On a une infinité d’angles remarquables ! Deux réels au même endroit, mais différents : a ≠ b a b

On a une infinité d’angles remarquables ! Deux réels au même endroit, mais différents : a ≠ b a b b = a + k2π avec k un nombre entier ( positif ou négatif )

On a une infinité d’angles remarquables ! Deux réels au même endroit, mais différents : x cos ( x + k2π ) = cos x x + k2π sin ( x + k2π ) = sin x k est un nombre entier ( positif ou négatif ), + k2π est une formule classique donc il n’est pas obligatoire de préciser que k est un entier.

Deux points du cercle trigo, ayant la même ordonnée : x π 0 π 0

Deux points du cercle trigo, ayant la même ordonnée : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π-x x π 0

Deux points du cercle trigo, ayant la même ordonnée : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π-x x cos ( π – x ) = - cos x π 0 sin ( π – x ) = sin x

Deux points symétriques par rapport à l’origine : x π 0 π 0

Deux points symétriques par rapport à l’origine : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x x π 0 π + x

Deux points symétriques par rapport à l’origine : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x x π 0 cos ( π + x ) = - cos x π + x sin ( π + x ) = - sin x

Deux points ayant la même abscisse : x

Deux points ayant la même abscisse : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x x - x

Deux points ayant la même abscisse : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x x cos ( – x ) = cos x 0 sin ( – x ) = - sin x - x .

Deux points symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle droit : π/2 x .

Deux points symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle droit : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/2 π/2-x x

Deux points symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle droit : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/2 π/2-x x cos ( π/2 – x ) = sin x sin ( π/2 – x ) = cos x

Deux points obtenus par la même rotation des réels 0 et π/2 : π/2 x

Deux points obtenus par la même rotation des réels 0 et π/2 : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/2+x π/2 x

Deux points obtenus par la même rotation des réels 0 et π/2 : deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/2+x π/2 x cos ( π/2 + x ) = - sin x sin ( π/2 + x ) = cos x

3°) Formule valable pour tout réel x : Le repère est orthonormé, donc x

3°) Formule valable pour tout réel x : Le repère est orthonormé, donc Pythagore x (cos x)² + (sin x)² = 1²

3°) Formule valable pour tout réel x : Le repère est orthonormé, donc Pythagore x (cos x)² + (sin x)² = 1² cos² x + sin² x = 1 Convention d’écriture : cos² x = ( cos x )² ≠ cos (x²) Elle permet d’en déduire un cos ou un sin à partir de l’autre, ou de vérifier deux valeurs exactes.

Application : 13π - √3 - 1 On connaît cos = 12 2 √2 Déterminez son sinus ( sans calculatrice ).

Application : 13π - √3 - 1 A = cos A = 12 2 √2 cos² A + sin² A = 1 - √3 – 1 ² sin² A = 1 - cos² A = 1 – 2 √2

A = 13π / 12 - √3 – 1 ² 3 + 2 √3 + 1 sin² A = 1 – = 1 – 2 √2 4×2 8 4 + 2 √3 4 - 2 √3 … ² = – = = 8 8 8 …

4 - 2 √3 3 - 2 √3 + 1 √3 – 1 ² sin² A = = = 8 4×2 2 √2 donc sin A = …

A = 13π / 12 4 - 2 √3 3 - 2 √3 + 1 √3 – 1 ² sin² A = = = 8 4×2 2 √2 √3 – 1 donc sin A = 2 √2

A = 13π / 12 4 - 2 √3 3 - 2 √3 + 1 √3 – 1 ² sin² A = = = 8 4×2 2 √2 √3 – 1 √3 – 1 donc sin A = ou sin A = - 2 √2 2 √2

√3 – 1 √3 – 1 sin A = ou sin A = - 2 √2 2 √2 13π/12 = 0 + π + 2π/24 √3 – 1 √3 – 1 sin A = ou sin A = - 2 √2 2 √2 13π/12 = 0 + π + 2π/24 Je pars de 0, j’avance de 0,5 tour, puis de 1/6 de ¼ de tour :

√3 – 1 √3 – 1 sin A = ou sin A = - 2 √2 2 √2 13π/12 = 0 + π + 2π/24 √3 – 1 √3 – 1 sin A = ou sin A = - 2 √2 2 √2 13π/12 = 0 + π + 2π/24 Je pars de 0, j’avance de 0,5 tour, puis de 1/6 de ¼ de tour : sin A < 0

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ …

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ On place sin x = - ½ : le sinus est l’ordonnée du point.

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ On place sin x = - ½ : le sinus est l’ordonnée du point. Il y 2 points d’ordonnée – ½, donc 2 réels a et b qui conviennent. b a

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ On place sin x = - ½ : le sinus est l’ordonnée du point. Il y 2 points d’ordonnée – ½, donc 2 réels a et b qui conviennent. On veut résoudre, donc déterminer des valeurs exactes, que l’on trouvera à partir des angles remarquables. Dans le tableau des angles remarquables, celui qui s’approche le plus est : sin π/6 = + ½ ( il n’y a pas de négatifs dans le tableau des angles π/6 remarquables, qui sont tous dans le 1er quart de cercle en haut à droite ). b a

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 sens trigo π/6 0 b a

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 π/6 On a par symétrie trajet = trajet donc b = π + trajet = 7π/6 π 0 ou : b = π/6 + π b a

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 π/6 On a par symétrie trajet = trajet donc b = π + trajet = 7π/6 π 0 On aurait aussi pu faire : b = π/6 + π = 7π/6 et a = π/6 + 10π/6 = 11π/6 b a

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 π/6 On a par symétrie trajet = trajet donc b = π + trajet = 7π/6 π 0 On aurait aussi pu faire : b = π/6 + π = 7π/6 ou b = a - 4π/6 = - 5π/6 qui est différent mais au bon endroit. b a

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 π/6 On a par symétrie trajet = trajet donc b = π + trajet = 7π/6 π 0 b a S = { - π/6 + k2π ; 7π/6 + k2π }

Exercice 4 : résoudre sin x = - ½ Solutions : si j’ajoute un nombre entier de tours à un réel, le nouveau réel est au même endroit, donc l’ensemble des solutions est tous les x de S = { - π/6 + k2π ; 7π/6 + k2π } π/6 π 0 7π/6 - π/6

Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2 …

Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2 On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. a b

Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2 On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. Pour les déterminer en valeurs exactes, il faut utiliser un angle remarquable. cos π/4 = + √2 / 2 a π/4 b

Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2 On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. Pour les déterminer en valeurs exactes, il faut utiliser un angle remarquable. cos π/4 = + √2 / 2 et utiliser les symétries : a π/4 π 0 b

Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2 On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. Pour les déterminer en valeurs exactes, il faut utiliser un angle remarquable. cos π/4 = + √2 / 2 et utiliser les symétries : trajet t = π/4 – 0 = π/4 donc a = π – t = π – π/4 = 3π/4 et b = a + t + t = π + t = 5π/4 a π/4 π 0 b

Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2 On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. Pour les déterminer en valeurs exactes, il faut utiliser un angle remarquable. cos π/4 = + √2 / 2 et utiliser les symétries : trajet t = π/4 – 0 = π/4 donc a = π – t = π – π/4 = 3π/4 et b = a + t + t = π + t = 5π/4 a π/4 π 0 S = { 3π/4 ; 5π/4 } b

Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2 On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. Pour les déterminer en valeurs exactes, il faut utiliser un angle remarquable. cos π/4 = + √2 / 2 et utiliser les symétries : trajet t = π/4 – 0 = π/4 donc a = π – t = π – π/4 = 3π/4 et b = a + t + t = π + t = 5π/4 a π/4 Lorsqu’on ajoute un nombre entier de tours on est au même endroit : π 0 S = { 3π/4 + k2π ; 5π/4 + k2π } b