3 BH = BD = A B 3 3 2 D H C

3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre. S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² Les hauteurs de ABC sont des médianes, donc H est le centre de gravité, donc il est situé aux ⅓ ⅔ sur [BD] : 2 2 a 3 BH = BD = A B 3 3 2 a 3 a 3 a D H = = = 3 ( 3 )² 3 C

3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre. S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² Les hauteurs de ABC sont des médianes, donc H est le centre de gravité, donc il est situé aux ⅓ ⅔ sur [BD] : 2 a 3 a BH = = A B 3 2 3 D H a ² a² h’ ² + = a² h’ ² = a² - C 3 3

3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre. 3a² a² 2a² S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² h’ ² = - = Les hauteurs de ABC sont des médianes, 3 3 3 donc H est le centre de gravité, donc il est situé aux ⅓ ⅔ sur [BD] : 2 a 3 a BH = = A B 3 2 3 D H a ² a² h’ ² + = a² h’ ² = a² - C 3 3

3°) Déterminez la hauteur h’ du tétraèdre. 3a² a² 2a² S Pythagore dans SHB : SH² + HB² = SB² h’ ² = - = Les hauteurs de ABC sont des médianes, 3 3 3 donc H est le centre de gravité, 2a² 2 donc il est situé aux ⅓ ⅔ sur [BD] : h’ = = a ≈ 0,816 a 2 a 3 a 3 3 BH = = A B 3 2 3 D H a ² a² h’ ² + = a² h’ ² = a² - C 3 3

Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). S la base A B A B C

Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). S la base A B A B C

Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). S S les faces latérales A B A B C S S C

Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). S S les faces latérales A B A B C S S C Il faut laisser les traits de construction qui servent de justifications !

Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). A Aire = 4 × ( aire d’un triangle ) S base × hauteur Aire = 4 × B C 2 A B a √3 C A D A a × 2 Aire = 4 × = a² √3

Exercice 2 : 4°) Déterminez son patron ( on tracera pour a = 8 cm ), et l’aire de son enveloppe et son volume ( a non fixé ). V = ⅓ Base × hauteur S Base = Aire de ABC = ½ base × hauteur a √3 a² √3 A B = ½ a × h = ½ a × = C 2 4 1 a² √3 2 a3 √2 V = × × a = 3 4 3 12