DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES Cours de PREPA PE1 O.MARTINELLI

Plan du cours PARTIE A : GENERALITES (diapo 3 à 34) PARTIE B : LES ENTIERS ( diapo 36 à )

Enseignement et apprentissage des mathématiques Pensez-vous qu’il y ait une différence entre « apprendre » et « enseigner » ? Si oui précisez.

Réponses proposées Rappelons les évidences Apprendre c’est du côté élève , en latin «apprehendere» qui signifie saisir, s’emparer de, comprendre. Enseigner c’est du côté professeur, en latin « signare » qui signifie placer un signe , laisser une marque, celle du professeur. Apprendre c’est un acte qui consiste à s’approprier un savoir ou un savoir-faire.

APPRENTISSAGES Les grands courants 1) Conception transmissive 2) Béhaviorisme 3) Structuralisme 4) Socioconstructivisme

La conception transmissive ( ou conception de la tête vide) C’est une conception à laquelle on se réfère spontanément quand on veut enseigner quelque chose à quelqu’un. On suppose que l’élève ne sait rien de la connaissance nouvelle. L’enseignant communique cette nouvelle connaissance. L’élève attentif écoute et « imprime » dans sa tête la nouvelle connaissance. L’enseignant propose des exercices d’entraînement et de réinvestissement.

Les limites de la conception de la tête vide Tout repose sur la « communication » Or même quand les élèves sont très attentifs,ils n’ont pas la tête vide, ce qui est dit par l’enseignant est interprété à travers le filtre des expériences personnelles.

Les avantages de la tête vide Ce modèle est performant si : Les élèves sont motivés et attentifs Si l’expérience antérieure des élèves est suffisamment proche de celle de l’enseignant. Ce modèle est particulièrement efficace pour faciliter la structuration des connaissances nouvelles.

Quelques variantes de la tête vide L’enseignant entrecoupe son exposé de questions pour soutenir l’attention ou pour faire dire par l’élève des éléments de la connaissance nouvelle. C’est le cours dialogué ( mémoire de DEA de R.CHARNAY ) directement inspiré de l’approche de dite « maïeutique » de SOCRATE. La maïeutique, du grec μαιευτικη, par analogie avec le personnage de la mythologie grecque Maïa, qui veillait aux accouchements, est une technique qui consiste à bien interroger une personne pour lui faire exprimer (accoucher) des connaissances qu'elle n'aurait pas conceptualisées. Son invention remonte au IVe siècle av. J.-C. et est attribuée faussement au Socrate historique, en faisant référence au livre Théétète de Platon. Le Socrate historique employait l'ironie (ironie Socratique) pour faire comprendre aux interlocuteurs que ce qu'ils croyaient savoir n'était en fait que croyance. La maïeutique, contrairement à l'ironie, s'appuie sur une théorie de la réminiscence pour faire ressurgir des vies antérieures les connaissances oubliées.

La conception béhavioriste Elle s’appuie sur le fait qu’on ne peut pas avoir accès aux structures mentales d’une personne , par contre les comportements observables sont accessibles. On peut modifier le comportement d’une personne par conditionnement en utilisant des « stimuli » ( PAVLOV) et un renforcement des réponses positives (conditionnement opérant de SKINNER) SKINNER « l’apprentissage repose sur le hasard, on transforme le hasard en nécessité »

Dans la classe L’enseignant définit un objectif et des sous objectifs sous la forme « à la fin de la séquence l’élève sera capable de ». À chaque fois qu’un sous objectif est atteint l’enseignant récompense et propose des situations d’entraiment pour automatiser le nouveau comportement.

Les limites du béhaviorisme Si l’objectif est trop complexe, l’enseignant le divise en de nombreux sous objectifs. Ce guidage excessif empêche les élèves de prendre du recul par rapport aux connaissances enseignées. Quand on lâche la main à l’élève il ne sait ni où aller ni comment y aller! L’acquisition des sous objectifs ne garantit pas l’acquisition de l’objectif. (ex: je sais débrayer , freiner, tenir le volant, ça ne garantit pas que je sache conduire)

Avantages du béhaviorisme Ce modèle rationalise la construction des séquences d’enseignement ainsi que l’élaboration d’évaluations Il favorise l’individualisation de l’enseignement Enfin l’élève est en situation de réussite.

STRUCTURALISME

Socio-constructivisme Hypothèse 1 : L’acquisition de connaissances passe par une interaction entre le sujet et l’objet d’étude par le biais de la résolution de problème. Hypothèse 2 : La tête de l’élève n’est jamais vide de connaissances fussent elles erronées. Hypothèse 3: dans une situation-probléme on met en défaut l’ancienne connaissance pour en construire une nouvelle. (voire schéma) Hypothèse 4: L’élève n’arrivera a donner du sens à une connaissance que si elle apparaît comme un outil indispensable pour résoudre des problèmes. Hypothèse 5: Les interaction sociales favorisent l’apprentissage (travail en groupe, débat..) Bachelard « On connaît contre une connaissance antérieur en détruisant des connaissances mal faites. »

SITUATION-PROBLEME (socioconstructivisme) La situation-problème occupe une place centrale dans la conception socioconstructiviste. Caractéristiques liées au problème: 1- On a repéré un obstacle c’est-à-dire une connaissance qui « empêche » l’acquisition de la nouvelle. 2- Les élève doivent pouvoir s’engager facilement dans la résolution. 3- Les connaissances anciennes doivent être mise en défaut. 4- Les élèves doivent avoir un moyen de contrôler eux-mêmes leurs résultats. 5- la nouvelle connaissance doit être l’outil le plus adapté à la résolution du problème. Caractéristiques liées à la gestion de classe Phase de dévolution: l’enseignant s’assure que les élèves prennent à leur charge le problème Phase d’action (souvent en groupe) : les élève mettent en place des procédures souvent implicite. Phase de formulation : les élèves explicitent les procédures utilisées Phase de validation: les élèves vont se convaincre que la solution est valable. Phase d’institutionnalisation: l’enseignant identifie les nouveaux savoirs et savoir-faire, il trie et dit ce qu’il faut retenir.

Les limites du socioconstructivisme Gérer des situations problèmes dans une classe présente des difficultés spécifiques surtout quand l’effectif est important. On utilise les situations problèmes pour quelques concepts il n’est pas certain que cette approche soit pertinente pour tous les concepts

Avantages de l’approche socioconstructiviste Elle donne un véritable statut à l’erreur. Les erreurs repérées comme des obstacles sont des points d’appui pour l’apprentissage. Ce modèle prend en compte les conceptions initiales des élèves. Dans ce modèle on donne du sens aux connaissances.

Analyse d’énoncé et de productions d’élèves

Réponses Résolution par essais On fixe une contrainte ( la différence vaut 11) On ajuste l’autre ( la somme vaut 73) Résolution par partage équitable On fait la division Euclienne de 73 par 2 On attribue le reste à F Puis on fait des échanges de T vers F jusqu’à ce que la contrainte différence soit vérifiée. 1) Résolution algébrique (coté prof ) on résout le système: F = T + 11 et F + T = 73 On trouve donne F = 42 et T = 31 l’autre problème donne L= 85 et Z = 95 Résolution arithmétique ( coté élève) Il donne 11 images à F et répartit équitablement le reste entre F et T 73-11= 62 62/2=31 31 +11 =42

Réponses (suite) 2) difficultés rencontrées par l’élève: - gestion et organisation des essais - choix de la contrainte à tordre ou à fixer Toutes les difficultés viennent d’une rupture du contrat didactique habituel.

réponse Groupe C: Groupe A: Il utilise la procédure de partage équitable , commence les échanges et commet une erreur au dernier échange. Groupe D: Il trouve la bonne réponse en utilisant une procédure de partage équitable. Groupe A: Il trouve la bonne réponse en utilisant une procédure par essais Groupe B: Il échoue en utilisant une procédure de partage équitable mais ne parvient pas à respecter la contrainte de la différence. L’effet contrat lui fait faire 2 opérations inutiles

réponse Il alterne les procédures. Il commence par une procédure de partage équitable 180/2=90 Puis il respecte la contrainte sur la différence en prélevant 10 à L Puis il partage cette dizaine en 2 et la distribue équitablement.

3) analyse des productions élèves Romain : il repère bien les données utiles mais pour lui la réponse est le résultat d’un seul calcul, il rupture du contrat didactique. Jerémy ne sait pas qu’il peut utiliser un résultat intermédiaire. Sélie: elle trouve le bon résultat en posant des additions à trou. Grégory interprète mal les infos données Luel n’a pas su interpréter les données. Sa réponse n’a rien à voir avec les calculs qu’il a posé. 1) compétence: Reconnaître , identifier les données pertinentes. Mettre en oeuvre un raisonnement. Savoir faire une soustraction. 2) difficulté pour un élève de CM2: Présence d’une donnée inutile La situation es difficile à se représenter sous forme de schéma

Les sources de difficultés dans la résolutions d’exercices (côté élèves) L’effet contrat Les adaptations qu’il a à réaliser La gestion des données Les obstacles épistémologiques

L’effet contrat L’élève obéit a une coutume existante dans la classe pour résoudre un certain type de problème. exemple: la diapo 27 la production de Romain. Pour lui , pour trouver le résultat il ne faut qu’une seule opération et pas deux. Par exemple: la diapo 23 la production du groupe B. Il fait des opérations vides de sens car il faut absolument utiliser les données contenues dans l’énoncé.

A1: les reconnaissances des modalités d’application des connaissances. Les différentes adaptations à réaliser dans la résolution de problèmes. A1: les reconnaissances des modalités d’application des connaissances. A2: l’introduction d’intermédiaire ( une notation, un point, une droite qui ne sont pas sur la figure initiale ) A3 : les mélanges de cadres ou notions (pour résoudre un problème de géométrie on est amené à résoudre un problème d’arithmétique, exemple l’agrandissement du puzzle) A4: l’introduction d’étapes dans l’organisation des calculs ou du raisonnement (diapo27) A5: l’utilisation des questions précédentes pour résoudre un problème A6: l’existence de choix A7: manque de nouvelles connaissances ( exemple diapo 20 gestion de la double contrainte )

La gestion des données La donnée inutile est une source d’erreurs très classique. ( diapo 27)

Les obstacles épistémologiques Raisons historiques Raisons pratiques

PARTIE B : LES NOMBRES ENTIERS 1 ) Peano, la construction de lN: la notion de prédécesseur de successeur 2 )la notion de collection. En début d’apprentissage le nombre est associé à un objet. Un nombre correspond à une collection d’objet. 3 ) les différentes représentations du nombre Représentation par le dessin une collection d’objet, représentation orale, représentation écrite en lettre, représentation écrite en chiffre. 4 ) la numération de position un nombre revêt deux aspects : ordinal et cardinal

Exo 1

Correction exo 1 1) évaluation diagnostique: repère les manques et les acquis , permet la prise de décisions : (remédiation, différenciation, choix d’une méthode d’apprentissage). 2) Consigne de l’exercice 3: « vous écrivez en chiffre les nombres que je dicte »

Correction exo 1 (suite) Compétence= associer représentation orale et écrite du nombre Difficultés = présence de 0 intercalé (709) + rupture entre numération orale et écrite (comptine de Tchou). Exo4: Compétence =Ranger des nombres Difficultés = choix de la technique à utiliser(on repère le rang ou on se réfère la comptine numérique) Exo5: Compétence:comprendre la numération de position Difficulté: si le travail sur les objets n’a pas été fait l’écriture pas de sens pour l ‘élève 3 et 4 ) Compétences et difficultés Exo1 : Compétence = dénombrer Difficultés = taille de la collection et emplacement en vrac des objets EXo2 : Compétence= encadrer à l’unité + connaître prédécesseur et successeur dans lN Difficultés = la consigne est implicite + la présence du 0 et du 9 comme chiffre des unités qui peut faire obstacle au prédécesseur et successeur Exo6: compétence = produire des suites écrites Difficulté = consigne implicite

Exo 2:

Réponses exo 2 1) interprétation des réussites différentes Dans le second nombre quand on le lit on n’entend pas le fait qu’ il n’y ait pas de centaine et de dizaine de milliers et de centaine d’unités. 2) interprétation des erreurs 2 340 500 = simple inversion de mot 2000030040115015 = l’élève essaie d’écrire tous les nombres qu’il entend. 3) la consigne du maître Dans les 2 cas la consigne du maître est respectée (dans le premier cas il entend 200 au lieu de 2) 4 et 5 ) Comment invalider les réponses fausses? On distinguant le rang du cardinal , en montrant l’insuffisance de la convention je mets un espace (ex 2 058 ; 2 000 058) R1 = 2 340 105 R2 = 17 002 058