Fonction partie entière f(x) = a [ b (x – h) ] + k Rôle des paramètres Remarque : Tu devrais visionner la présentation « Fonction en escalier.ppt » avant de visionner celle-ci.

La fonction partie entière est un type de fonction en escalier. Fonction en escalier quelconque Impôt fédéral Les marches ont des longueurs différentes. Ce qui la distingue, c’est sa régularité. Les distances entre les marches sont différentes. Les marches ont toutes la même longueur. La distance entre les marches est toujours la même.

f(x) = a [ b (x – h) ] + k La fonction partie entière de base est représentée par f(x) = [ x ]. Les paramètres a, b, h, k vont transformer cette fonction de base. Regardons, en premier, ce que signifie f(x) = [ x ].

Le symbole [ x ] signifie le plus grand entier inférieur ou égal à x. Exemple : Si x = 2,25 alors [ x ] = [ 2,25 ] = 2. Soit le plus grand entier inférieur à 2,25. 2 1 3 … -2 -3 -1 2,25 Le plus grand entier inférieur. Si x = 45,99 alors [ x ] = [ 45,99 ] = 45. Si x = 489,23 alors [ x ] = [ 489,23 ] = 489. Si x = 26 alors [ x ] = [ 26 ] = 26.

Le symbole [ x ] signifie le plus grand entier inférieur ou égal à x. Attention : Si x = - 2,25 alors [ x ] = [ - 2,25 ] = - 3 Soit le plus grand entier inférieur à - 2,25. 2 1 3 … -2 -3 -1 - 2,25 Le plus grand entier inférieur. Si x = - 78,1 alors [ x ] = [ - 78,1 ] = - 79. … - 78 - 79 - 77 - 78,1 Le plus grand entier inférieur.

La fonction partie entière sert à représenter certaines situations dans lesquelles la variable dépendante ne varie pas alors que la variable indépendante varie. Prenons comme exemple ton âge. Variable indépendante Variable dépendante À ton dernier anniversaire, tu as eu 15 ans. À 15 ans et 1 mois, tu as encore 15 ans. À 15 ans et 3 mois, tu as encore 15 ans. À 15 ans et 6 mois, tu as encore 15 ans. À 15 ans et 9 mois, tu as encore 15 ans. À 15 ans et 12 mois, soit à ton prochain anniversaire, tu auras 16 ans. Durant toute l’année, on ne retient que la partie entière de ton âge, soit 15 ans.

Représentons par un graphique l’âge d’un enfant. Années depuis la naissance Âge Âge d’un enfant 1 2 3 4 5 6 7 Chaque trait vertical représente 1 mois. Durant toute la première année, x varie, mais y ne varie pas, l’âge est de 0 an. Durant toute la deuxième année, x varie, mais y ne varie pas, l’âge est de 1 an. Ainsi de suite.

Le modèle théorique de la fonction partie entière de base est : f(x) = [ x ] Caractéristiques : y 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 La longueur des marches est de 1 unité. Les intervalles de valeurs de la variable indépendante sont fermés à gauche, ce qui signifie que la première valeur de l’intervalle est incluse. x Exemple : [ 0 , 1 [ : - La distance entre les marches est de 1 unité. - L’ordonnée à l’origine est 0. - Les abscisses à l’origine sont dans l’intervalle [ 0 , 1 [ . La fonction f , partie entière de x , qui associe à chaque nombre réel x le plus grand entier inférieur ou égal à x est définie par f(x) = [ x ] ; dom f = IR et ima f = Z. Soit la partie entière seulement. { … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }

La fonction partie entière de base est f(x) = [ x ] . Les paramètres a, b, h, k transforment cette fonction de base. On obtient alors f(x) = a [ b (x – h) ] + k Forme canonique. Regardons le rôle joué par chacun de ces paramètres. Pour bien comprendre ces rôles, utilisons une table de valeurs restreinte et le graphique qui lui est associé. -2 -1,1 -1 -0,1 0,9 1 1,9 2 x f(x) = [ x ] y

Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres. Le paramètre a : f(x) = a [ b (x – h) ] + k b = 1, h = 0 et k = 0 f(x) = a [ 1 (x – 0) ] + 0 f(x) = a [ x ] f(x) = 1 [ x ] x f(x) = [ x ] f(x) = 1 [ x ] -2 -1,1 -1 -0,1 0,9 1 1,9 2 -2 -2 -1 -1 1 1 2 -2 -2 -1 -1 1 1 2 x y 1 2 -1 -2 f(x) = 1 [ x ] f(x) = [ x ] Fonction de base.

Réflexion par rapport à l’axe des x . Fonction décroissante. y 1 2 -1 -2 Fonction croissante. f(x) = 1 [ x ] f(x) = - 1 [ x ] x f(x) = [ x ] f(x) = - 1 [ x ] -2 -1,1 -1 -0,1 0,9 1 1,9 2 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 2 1 1 -1 -1 -2 1 2 -1 -2 x y Réflexion par rapport à l’axe des x . Fonction décroissante.

La distance verticale entre les marches augmente. Étirement vertical. x … -1 -0,1 0,9 1 1,9 … f(x) = [ x ] … -1 -1 1 1 … f(x) = 2 [ x ] … -2 -2 2 2 … x y 1 2 -1 -2 a > 1 La distance verticale entre les marches augmente. Étirement vertical. x f(x) = [ x ] … -2 -1,1 -1 -0,1 0,9 1 1,9 -2 -2 -1 -1 1 1 f(x) = 0,5 [ x ] -1 -1 -0,5 -0,5 0,5 0,5 0 < a < 1 x y 1 2 -1 -2 La distance verticale entre les marches diminue. Compression verticale.

Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres. Le paramètre b : f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, h = 0 et k = 0 f(x) = 1 [ b (x – 0) ] + 0 f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ] x -2 -1,1 -1 -0,1 0,9 1 1,9 2 f(x) = [ 1 x ] [ -2 ] [ -1,1 ] [ -1 ] [ -0,1 ] [ 0 ] [ 0,9 ] [ 1 ] [ 1,9 ] [ 2 ] f(x) = [ 1 x ] -2 -2 -1 -1 1 1 2 x y 1 2 -1 -2 f(x) = [ 1 x ] f(x) = [ x ] Fonction de base.

Réflexion par rapport à l’axe des y. Fonction décroissante. 1 2 -1 -2 Fonction croissante. f(x) = [ 1 x ] b > 0 f(x) = [ - b x ] x -2 -1,9 -1 -0,9 0,1 1 1,1 2 f(x) = [ -1 x ] [ 2 ] [ 1,9 ] [ 1 ] [ 0,9 ] [ 0 ] [ -0,1 ] [ -1 ] [ -1,1 ] [ -2 ] f(x) = [ -1 x ] 2 1 1 -1 -1 -2 -2 x y 1 2 -1 -2 Réflexion par rapport à l’axe des y. Fonction décroissante. b < 0

Compression horizontale. x -1 -0,6 -0,5 -0,1 0,4 0,5 0,9 1 f(x) = [ 2 x ] [ -2 ] [ -1,2 ] [ -1 ] [ -0,2 ] [ 0 ] [ 0,8 ] [ 1 ] [ 1,8 ] [ 2 ] f(x) = [ 2 x ] -2 -2 -1 -1 1 1 2 x y 1 2 -1 -2 b > 1 Compression horizontale. La longueur des marches (intervalles) diminue. x -2 -1 -0,1 1 1,9 2 2,5 3 f(x) = [ 0,5 x ] [ -1 ] [ -0,5 ] [ -0,05 ] [ 0 ] [ 0,5 ] [ 0,95 ] [ 1 ] [ 1,25 ] [ 1,5 ] f(x) = [ 0,5 x ] -1 -1 -1 1 1 1 x y 1 2 -1 -2 0 < b < 1 Étirement horizontal. La longueur des marches (intervalles) augmente.

Translation horizontale vers la droite. Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres. Le paramètre h : f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, b = 1 et k = 0 f(x) = 1 [ 1 (x – h) ] + 0 f(x) = [ (x – h) ] f(x) = [ x – h ] f(x) = [ x – h ] x -1 -0,1 0,9 1 1,9 2 2,9 3 f(x) = [ x – 1 ] [ -2 ] [ -1,1 ] [ -1 ] [ -0,1 ] [ 0 ] [ 0,9 ] [ 1 ] [ 1,9 ] [ 2 ] f(x) = [ x – 1 ] -2 -2 -1 -1 1 1 2 x y 1 2 -1 -2 Translation horizontale vers la droite.

Translation horizontale vers la gauche. f(x) = [ x – h ] x -3 -2,1 -2 -1,1 -1 -0,1 0,9 1 f(x) = [ x + 1 ] [ -2 ] [ -1,1 ] [ -1 ] [ -0,1 ] [ 0 ] [ 0,9 ] [ 1 ] [ 1,9 ] [ 2 ] f(x) = [ x + 1 ] -2 -2 -1 -1 1 1 2 h = - 1 x y 1 2 -1 -2 Translation horizontale vers la gauche.

Translation verticale vers le haut. Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres. Le paramètre k : f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, b = 1 et h = 0 f(x) = 1 [ 1 (x – 0) ] + k f(x) = [ x ] + k f(x) = [ x ] + k x … -2 -1,1 -1 -0,1 0,9 1 1,9 f(x) = [ x ] -2 -2 -1 -1 1 1 f(x) = [ x ] + 1 -1 -1 1 1 2 2 x y 1 2 -1 -2 Translation verticale vers le haut.

Translation verticale vers le bas. f(x) = [ x ] + k x -1 -0,1 0,9 1 1,9 2 2,9 … f(x) = [ x ] -1 -1 1 1 2 2 … f(x) = [ x ] - 1 -2 -2 -1 -1 1 1 … k = -1 x y 1 2 -1 -2 Translation verticale vers le bas.

En résumé : Le paramètre a f(x) = a [ x ] a = 1 a > 1 2 -1 -2 f(x) = a [ x ] x y a = 1 a > 1 0 < a < 1 a < -1 -1 < a < 0 a = -1

En résumé : Le paramètre b f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ] b = 1 2 -1 -2 f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ] x y b = 1 b > 1 0 < b < 1 b = -1 b < -1 -1 < b < 0

En résumé : Le paramètre h f(x) = [ x ] f(x) = [ x + h ] 1 2 -1 -2 f(x) = [ x ] f(x) = [ x + h ] f(x) = [ x – h ] x y 2 1 -2 -1 1 2 -1 -2 h < 0 h > 0 Le paramètre k 1 2 -1 -2 f(x) = [ x ] f(x) = [ x ] + k x y k < 0 k > 0

a et b de signes contraires. Fonction décroissante. Remarque : a et b du même signe. Fonction croissante. b : positif 1 2 -1 -2 x y a : positif a : négatif b : négatif 1 2 -1 -2 x y a et b de signes contraires. Fonction décroissante. a : positif b : négatif a : négatif b : positif 1 2 -1 -2 x y 1 2 -1 -2 x y

Attention Pour interpréter correctement les paramètres d’une fonction partie entière, il faut que celle-ci soit écrite en forme canonique. f(x) = a [ b (x – h) ] + k Exemple : f(x) = 2 [ 2x – 4 ] + 1 Ce n’est pas la forme canonique. Le coefficient de x doit être +1. f(x) = 2 [ 2 (x – 2) ] + 1 C’est la forme canonique. Simple mise en évidence. a = 2 b = 2 h = 2 k = 1 Exemple : f(x) = 3 [ 5 - x ] - 2 Ce n’est pas la forme canonique. f(x) = 3 [ - x + 5 ] - 2 Ce n’est pas la forme canonique. f(x) = 3 [ - ( x – 5 ) ] - 2 C’est la forme canonique. Simple mise en évidence. a = 3 b = -1 h = 5 k = -2

Pour bien comprendre la fonction partie entière, c’est-à-dire : - analyser les caractéristiques de la fonction; - déterminer la règle de la fonction; - tracer le graphique de la fonction; - résoudre l’équation; il faut bien saisir le rôle de chaque paramètre.