EXPERIMENTER EN MATHEMATIQUES

Dans les programmes « L’objectif est de développer conjointement et progressivement les capacités d’expérimentation et de raisonnement, d’imagination et d’analyse critique. Elles contribuent ainsi à la formation du futur citoyen. »

Dans les programmes Les élèves prennent conscience petit à petit de ce qu’est une véritable activité mathématique : identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution.

Dans les programmes (programme de sixième) La démarche d’apprentissage renforce également la formation intellectuelle de l’élève, développe ses capacités de travail personnel (individuellement et en équipes) et concourt à la formation du citoyen. Elle vise notamment à :  développer les capacités de raisonnement : observation, analyse, pensée déductive ;  stimuler l’aptitude à chercher qui nécessite imagination et intuition ;  habituer l’élève à justifier ses affirmations, à argumenter à propos de la validité d’une solution, et pour cela à s’exprimer clairement aussi bien à l’écrit qu’à l’oral;  affermir les qualités d’ordre et de soin.

Dans les programmes (programmes de cycle central) l’étude des mathématiques au cycle central permet aux élèves d’appréhender l’existence de lois logiques et développe : le sens de l’observation ; l’imagination raisonnée, l’ouverture d’esprit ; une attitude critique et réfléchie vis-à-vis de l’information disponible ; la rigueur et la précision ; le respect de la vérité rationnellement établie ; l’esprit critique : distinction entre le prouvé, le probable ou l’incertain, la prédiction et la prévision, situation d’un résultat ou d’une information dans son contexte ; la volonté de justesse dans l’expression écrite et orale, du goût pour l’enrichissement du vocabulaire ; la volonté de se prendre en charge personnellement ; l’ouverture à la communication, au dialogue, au débat ; l’envie de prendre des initiatives, d’anticiper, d’être indépendant et inventif en développant les qualités de curiosité et créativité.

Introduction commune aux disciplines scientifiques La démarche d’investigation S’appuie sur le questionnement des élèves sur la résolution de problèmes Canevas : choix d’une situation par le professeur Appropriation du problème par les élèves Formulation de conjectures… Investigation ou résolution du problème par les élèves Échange argumenté autour de propositions élaborées Acquisition et structuration des connaissances Opérationnalisation des connaissances

L’expérimentation en mathématiques LES HUIT MOMENTS DE L’ACTIVITÉ MATHÉMATIQUE (GTD de Mathématiques – “anciens programmes”) Formuler un problème Conjecturer un résultat Expérimenter sur des exemples Bâtir une démonstration Mettre en œuvre des outils théoriques Mettre en forme une solution Contrôler les résultats obtenus Évaluer la pertinence de ces résultats

Les situations – problèmes Elles permettent de découvrir une nouvelle notion Problème facilement compréhensible Que les élèves peuvent aborder avec leurs propres connaissances Mais Les anciennes connaissances ne suffisent pas Les nouvelles connaissances sont le meilleur outil

Les situations – problèmes Exemple 1 : la division Exemple 2 : les cartes

LES PROBLEMES OUVERTS : DEFINITION Énoncé court Facilement compréhensible par tous Accessible à tous Ni réponse ni méthode dans la question Un problème pouvant avoir plusieurs démarches de résolution (donc non lié au chapitre en cours)

LES PROBLEMES OUVERTS : COMPETENCES VISEES Développer une « démarche scientifique » s’approprier un problème Prendre des initiatives Mobiliser et structurer des connaissances Avoir un regard critique sur son propre travail Se confronter aux autres : argumenter, critiquer, comparer…

LES PROBLEMES OUVERTS : QUELLE MISE EN OEUVRE? Le plus tôt possible dans l’année et dans le cursus D’abord en classe entière (dégager une méthodologie) En groupes En recherches individuelles En temps libre En évaluation

LES PROBLEMES OUVERTS : QUELLE MISE EN OEUVRE? Gestion en classe entière : Analyse collective Phase de recherche individuelle Phase de recherche collective Écriture d’une démarche aboutissant à la solution

LES PROBLEMES OUVERTS : DEMARCHE (un exemple possible) Celle-ci pourra être utilisée de façon non chronologique, avec des allers retours entre les différentes étapes. Représenter de la situation En géométrie, faire une figure, éventuellement dynamique ( avec un logiciel) ; Faire un arbre, un tableau ; Donner des exemples… Expérimenter Observer ; Faire des essais… en utilisant la calculatrice, ou le tableur … Conjecturer Emettre des conjectures (vraies ou fausses) ; Indiquer des pistes de résolutions ; Indiquer des méthodes pouvant être utilisées… démontrer Sélectionner les outils géométriques, numériques, graphiques : Rédiger une solution  ( si les outils choisis ne conviennent pas, recommencer)… vérifier Vérifier la cohérence entre expérimentation et justification ; Revenir sur les conjectures pour les valider ou non…

LES PROBLEMES OUVERTS : COMMENT EVALUER?

LES PROBLEMES OUVERTS : COMMENT EVALUER?

LES PROBLEMES OUVERTS : COMMENT EVALUER?

LES PROBLEMES OUVERTS : DES EXEMPLES

Travaux en groupes Quelques remarques : Il ne s’agit pas de détailler tous les types de travaux en groupes Il s’agit de diversifier les pratiques pédagogiques Le travail en groupes peut se pratiquer aussi bien lors d'une activité préparatoire, d'une démonstration, d’une séance d’exercices, en correction de contrôles...

DES CHOIX A FAIRE Groupes homogènes ou hétérogènes? Groupes imposés ou par affinités? Même travail pour tous ou travaux différentiés? Quel type de production est attendue? Quel type de restitution est la plus adaptée?

Déroulé succinct du Travail en Groupes : Définir l’objectif de l’activité de groupe Temps de préparation Définir la forme de la production Définir l’organisation du travail Elaborer des consignes (nb de groupes, nb d’élèves dans chaque groupe, choix des élèves, choix des rôles à attribuer …) Prévoir l’organisation de la synthèse finale Présentation en 4 temps: Le temps de préparation La présentation aux élèves Le temps de travail La mise en commun Temps de préparation: On peut insister sur le temps de travail qui est conséquent, car beaucoup de choses importantes sont à prévoir. Présentation aux élèves: La présentation aux élèves est un moment important; il faut s ’assurer que les consignes ont été bien comprises par les élèves pour que le travail en groupe puisse s’engager correctement. Distribution des consignes Présentation aux élèves  Installation des groupes Formation des groupes Distribution des rôles dans les groupes …

Déroulé succinct du Travail en Groupes : Il doit faire la part des choses entre : Le travail individuel (appropriation) Le travail de groupe L’élaboration de la production Temps de travail Pour le professeur : rester en retrait… Observation du travail de chaque groupe Temps de travail: Le professeur reste en retrait pour observer, intervenir ponctuellement. Mise en commun: Partie importante qui reconnaît le travail des élèves et les met en valeur. Elle permet aussi d’institutionnaliser le résultat cherché. On constate que, là encore, le professeur garde toute liberté d’organisation. Bilan qui sert de conclusion avec plusieurs orientations : Chaque groupe est représenté par un rapporteur, le professeur sélectionne des groupes « représentatifs », … Le professeur peut aussi décider de présenter un document de travail individuel ou représentatif d’un groupe d’affectation Mise en commun

Inconvénients ou difficultés du travail en groupes Pour l’élève Période d’adaptation Il y a quand même des règles à respecter (autorité du prof, respect des autres,…) Pour le professeur Temps de préparation Nécessité d’une évaluation diagnostique pour définir les objectifs de la séance, constituer les groupes et les gérer S’adapter aux rendus des élèves  prise de risques L ’énumération met en évidence la difficulté d ’appréhender ce genre de travail dans un premier temps. L ’habitude permet de se donner des points de repères qui facilitent par la suite l ’organisation d ’une telle activité. Bruit Vigilance de l’enseignant  instaurer des règles avec les élèves

Avantages du travail en groupes Pour l’élève Motivant : Approche ludique, Valorisation du travail Renforce la formation intellectuelle : Développe l’esprit d’initiative de l’élève Adaptation au rythme des élèves : voulue par le professeur en fonction des groupes, organisée par les élèves eux-mêmes au sein d’un groupe Expression orale ou écrite : Verbalisation , Production obligatoire Formation du citoyen : Les élèves permettent aux autres d’apprendre, Plus d’idées à plusieurs Pour le professeur : La liste n ’est pas exhaustive; chacun peut y trouver des avantages qui sont liés à sa personnalité. Poser des questions: L ’élève se pose des questions à lui-même ou bien pose des questions aux autres camarades de son groupe. Il y a donc échange d ’idées; l ’élève développe naturellement son aptitude à chercher, à critiquer. Finalement, les élèves apprennent en apprenant aux autres Mieux repérer les origines des erreurs des élèves (en direct) Le temps d'activité de l’élève est supérieur à celui d’un élève en travail frontal Gestion des élèves en difficulté peut se trouver facilitée (en faisant évoluer les groupes , ou en donnant des activités différentiées,...)

Thème du travail et problématique Exemple de guide d’organisation CADRE CONTENU Groupe de production Groupe de 4 élèves Un très bon élève dans chaque groupe, puis répartition suivant les affinités Type de groupe Premier sujet problème type brevet Réussir à gérer un problème avec des questions qui s’enchaînent Thème du travail et problématique Exemple d ’une fiche qui peut servir à l ’organisation d ’un travail en groupes. Ici, le cas d ’un travail mené en troisième pour l ’entraînement au brevet a été donné la dernière heure avant les vacances de Noël. 1h pour faire le sujet 1h pour la mise en commun Durée et déroulement

Supports mis à disposition Le livre et le cahier Chaque groupe travaille à son rythme et gère son temps pas de mise en commun pendant l’heure. Attention il y a une copie par groupe à rendre et tous les élèves devront prendre la correction Tout le groupe doit rester au même niveau Consignes et négociation du cadre de travail Correction au tableau: chaque groupe corrigera une partie au tableau après avoir reçu sa copie et après avoir eu le temps de faire les rectifications nécessaires. C’est moi qui choisit l’élève de chaque groupe qui passera au tableau Mode de mise en commun envisagé Une copie par groupe sera notée /12 Une note non chiffrée sera donnée au groupe après le passage au tableau (cela permet de voir s’il y a eu une bonne communication dans le groupe, et s’il y a eu des progrès lors du travail de groupe suivant) Mode d’évaluation