Propriétés de la fonction partie entière Remarque : Tu devrais visionner la présentation : - Fonction partie entière, rôle des paramètres.ppt avant de visionner celle-ci. - Fonction partie entière, graphique et règle.ppt

∞ ∞ Voici la fonction partie entière de base : Analysons ses propriétés. 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y dom : R Tous les réels sont représentés par l’ensemble des marches (intervalles). codom : Z soit { … , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … } On ne retient que la partie entière des nombres, donc que des entiers. f(x) : R soit sur l’ensemble de son domaine. [ 0 , + ∞ f(x) ≥ 0 : ∞ - , 1 [ f(x) ≤ 0 : Ordonnée à l’origine ( f(0) ) : Abscisses à l’origine ( f(x) = 0 ) : pour x [ 0 , 1 [ Extrémum : aucun

Voici une fonction partie entière transformée : f(x) = -2 [ 0,5 ( x – 1 ) ] - 2 Analysons ses propriétés. Remarque : Pour analyser une fonction partie entière, il est préférable de dessiner son graphique; quelques marches, autour de l’origine, suffisent. dom : R 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y Dans la fonction partie entière, f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k Les paramètres b et h sont reliés au domaine de la fonction. Les paramètres a et k sont reliés au codomaine. En posant b = 1, h = 0 et n pour représenter l’ENTIER, nous obtenons codom : { y R | y = an + k, n Z } Dans la fonction ci-contre, codom : y = -2n - 2, n Z soit ima : { … , -4, -2, 0, 2, 4, … }

∞ ∞ f(x) : R soit sur l’ensemble de son domaine. - , 1 [ f(x) ≥ 0 : [ -1 , + ∞ 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y f(x) ≤ 0 : Ordonnée à l’origine ( f(0) ) : Abscisses à l’origine ( f(x) = 0 ) : pour x [ -1 , 1 [ Extrémum : aucun

Il peut arriver qu’une fonction partie entière n’ait pas de zéro. Remarque : Il peut arriver qu’une fonction partie entière n’ait pas de zéro. Dans la règle, 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k on peut le constater. 0 = a [ b ( x – h ) ] + k - k = a [ b ( x – h ) ] - k = [ b ( x – h ) ] a Si – k a Z , il n’y a aucun zéro. Si – k a Z , il y a une infinité de zéros.

Exemples f(x) = -2 [ x ] + 1 – k a - 1 - 2 = = 0,5 0,5 Z aucun zéro. y 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y – k a - 1 - 2 = = 0,5 0,5 Z aucun zéro.

Exemples f(x) = -2 [ 0,5 ( x – 1 ) ] - 2 – k a = 2 - 2 = -1 -1 Z 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y = -1 -1 Z une infinité de zéros. Remarque : On dit une infinité de zéros, car dans l’intervalle [ -1 , 1 [ il y a une infinité de nombres.

Les propriétés d’une fonction sont différentes lorsqu’elle est en contexte, c’est-à-dire lorsque qu’on l’étudie en lien avec une situation réelle. Exemple : Pour stimuler ses vendeurs et vendeuses, le gérant d’une boutique leur accorde une prime supplémentaire de 50,00 $ pour chaque tranche de 1 000,00 $ de ventes effectuées. Analyse cette situation (fonction) sur le domaine [ 0 , 6 000 [. Montant des ventes ($) Primes ($) 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 Primes reçues en fonction des ventes effectuées. 50 100 150 200 250 codom : { 0 , 50, 100, 150, 200, 250 } f(x) : [ 0 , 6 000 [ f(x) ≥ 0 : [ 0 , 6 000 [ f(x) < 0 : aucun intervalle f(0) : f(x) : 0 pour x [ 0 , 1 000 [ Extrémum : max. abs. : 250 min. abs. : 0