Dépannage du 12 mars 2007

Exercice 1 Selon les analystes financiers, les taux d'intérêt pour les prochains mois sont très incertains; ils pourront se situer entre 4 % et 11 % avec de bonnes chances de demeurer entre 6 % et 9 %.

Exercice 3.1 (suite) En fait, après plusieurs rencontres avec ces analystes, vous estimez la densité de probabilité comme suit : où X dénote la variable aléatoire représentant le taux d'intérêt d'une journée donnée au cours des prochains mois.

Exercice 1 (suite) Afin de caractériser davantage les taux d'intérêt, on vous demande : a) de déterminer la hauteur h dans le graphique ci-haut; b) de trouver l'expression analytique de fx(x); c) d'estimer le taux d'intérêt espéré ainsi que le taux modal; d) le fractile d'ordre 20 %; e) la probabilité que le taux d'intérêt en vigueur le 23 mars prochain soit inférieur à 8 %.

1 a) Déterminer la hauteur h dans le graphique Pour déterminer la hauteur h, on sait que l’aire de la figure doit être égale à 1. Nous savons 1 = aire du triangle 1 + aire du rectangle 2 + l’aire du triangle 3

Exercice 1 a) (suite) Alors:

1 b) Trouver l'expression analytique de fX(x) Commençons par trouver l’équation mathématique permettant de représenter la densité entre 4 et 6: y = mx + b où m = pente de la droite b = ordonnée à l’origine Trouvons m: Trouvons b: y2 – m x2 =1/5 – (1/10) * 6 = -4/10 Donc, y = (1/10)x – (4/10) pour X entre 4 et 6.

Exercice 1 b) (suite) De la même manière, on obtient: y = (-1/10)x + (11/10) pour X entre 9 et 11 y = 1/5 pour X entre 6 et 9.

Exercice 1 b) (suite) L’expression analytique est donc:

1 c) Estimer le taux d'intérêt espéré ainsi que le taux modal Quand une distribution est symétrique, la moyenne est égale à la médiane. Dans ce cas-ci, médiane = (11-4)/2 + 4 = 7.5 Alors, la moyenne est égale à 7.5. Pour ce qui est du taux modal, il est évident, en regardant le graphique, que la classe modale est [6, 9]

1 d) Déterminer le fractile d'ordre 20 % On cherche le X pour lequel l’aire à gauche de ce X sera de 0,2. … Essais et erreurs… Nous obtenons finalement, avec x = 6: A = (b*h)/2 = (2*0,2)/2 = 0,2 Donc, le fractile d’ordre a = 0,20 est 6.

1 e) Déterminer la probabilité que le taux d'intérêt en vigueur le 23 mars prochain soit inférieur à 8 % On cherche donc l’aire sous la courbe pour X < 8: Premier triangle: Aire = 0,2 = 1/5 (voir en d)) Rectangle de X = 6 à X = 8: Aire = (1/5) * (8-6) = 2/5 Le total de ces deux parties est donc: 1/5 + 2/5 = 3/5

Exercice 2 Une compagnie se demande si elle doit acheter une certaine machine qui lui permettrait de sauver plusieurs heures de travail. Cette machine coûterait 100 000$ et serait utilisée durant une année à un coût horaire d’opération de 50$ et pourrait être revendue à la fin de l’année pour 28 000$. Le directeur de la production estime qu’il pourrait sauver 2 800 heures de travail durant l’année avec cette machine et que chaque heure sauvée permettrait d’économiser 80$. Selon lui, le nombre d’heures sauvées suit une distribution normale de moyenne 2800 et qu’il y a 90% de chances que ce nombre soit entre 2600 et 3000.

2 a) Déterminer les paramètres de la distribution du nombre d’heures sauvées. X ~ N (  = 2800, ² = ? ) Puisque la variance est inconnue, il faut la déterminer à partir des informations fournies. Nous savons que: Puisque la distribution normale centrée réduite est symétrique, nous pouvons affirmer que:

Exercice 2 a) (suite) En cherchant dans la table de la loi normale centrée réduite, on trouve que la valeur de z qui correspond à P(z>Z) = 0,05 est z = 1,645 et ainsi: Donc Alors, X ~ N (  = 2800, ² = 14781,8 )

Calculez la probabilité qu’il n’ait pas pris la bonne décision. Exercice 2 b) Après réflexion, le directeur décide d’acheter la machine. Selon lui, si le nombre d’heures épargnées est supérieur à 2400, il aura pris la bonne décision. Calculez la probabilité qu’il n’ait pas pris la bonne décision.

2 b) Calculez la probabilité qu’il n’ait pas pris la bonne décision. Risque = P(X < 2400) Le risque est relativement faible

Exercice 3 Dans une entreprise, 200 machines de même puissance fonctionnent indépendamment. La probabilité qu’une machine soit en opération à un moment donné est de 60%. On s’intéresse au nombre de machines en opération à un moment donné. X = nombre de machine en opération X ~ Bin(n=200, p=0,6)

Exercice 3 (Théorie) Théorème central limite: Si X~Bin(n,p) et que: - p < 0,5 et np > 5 - p > 5 et nq > 5 Alors, X ~ N(np, npq) (Convergence de la binomiale vers la normale) Nous pouvons donc affirmer que: X ~ N(np = 120, npq = 48)

3 a) Trouver la valeur maximale du nombre n de machines en opération qui est telle qu’on ait 99% des chances d’atteindre cette valeur n? On cherche donc la valeur de x telle que P(x < X)= 0,99. Ainsi: Il faut aller dans la table de la loi normale afin de trouver à quelle valeur de z correspond la probabilité de 0,99. Nous trouvons Z = 2,326. De là, En isolant, nous obtenons x = 135,60 donc 136 machines.

3 b) Calculer la probabilité que le nombre de machines en opération un moment donné soit supérieur à 120. On cherche P(X>120). Puisqu’on utilise > et que c’est un cas discret (nombre de machines), nous devons donc appliquer le facteur de correction de la continuité (p.294 du livre). Ainsi, P(X>120,5)

3 c) Calculer la probabilité que le nombre de machines en opération un moment donné soit entre 113 et 127 inclusivement. Dans ce cas-ci, nous n’avons pas besoin d’utiliser le facteur de correction de la continuité étant donné que nous utilisons « ≤ » (le 113 et le 127 sont inclus).