Les relations - Règles - Variables - Table de valeurs - Graphiques

Une relation est un lien (un rapport) existant entre des choses, des situations ou des personnes. Exemples : Un bureau de médecin offre 20 $ de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale. Il y a une relation entre le nombre d’heures travaillées et le salaire gagné. Un plein d’essence. Il y a une relation entre la quantité d’essence et le coût. Le poids d’une personne et le nombre de calories absorbées. Il y a une relation entre le nombre de calories absorbées par une personne et l’augmentation de son poids. Ton résultat à un examen. Il y a une relation entre le nombre de bonnes réponses et la note obtenue.

Une relation est un lien (un rapport) existant entre des choses, des situations ou des personnes. La mathématique permet de quantifier ou de qualifier ces différentes relations. Exemple : Un bureau de médecin offre 20,00$ de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale. On aimerait trouver une méthode permettant de calculer le salaire de la secrétaire. x En représentant le nombre d’heures travaillées par une simple lettre soit et le salaire de la secrétaire par une autre lettre soit y, on peut décrire la relation suivante: Le salaire = 20 $ X le nombre d’heures travaillées y = 20 $ X x y = 20 x Cette règle signifie qu’il y a une relation entre le nombre d’heures travaillées et le salaire de la secrétaire . L’algèbre nous permet donc d’établir une relation entre ces deux variables.

Il y a autant de règles représentant des relations qu’il y a de situations. x y = 7 x x y = 2 + 5 y = - 4 + 3 x y = 2 2 + 5 + 6 x Ex. : y = 100 x Chaque règle est constituée de lettres et de nombres. Les lettres sont appelées les variables, les nombres sont appelés les coefficients. Dans la règle suivante : y = 2 + 5 x sont les variables sont les coefficients. Attention : dans le terme 2 x , le 2 est uni à par le signe de multiplication. x 2 x x = 2 X En algèbre, il y a toujours une multiplication entre un coefficient et une variable.

Heures travaillées (x) Nous pouvons représenter une relation par : - Un texte : Un bureau de médecin offre 20,00$de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale. y = 20 x - Une règle : - Une table de valeurs : Heures travaillées (x) 1 2 3 4 5 6 7 … Salaire (y = 20 x) 20 40 60 80 100 120 140 Temps (heures) 140 120 100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salaire ($) Salaire d’une secrétaire médicale - Un graphique : Tu dois donc être capable de passer d’un mode de représentation à un autre.

Avant de commencer, faisons un retour sur le plan cartésien. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 y x Le plan cartésien sert à situer des points et des lignes. L’axe horizontal s’appelle l’axe des x ou l’axe des abscisses. L’axe vertical s’appelle l’axe des y ou l’axe des ordonnées. Le point de rencontre des deux axes s’appelle l’origine.

D’abord, on donne sa position par rapport à l’axe des abscisses 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 y x Situer un point : Exemple : ( 3 , 8 ) D’abord, on donne sa position par rapport à l’axe des abscisses (l’axe des x). ici 3 Ensuite, on détermine sa position par rapport à l’axe des ordonnées (l’axe des y). ici 8 Puis, une virgule ou un point-virgule est inscrit entre les deux nombres. 3 , 8 ou 3 ; 8 Enfin, ces nombres sont placés entre des parenthèses. ( 3 , 8 ) ou ( 3 ; 8 ) 3 étant l’abscisse du point (x); 8 étant l’ordonnée du point ( y ). Ce couple de nombres s’appelle les coordonnées du point.

Donne les coordonnées des points suivants : y Exercice : Donne les coordonnées des points suivants : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 y x 1. ( 7 , 4 ) 2. ( 9 , 10 ) 3. ( 2 , 0 ) 4. ( -5 , 7 ) 5. ( -8 , -7 ) 6. ( 9 , -4 ) 7. ( 0 , 0 )

Un graphique peut utiliser tout le plan cartésien ou seulement une partie. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 y x Règles de construction : y x Chaque axe doit être divisé en parts égales (en morceaux égaux). incorrect correct incorrect correct

Règles de construction : y x Chaque axe doit être divisé en parts égales. 15 20 35 50 68 79 80 97 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 Les graduations doivent être divisée également. incorrect correct L’origine est le nombre 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 6 7 9 10 11 12 15 16 incorrect correct

pour respecter les graduations. y x Si certaines valeurs ne sont pas représentées, tu dois l’indiquer par ce symbole : 20 30 40 50 60 70 80 90 10 pour respecter les graduations. 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Si le graphique représente une situation réelle, tu dois : - identifier chaque axe; - donner un titre au graphique; - tracer la courbe. Salaire d’une secrétaire médicale 140 120 100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salaire ( $ ) Temps (heures)

La table de valeurs est un autre moyen de représenter une relation. Elle peut être : - horizontale; 1 2 3 4 5 6 7 20 40 60 80 100 120 140 Temps ( hres) : x Salaire : y = 20x - verticale. 1 2 3 4 5 6 7 Temps (hres) : x 20 40 60 80 100 120 140 Salaire : y = 20x

Complète une table de valeurs, puis trace le graphique de la règle Problème : Complète une table de valeurs, puis trace le graphique de la règle y = x Remplis d’abord une table de valeurs, construis le graphique et trace la courbe. y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y = x soit le couple ( 0 , 0 ) 1 1 ( 1 , 1 ) 2 2 ( 2 , 2 ) 3 3 ( 3 , 3 ) 4 4 ( 4 , 4 ) 5 5 ( 5 , 5 ) 6 6 ( 6 , 6 ) 7 7 ( 7 , 7 ) Remarque : Dans le plan cartésien, une série de points reliés porte le nom de courbe même si c’est une ligne droite.

Complète une table de valeurs, puis trace le graphique de la règle Problème : Complète une table de valeurs, puis trace le graphique de la règle y = 2x Remplis d’abord une table de valeurs, construis le graphique et trace la courbe. y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 x y = 2x 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 7 14 Remarque : La table de valeurs nous permet de graduer correctement le graphique.

Problème : Complète cette table de valeurs et trace le graphique de la règle y = 4x + 5 selon les valeurs de x indiquées dans la table. 2 5 8 12 15 17 20 x y = 4x + 5 y = 4 X x + 5 5 y = 4 X 0 + 5 = 5 13 y = 4 X 2 + 5 = 13 25 y = 4 X 5 + 5 = 25 37 y = 4 X 8 + 5 = 37 53 et ainsi de suite… 65 73 85 Priorités d’opérations : Nous devons multiplier le coefficient de x avant d’additionner le coefficient seul.

Les calculs ne coïncident pas toujours avec la grille du graphique; y x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 30 40 50 60 70 80 90 x y = 4x + 5 100 5 2 13 5 25 8 37 12 53 15 65 17 73 20 85 Remarque : Les calculs ne coïncident pas toujours avec la grille du graphique; la précision est donc de mise.

Complète une table de valeurs, puis trace le graphique de la règle : Problème : Complète une table de valeurs, puis trace le graphique de la règle : y = 100/x pour les valeurs de x indiquées dans la table. y x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 2 4 5 10 20 25 50 1 x y = 100/x 100 50 25 20 10 5 4 2

x Dans tous ces exemples, x et y portent des noms particuliers : - x est appelé la variable indépendante, car elle sert de référence pour décrire la relation: elle représente les valeurs de départ. Nous pouvons lui donner n’importe quelle valeur. - y est appelé la variable dépendante, car elle dépend des calculs effectués avec la règle et les valeurs données à x . Exemples : y = 4x + 5 x Si x vaut 2 5 8 12 15 17 20 13 25 37 53 65 73 85 5 Si x vaut 1 2 3 4 5 6 7 9 13 17 21 25 29 33 5 y dépend des calculs effectués avec la règle et les valeurs données à x.

Déterminer les variables dans une mise en situation. Il est très facile de déterminer les variables indépendante et dépendante dans une table de valeurs ou un graphique. 1 2 3 4 5 6 7 20 40 60 80 100 120 140 Temps (hres) : x Salaire : y = 20 x Variable indépendante Variable dépendante

x Salaire d’une secrétaire médicale Variable dépendante y Salaire ($) 140 120 100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salaire ($) Variable indépendante x Temps (heures)

Dans une mise en situation, il faut lire attentivement le texte. Exemple : Un bureau de médecin offre 20,00$ de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale. On s’intéresse à la relation entre le salaire et le nombre d’heures travaillées. Le salaire dépend du nombre d’heures travaillées. Variable indépendante (x) : le temps (en heures) Variable dépendante (y) : le salaire (en $)

Exemple : On s’ intéresse au coût d’un plein d’essence selon la quantité de litres versés. Le coût dépend de la quantité de litres. Variable indépendante (x) : le nombre de litres Variable dépendante (y) : le coût ( en $ )

Exemple : Tu aimerais avoir un bon résultat à ton prochain examen de mathématique. Ton résultat dépendra des bonnes réponses que tu donneras. Variable indépendante (x) : le nombre de bonnes réponses Variable dépendante (y) : ton résultat ( en % )

Exemple : Un boyau remplit un réservoir à raison de 50 litres à la minute. La quantité d’eau dans le réservoir dépend du temps de remplissage. Variable indépendante (x) : le temps ( en minutes ) Variable dépendante (y) : la quantité d’eau dans le réservoir ( en litres )

Exemple : On s’intéresse à l’aire d’un cercle en fonction de son rayon. L’aire du cercle dépend de la mesure du rayon. Variable indépendante (x) : la mesure du rayon Variable dépendante (y) : l’aire du cercle

Exemple : À son école Fabienne a remarqué qu’il faut d’abord monter 4 marches pour entrer au rez-de-chaussée, et puis gravir 22 marches par étage. On s’intéresse aux nombres de marches en fonction du nombre d’étages. Le nombre de marches dépend du nombre d’étages. Variable indépendante (x) : le nombre d’étages Variable dépendante (y) : le nombre de marches Dans une mise en situation, il faut lire attentivement le texte.