POLYNÔME DE TAYLOR cours 23

Trouver une approximation d’une fonction

Ça serait bien si on pouvait trouver une façon de trouver Les fonctions apparaissent naturellement dans beaucoup de situations où on modélise un phénomène de la vie. Les fonctions qui en découlent ne sont pas toujours très simple, ce qui peut rendre l’analyse du phénomène difficile voir impossible. Or, rare sont les phénomènes étudiés dont la précision des mesures sont infini. Ça serait bien si on pouvait trouver une façon de trouver une fonction simple à partir d’une fonction compliquée mais que les deux fonctions aient les mêmes valeurs à une certaine précision près.

On a vu dans le cours de calcul différentiel qu’on peut utiliser la dérivée pour donner une approximation linéaire d’une fonction.

La droite est un peu trop simple. La droite tangente à une fonction est une approximation raisonnable de la fonction pour les valeurs de x qui sont près de a. Naturellement remplacer un fonction par une droite simplifie grandement les calculs. Or l’approximation est grossière voir inutilisable dès qu’on prend des valeurs trop loin de a. La droite est un peu trop simple. Quelles sont les fonctions les plus simples d’un point de vue du calcul différentielle? Les polynômes!

Une constante

Polynôme de Taylor d’ordre n le reste

Exemple: Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 0

Exemple: Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 1

Exemple: Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 1

Exemple: Trouver le polynôme de degré 5 de la fonction suivante autour de 0

Faites les exercices suivants Calculer le polynôme de Taylor de degré 5 autour de 0 des fonctions suivantes 1) 2)

Regardons maintenant le reste.

Pour pouvoir faire ce qu’on a fait jusqu’à présent il fallait que la fonction ainsi que ses dérivées soient continue sur l’intervalle . Mais si est continue sur l’intervalle alors elle possède un maximum et un minimum . Posons et tels que

Mais

Exemple: Quel est notre marge d’erreur si on évalue à l’aide du polynôme de Taylor de degré 5 autour de 0

Faites les exercices suivants Évalué à l’aide du polynôme de Taylor de autour de à deux décimales près.

Développons son polynôme de Taylor autour de 0 Ça serait bien d’utiliser cette approche pour trouver une approximation de . Pour ça, il faut trouver une fonction qui vaut lorsqu’évalué en une certaine valeur et dont les dérivées ce calcul bien. Développons son polynôme de Taylor autour de 0

Bien que relativement près de Cette approche n’est pas optimale puisque le reste Mais

Aujourd’hui, nous avons vu Polynôme de Taylor Le reste Approximation à l’aide du polynôme de Taylor

Devoir: Feuille # 1 à 5