La fonction inversement proportionnelle f(x) = x a

La fonction inversement proportionnelle est une fonction où la variable indépendante est au dénominateur. f(x) = x a Pour obtenir les valeurs de la variable dépendante, il faut diviser une constante par la variable indépendante. Exemple : La distance entre 2 villes est de 100 km. On aimerait représenter le temps que prendrait ce trajet en fonction de la vitesse. - Variable indépendante (x) : la vitesse en km/h - Variable dépendante (f(x)) : le temps (h) La constante : 100 km/h.

La table de valeurs suivante traduit cette situation. La règle est : 100/x. x : la vitesse (km/h) f(x) : le temps (h) 1 5 10 25 50 100 100 20 10 4 2 1 Voici le graphique : 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Temps (h) Vitesse (km/h) Distance à franchir

x : la vitesse (km/h) x La constante = 100 km f(x) : le temps (h) 1 5 25 50 100 100 20 10 4 2 1 Pour calculer les différentes valeurs de f(x), la règle est : f(x) = 100 x f(5) = 100 5 = 20 f(25) = 100 25 = 4 etc.

Caractéristiques de la fonction inversement proportionnelle 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Temps (h) Vitesse (km/h) Distance à franchir La courbe de cette fonction est courbe. - Il n’y a pas d’ordonnée à l’origine. - Elle ne traverse pas l’axe des y. (Si la vitesse est nulle, on ne peut pas franchir de distance.) - Il n’y a pas d’abscisse à l’origine. - Elle ne traverse pas l’axe des x. (Même si la vitesse est de plus en plus grande, il faudra toujours un certain temps pour franchir la distance.) - La variation est inverse, puisque lorsque x augmente, f(x) diminue.

x : la vitesse (km/h) x X f(x) = a Caractéristiques de la fonction inversement proportionnelle 1 100 5 20 10 25 4 50 2 x : la vitesse (km/h) f(x) : le temps (h) La principale caractéristique de cette fonction est la suivante. Lorsque les valeurs de x sont multipliés par celles de f(x), le produit est toujours identique. Exemples : x X f(x) = a 1 X 100 = 100 5 X 20 = 100 10 X 10 = 100 25 X 4 = 100 50 X 2 = 100 100 X 1 = 100 Cette fonction est donc une situation de proportionnalité.

x x x X f(x) = 1 X a x . f(x) = a x . f(x) = a x Cette fonction peut être écrite de deux manières : f(x) = x a En utilisant une des propriétés des proportions : f(x) = x a 1 x X f(x) = 1 X a x . f(x) = a f(x) = x a La fonction inversement proportionnelle : ou x . f(x) = a Cette forme d’écriture est intéressante pour savoir si une fonction représente bien une fonction inversement proportionnelle.

x : le nombre d’ouvriers Exemple : Un entrepreneur veut construire une maison. Il désire évaluer le temps que prendrait la tâche en fonction du nombre d’ouvriers. Il considère que la construction à effectuer demande 1 000 heures de travail. Cette situation correspond-elle à une fonction inversement proportionnelle ? 2 500 5 200 10 100 25 40 x : le nombre d’ouvriers f(x) : le temps (h) x . f(x) = a 2 X 500 = 1 000 5 X 200 = 1 000 10 X 100 = 1 000 25 X 40 = 1 000 C’est bien une fonction inversement proportionnelle.

x : le nombre d’ouvriers Remarque : Dans une fonction inversement proportionnelle, le taux de variation n’est pas constant. 2 500 5 200 10 100 25 40 x : le nombre d’ouvriers f(x) : le temps (h) y2 – y1 x2 – x1 = 200 - 500 5 - 2 = - 100 100 - 200 10 - 5 = - 20 40 - 100 25 - 5 = - 3