Quelques questions communes aux P.E.R. et à la D.D.E. Nadia Douek IREM de Nice

Articuler des questions émanant des travaux sur les PER des travaux sur la DDE et sur l'argumentation de l'équipe de Gênes.... à partir du TD de M. Bosch à EE15 : Plan d'épargne et modélisation algébrique,Vers une ingénierie didactique des PER et de certaines des questions ouvertes Comment la DDE (principes, méthodologie, méthodes de travail en classe ou bien son cadre théorique) peuvent entrer en résonance avec ces questionnements. Exemples de l'adaptation des travaux de l'équipe Gênes par le groupe IREM de Nice, pour expliciter quelques- une de ces résonances

Quelques questions ouvertes par le TD Lobjectif : travailler lalgèbre, produire la réponse à la question proposée, de « vivre » le parcours détude et de recherche ? Le changement de contrat entre PER et « enseignement classique » => le statut de lenseignant passe de référent du savoir à celui dune source parmi dautres ( dans les deux sens) Quel type danalyse épistémologique et institutionnelle sous-tend la construction dune question à fort pouvoir générateur ? Existe-t-il des outils permettant de prévoir les questions qui pourraient être formulées par les élèves ? Quest-ce qui est (doit ou peut être) institutionnalisé dans un PER ouvert ? Quelle est linstitution de référence? Comment institutionnaliser les différentes connaissances mises en œuvre pour quelles deviennent savoir ? Quels fondements et critères des choix des questions intermédiaires ? faire un AER sur les pourcentages avant ou pendant le PER, construire la formule petit à petit ou la donner toute faite. Fabrication conjointe du milieu, dilatation du temps didactique (ralentissement du nombre d'objets nouveaux apportés par le prof). Le travail d'écriture ainsi que la présentation et la discussion des résultats fait partie de l'activité mathématique. Auxquelles j'ajoute : Moyens de validation

Quelques questions ouvertes par le TD Quest-ce qui est (doit ou peut être) institutionnalisé dans un PER ouvert ? Comment institutionnaliser les différentes connaissances mises en œuvre pour quelles deviennent savoir ? lenseignant référent / source parmi dautres ( dans les deux sens) Le travail d' fait partie de l'activité mathématique. Auxquelles j'ajoute : Moyens de validation

La dimension culturelle de l'activité mathématique Lobjectif : travailler lalgèbre, réponse à la question proposée, « vivre » le parcours détude et de recherche ?... institutionnalisation? Quelle analyse épistémologique et institutionnelle sous-tend la QG ? Quelle est linstitution de référence? La conceptualisation, le langage, l'argumentation Fabrication conjointe du milieu, dilatation du temps didactique Le travail d'écriture, la présentation et discussion des résultats L'argumentation enseignant référent du savoir / source parmi dautres Les domaines d'expérience Rapports entre Question génératrice, questions intermédiaires et D.E.? Un point de vue développemental dialectique élaborations du sujet / constructions communes Dialectique CS/CQ enseignant référent du savoir / source parmi dautres Routines de gestion de séquences Où situer la question génératrice; où situer les questions intermédiaires écriture, présentation et discussion des résultats Méthodologie de la recherche pour l'innovation prévoir les questions qui pourraient être formulées par les élèves ? Qu'est-ce qu'un PER?

La dimension culturelle de l'activité mathématique... considérée dans deux sens faire entrer l'élève dans une culture (à cerner) partir de sa culture... (à cerner aussi) le sens est déterminé par la culture du sujet et par son activité un objet de savoir fait sens pour un sujet s'il a un caractère culturel et plus spécialement s'il est susceptible d'être « instrumentalisé » (Rabardel, 1999) par le sujet Dialectique outil objet ? Les vecteurs de Maggy Schneider le D.E. des ombres du soleil Choix d'un domaine de la culture, d'une ( ou de) question(s) Choix des tâches (pratiques/praxéologies caractéristiques d'une culture) D'où un objectif multiple: algèbre, réponse, « vivre »... La réflexion sur cette question passe par la réflexion sur la culture mathématique à laquelle on cherche à introduire l'élève.

Entrer dans la culture mathématique: quelques caractéristiques de l'activité du mathématicien l'activité mathématique plutôt qu'un corpus mathématique (sans le négliger!)... praxéologie ? Usage maîtrise des symboles, règles et procédures... Raisonnements diversifiés (exploration, organisation d'arguments, production de texte mathématique) Activité sémiotique, interprétation, changement de cadres, de registres Activités sur différents niveaux de généralité, et passages d'un niveau à l'autre et aussi des points de vue méta sur les objets, sur leur sens utilisation, sur l'activité même, sur leurs règles de validité dans les communautés qui utilisent les mathématiques Modélisation, théorisation.

Classification savoirs / pratiques? du point de vue de la conceptualisation ce n'est pas pertinent la conceptualisation est un phénomène complexe fortement lié à l'activité. En gros « savoir » prend son sens à travers l'activité et à travers un ensemble complexe de pratiques et surtout de mobilisation intentionnelle et d'instrumentalisation. Quelles sortes de pratiques / praxéologie et activité cherche- t-on à voir développée chez l'élève? Quelques exemples de nos travaux d'algébrisation pour mettre en évidence le rôle que peut prendre l'activité de l'élève dans la construction collective de certaines pratiques activité sémiotique interprétation/ modélisation généralisation Les exemples sont pris dans des séquences parmi la suite: Pattern, somme de 3 entiers, pense un nombre, formules d'airs et de volumes, distributivité, inéquations, équations La série algébrisation se déroule en parallèle avec géométrie et démonstration pour converger (surtout avec Pythagore)

Exemple d'exploitation des production d'élève (situation théâtre) Dans un théâtre il y a 7 places dans la première rangée. Lorsquon passe dune rangée à la suivante, le nombre de sièges augmente toujours de la même manière, comme cest indiqué sur le schéma. Combien de sièges y a-t-il à la quatrième rangée ? A la cinquième ? A la dixième ? Pouvez vous trouver, sans calculer le nombre de sièges d'une rangée intermédiaire, le nombre de places qu'il y a à la trente huitième rangée ? A la centième ? Décrivez une méthode qui permet le calcul du nombre de sièges à n'importe quelle rangée (on imagine le théâtre très grand!)

FABRICATION CONJOINTE DU MILIEU / CONTEXTE EXTERNE

Marco et Alexandre ont-ils raisonné de la même manière ? Quest-ce qui est pareil ? Quest-ce qui est différent ?

Expliquer le calcul de Rexe « avec des flèches » comme la fait Alexandre.

Expliquer la méthode de Caroline et lécrire à la façon des élèves italiens.

Suit l'activité individuelle de confrontation un débat collectif engagé par le commentaire de Caroline à la suite de son calcul: Le 3 est important car à chaque rangée il y a une différence de 3. Donc pour calculer le résultat on fait par exemple : Pour la 50è rangée on fait 3 x 51 car jai remarqué quil faut prendre le nombre de la rangée + 1 ce qui donne dans ce cas 51. Donc 3 x car jai remarqué quil faut rajouter + 1 à chaque rangée. Activité sémiotique: changements de registres, interprétation Changements de niveaux de généralisation (dans les 2 sens)

Extension du milieu, ou contexte externe, par les productions d'é, et par les questions posées par le prof (construite à partir de son analyse des productions) Le professeur modifie la topogénèse Évolution de la responsabilité didactique concernant la mésogénèse, la chronogénèse

Se posent à la classe des questions... essentielles Génératrices ? Peut-être si l'on considère la progression à travers des situations différente « Intermédiaires » ? Mais qui reviennent... Les questions se forment et deviennent graduellement explicites le long de la progression, et surtout dans la série « démonstration » ces questions instaurent des pratiques à partir de l'activité de l'élève : forme de dialectique CQ/CS

FABRICATION CONJOINTE DU MILIEU / CONTEXTE EXTERNE II La situation du théâtre a donné lieu à un travail sur la proportionalité L'année précédente, on avait élaboré (à partir des productions d'élèves...) un autre « contexte externe » pour développer le débat collectif Il y a, non pas un transfert de la responsabilité didactique aux élèves, mais une adaptation de la part du professeur qui modifie le milieu en fonction de l'activité des élèves et avec leurs productions: il les retravaille (par exemple les combine) et les donne à retravailler à la classe Dialectique activité du sujet / construction commune

La situation somme de trois nombre consécutifs Productions retenues pour le débat: 1) un ensemble de conjectures sont retenues et sont débattues Il y a des intervalles de 3 alternance de pairs et d'impaires dans les sommes succesives le résultat est multiple de 3 parce qu'il y a 3 termes la somme de 2 pairs et 1 impair est impaire la somme de 2 impairs et 1 pair est paire le résultat est multiple du nombre de facteur 2) Deux « grandes conjectures » sont présentées: A- la somme est multiple de 3 B- deux sommes successives sont d'écart 3

Document de confrontation Justification A1 de A (adaptation de la justification verbale de Caroline) Quand on enlève 1 au nombre le plus grand et qu'on ajoute 1 au plus petit on obtient... (à compléter) Justification A2 de A (celle de Timothée) schéma: a + + I I I nbre de départ I I on ajoute 1 I on rajoute 2 au nbre de départ Justification de B (adaptation de celui de Pauline avec l'idée d'Emma) Chaque terme est augmenté de 1 le résultat sera plus grand de 3 par rapport à celui juste avant

Tâches : 1) donner un exemple pour montrer ce que signifie cette proposition 2) compléter la justification de Mégan: 4, 5, 6 si au lieu de 4 je prends a et B (5) = a+1 et B+1 =C (6) 3) reprendre la justification A1 avec les lettres 4) expression algébrique de la justification B devoir maison: justification de A2 sous forme verbale

Des choix didactiques importants : Donner à largumentation une place centrale Les productions d'élèves sont objets du travail collectif Travailler l'expression verbale orale et écrite dans le registre familier et lien avec autres registres Organiser des débats sur plusieurs niveaux d'argumentation (« directe » et « méta ») et concernant les raisonnements, et les modes de raisonnement Par exemple: Pourquoi tel calcul (tracé...) résultat utile ou stratégique Comment en est venue l'idée

largumentation et le statut du professeur Si les élèves peuvent trouver des références dans des sources variées, il reste une référence forte concernant La validité des formes de raisonnement Apports de références (voix et écho) Argumentation pour maîtrise consciente de pratiques « scientifiques » élaborée à partir de l'activité Institutionnalisation