Trigonométrie Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle. Sinus Cosinus Tangente

La trigonométrie est une partie des mathématiques qui s’intéresse à la triangulation, c’est-à-dire aux situations que l’on peut étudier à l’aide des triangles. Elle est très utilisée dans différents domaines; notons, entre autre : La géodésie, la topographie, l’arpentage, l’astronomie, les techniques de communication, le système de position global ( GPS ), etc.

Plusieurs de ces sciences travaillent à partir de deux dimensions principales: l’horizontalité et la verticalité Sachant que ces deux dimensions sont nécessairement perpendiculaires une à l’autre, le triangle rectangle est donc un outil très utilisé. La trigonométrie s’intéresse donc aux relations entre les côtés et les angles dans les triangles.

Avant d’aborder tout problème de trigonométrie, il faut savoir nommer les côtés d’un triangle rectangle. Hypoténuse (c’est le plus grand des côtés, c’est aussi le côté opposé à l’angle droit). Côté opposé à l’angle. Côté adjacent à l’angle. Attention Hypoténuse Côté adjacent à l’angle. Côté opposé à l’angle.

Relations entre les côtés Les mots sinus, cosinus et tangente représentent des rapports entre les côtés d’un triangle rectangle. A B C Sinus d’un angle: le rapport de la mesure du côté opposé à l’angle sur la mesure de l’hypoténuse. 5 3 m CB 3 5 Sin A : = = 0,6 m AC 4 Cosinus d’un angle: le rapport de la mesure du côté adjacent à l’angle sur la mesure de l’hypoténuse. m AB 4 5 Cos A : = = 0,8 m AC Tangente d’un angle: le rapport de la mesure du côté opposé à l’angle sur la mesure du côté adjacent à l’angle. m CB 3 4 Tan A : = = 0,75 m AB

Pour t’aider à les retenir, utilise ce petit truc : Soh Cah Toa A B C S o h inus : pposé ypoténuse C a h osinus : djacent ypoténuse T o a angente : pposé djacent

De quel rapport s’agit-il ? c a b : tangente a a c : sinus b b c : cosinus a b c a c : cosinus b a : tangente b c : sinus

Quel rapport représente : b b a tangente : a b c sinus : c a c cosinus : a b tangente : a b c a c sinus : b c cosinus :

Que valent les rapports suivants : 6 6 8 tangente : ou 0,75 8 6 10 ou 0,6 sinus : 10 8 10 ou 0,8 cosinus : 16 20 ou 0,8 sinus : 16 12 20 ou 0,6 cosinus : 20 12 16 12 tangente : ou ≈ 1,3333

Remarque: Les cathètes étant plus petites que l’hypoténuse, les rapports sinus et cosinus sont toujours < 1. 3 5 4 5 B Sin A : le rapport sinus en fonction de l’angle A. Cos A : 5 4 5 3 5 Sin B : 3 le rapport sinus en fonction de l’angle B. Cos B : A C 4 Le rapport tangente est le seul qui peut être plus grand que 1. 3 4 4 3 Tan A : Tan B :

Relations avec les angles Il existe une relation étroite entre les côtés et les angles d’un triangle. Observe 1 1 1 Pour une même longueur d’hypoténuse, la longueur du côté face à l’angle est influencée par la grandeur de l’angle. Conséquemment, l’autre angle aigu diminue à mesure que le premier augmente. et le côté qui lui fait face diminue aussi.

semblables, les rapports des côtés homologues sont proportionnels. 1,5 À l’inverse, on pourrait créer plusieurs triangles rectangles sans changer la mesure de l’angle aigu. 3 Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300, la mesure du côté faisant face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse. 2 Dans les triangles semblables, les rapports des côtés homologues sont proportionnels. 1,5 300 1 1 0,5 Tous ces triangles sont semblables par la propriété AA. Donnons-leurs des mesures. Tous les rapports SINUS sont égaux à : 1 2 0,5 1 1 2 1,5 3 = = Donc un rapport sinus de ou 0,5 signifie que l’angle mesure 1 2 300.

tous les triangles rectangles ayant un angle de 450 Il en est de même pour tous les triangles rectangles ayant des angles homologues isométriques. Exemples: 450 tous les triangles rectangles ayant un angle de 450 auront les mêmes valeurs sinus, cosinus et tangente. tous les triangles rectangles ayant un angle de 600 auront les mêmes valeurs sinus, cosinus et tangente. 600 vont donc nous aider à déterminer la mesure des angles qui leurs sont associés. Les rapports entre les côtés sinus, cosinus et tangente

Anciennement, il fallait utiliser une table de rapports trigonométriques. Cette table indiquait la valeur des angles associés à chaque rapport trigonométrique. Exemples: Pour connaître la mesure de l’angle associé à un rapport sinus de : 0,5 m = 300 0,7071 m = 450 0,8660 m = 600

Aujourd’hui, on utilise l’ordinateur, la calculatrice scientifique ou la calculatrice à affichage graphique. Attention Il faut préparer la calculatrice. Par défaut, la calculatrice est programmée pour déterminer les angles en utilisant une autre unité de mesure, soit le radian. Le radian est une unité de mesure utilisée pour évaluer les angles dans le cercle trigonométrique. Dans les triangles, nous utilisons le degré ( 0 ) pour évaluer les angles. Il faut donc en changer le réglage.

Pèse sur le bouton Mode Dans le menu qui apparaît, sélectionne degré à l’aide des flèches bleues. Pèse sur pour confirmer. ENTER Attention 3 2 2nd Si tu réinitialises: la calculatrice reviendra en mode radian. Donc avant de commencer un travail de trigonométrie, assure-toi d’être en mode degré.

Repère les touches sin cos tan ce sont les touches à utiliser. Calculons la valeur de l’angle associé à un sinus de 0,5. Voici la séquence: 1) Pèse sur la touche 2nd puis sur la touche sin La fenêtre d’affichage inscrira sin-1 ; cela signifie qu’elle est prête à donner la valeur de l’angle. 2) Inscris la valeur du sinus : 0,5 et pèse sur ENTER La calculatrice indiquera 30 soit 300 .

Détermine les mesures d’angles associés aux rapports trigonométriques suivants: Tan A = 0,7211 Tan-1 0,7211 m A = 35,795373350 ≈ 35,80 Remarque: Pour les besoins de nos calculs, un chiffre après la virgule est suffisant. Cos B = 0,4226 Cos-1 0,4226 m B = 65,001154480 ≈ 650 Sin A = 0,4848 Sin-1 0,4848 m A = 28,999369790 ≈ 290 Tan A = 6,3138 Tan-1 6,3138 m A ≈ 810

Quelles sont les mesures des angles du triangle suivant ? 3 5 Sin A = = 0,6 Sin-1 0,6 ≈ 36,90 36,90 A B C 3 4 5 Remarque: Pour calculer plus rapidement et plus précisément, tu peux utiliser la séquence suivante: Sin-1 ( 3 ÷ 5 ) ENTER ≈ 36,90 Remarque: Tu aurais pu déterminer la mesure de l’angle A en utilisant n’importe quel rapport. Cos-1 ( 4 ÷ 5 ) ≈ 36,90 Tan-1 ( 3 ÷ 4 ) ≈ 36,90 car les rapports entre les côtés ne sont pas les mêmes mais l’angle associé, oui.

Quelle est la mesure de l’angle C? Ici encore, on pourrait utiliser n’importe lequel des trois rapports sinus, cosinus ou tangente pour déterminer la mesure de l’angle C. A B C 3 4 5 36,90 Mais, on peut aussi le déterminer en utilisant soit l’axiome: « La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .›› donc m C = 1800 - ( 900 + 36,90 ) ≈ 53,10 soit l’axiome: « Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.›› donc m C = 900 - 36,90 ≈ 53,10

Détermine la mesure des angles de ce triangle. 4,1 7,2 D E F À partir des informations fournies, il faut utiliser le rapport tangente. 4,1 7,2 Soit Tan F : Tan-1 ( 4,1 ÷ 7,2 ) ≈ 29,70 m F = 29,70 et m D = 900 - 29,70 ≈ 60,30 7,2 4,1 Soit Tan D : Tan-1 ( 7,2 ÷ 4,1 ) ≈ 60,30 m D ≈ 60,30 et m F = 900 – 60,30 ≈ 29,70

Remarque: Les rapports trigonométriques ne sont définis que pour les angles aigus d’un triangle rectangle, car, comme le triangle est rectangle, on connaît déjà l’angle de 900 . et avec cet angle les rapports sinus, cosinus et tangente n’ont pas vraiment de signification. hypoténuse Sinus : côté opposé hypoténuse Cosinus : hypoténuse côté adjacent lequel ? Tangente: côté opposé côté adjacent hypoténuse ? lequel ?

Dans le triangle ci-contre, que vaut la mesure de l’angle θ ? 6 cm 4,8 cm θ A B C Remarque : Selon les informations, il faut utiliser le rapport cosinus. est la huitième lettre de l’alphabet grec. Elle se prononce et s’écrit thêta. 4,8 6 Cos θ = m θ = Cos-1 ( 4,8 ÷ 6 ) ≈ 36,90 . Elle sert souvent de symbole pour identifier un angle : m θ. 70 m 65 m A B C Dans le triangle ci-contre, que vaut la mesure de l’angle A ? Selon les informations, il faut utiliser le rapport sinus. 65 70 Sin A = m A = Sin-1 ( 65 ÷ 70 ) ≈ 68,20 .

Quelle est la mesure de l’angle d’élévation d’un segment ayant une pente de 23% ? Remarque: Remarque : La pente ou l’inclinaison d’un segment est toujours déterminée en fonction L’angle d’élévation est l’angle du regard vers le haut. de la verticalité sur l’horizontalité. L’angle de dépression est l’angle du regard vers le bas. 23 23 Une pente de 23% veut donc dire 100 100 L’angle d’élévation peut donc être calculer avec le rapport tangente. 23 100 Tan A = m A = Tan-1 ( 23 ÷ 100 ) ≈ 130 .

Conclusion Les rapports trigonométriques SINUS, COSINUS ET TANGENTE sont des outils très utilisés pour résoudre des situations triangulaires. Nous venons de voir comment, avec la calculatrice et ces rapports, nous pouvons déterminer les angles d’un triangle rectangle. côté opposé à l’angle hypoténuse Exemple: Sinus θ : Sin-1 = m θ La calculatrice permet aussi de déterminer le rapport trigonométrique associé à un angle. Exemple : Que vaut le rapport sinus d’un angle de 480 ? Démarche: 1) Pèse sur la touche Sin la calculatrice affiche sin. 2) Inscris la mesure de l’angle et pèse sur ENTER La calculatrice affiche 0,7431448255, c’est le rapport entre les côtés. La calculatrice sera très utile pour résoudre des triangles.