Le théorème de Pythagore représentation à la cathédrale de Chartres Vu par Raphael Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC

Le théorème de Pythagore vocabulaire démonstration exemples : ex 1 ex 2 ex 3 réciproque exemples r : ex 1r ex 2r ex 3r

[BC] est l’ du triangle ABC hypoténuse Vocabulaire Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. A C B [BC] est l’ du triangle ABC hypoténuse

On a quatre triangles rectangles identiques Démonstration On a quatre triangles rectangles identiques a b c a b c a b c a b c

On dispose les quatre triangles rectangles b c a b c dans un carré a b c a b c

On obtient un nouveau carré J a b c a b c I JOLI O a b c a b c L

L ’aire de JOLI est : J a b c a b c c² I O a b c a b c L

On dispose ensuite les quatre triangles rectangles b b dans le même carré d ’une autre façon . a a

On obtient deux nouveaux carrés : J b OCRE b D O E a JADE a C R

L ’aire de OCRE est : A J b b a² D O E a a C R

L ’aire de JADE est : A J b b b² D O E a a C R

b² + c² a² L ’aire de JOLI est égale à la somme des aires de OCRE et de JADE J c a b c a b c A J c² a² b² + b b b b I D O E a a O a a a b c a b c C L R

Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de : On peut donc écrire pour le triangle a b c c2 = a2 + b2 Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de : théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés . hypoténuse

Le théorème de Pythagore un autre énoncé Si ABC est un triangle rectangle A alors BC² = AB² + AC² A B C ! Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles.

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm. Calculer BC B A C 3 4 1) On fait un dessin On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore 2)

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm. Calculer BC B A C 3 4 1) On fait un dessin On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres) 2) BC² = 4² + 3²(on remplace les lettres par les longueurs connues) BC² = 16 + 9 (on calcule) BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5) BC = 5 cm (5 > 4, [BC)] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)

DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm. Calculer EF E D F 5 6 1) On fait un dessin On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore 2)

DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm. Calculer EF E D F 5 6 1) On fait un dessin On applique le théorème de Pythagore : On sait que DEF est un triangle rectangle en D donc EF² = ED² + DF² (on écrit la propriété avec des lettres) 2) EF² = 5² + 6²(on remplace les lettres par les longueurs connues) EF² = 25 + 36 (on calcule) EF² = 61 (on écrit la valeur exacte de BC) EF = 61 (61 est le carré du nombre qui s’écrit 61 7,8) ~ EF 7,8 cm (7,8 > 6, [EF] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable) ~

Ex1 ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 8cm et BC = 6cm. Calculer AC A B C 8 6 On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC² AC² = 8² + 6² AC² = 64 + 36 AC² = 100 AC = 100 AC = 10 cm

GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm. Calculer IH G I H 2 3 1) On fait un dessin On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore 2)

GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm. Calculer IH G I H 2 3 1) On fait un dessin On applique le théorème de Pythagore : On sait que GHI est un triangle rectangle en I donc GH² = GI² + IH² (on écrit la propriété avec des lettres) 2) 3² = 2² + IH²(on remplace les lettres par les longueurs connues) 9 = 4 + IH² (on transforme l’égalité pour isoler IH²) IH² = 9 - 4 (pour trouver IH² il faut soustraire 9 et 4 ) IH² = 5 IH = 5 (5 est le carré du nombre qui s’écrit 5 2,2) ~ IH 2,2 cm (2,2 < 3, [IH] est l’un des côtés de l’angle droit, il est donc plus petit que l’hypoténuse, le résultat est vraisemblable) ~

EX 2.STU est un triangle rectangle en T tel que ST = 5cm et SU = 6cm. Calculer TU S T U 5 6 On applique le théorème de Pythagore : On sait que STU est un triangle rectangle en T donc SU² = ST² + TU² 6² = 5² + TU² 36 = 25 + TU² TU² = 36 - 25 TU² = 11 TU = 11 TU 3,3 cm ~

à suivre …

La réciproque du théorème de Pythagore Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté.

La réciproque du théorème de Pythagore un autre énoncé Si, dans un triangle ABC on a BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A. ! à la présentation des calculs

Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un triangle rectangle ? 1) On repère le côté le plus long: c’est [AB] 2) On calcule le carré de la longueur de [AB] 3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés AB² = 75² = 5 625 BC² + AC² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625 4) On constate l’égalité : AB² = BC² + AC² 5) On cite la propriété appliquée pour conclure : d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C.

le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle. Le triangle DEF tel que DE=11m, EF=15m et DF=9m est-il un triangle rectangle ? 1) On repère le côté le plus long: c’est [EF] 2) On calcule le carré de la longueur de [EF] 3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés EF² = 15² = 225 DE² + DF² = 11² + 9² = 121 + 81 = 202 4) On constate qu’il n’y a pas égalité : EF² = DE² + DF² 5) On peut affirmer que : le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle.

┴ EL² = SE² + SL² ┴ A-t-on (SE) (SL) ? 4cm 8,5cm 7,5cm S O L E A-t-on (SE) (SL) ? ┴ 1) On précise le triangle dans lequel on travaille : Dans le triangle SEL, SE=4, SL=7,5 et EL=8,5. 2) On repère le côté le plus long: c’est [EL] 3) On calcule le carré de la longueur de [EL] 4) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés EL² = 8,5² = 72,25 SE² + SL² = 4² + 7,5² = 16 + 56,25 = 72,25 5) On constate l’égalité : EL² = SE² + SL² 6) On cite la propriété appliquée pour conclure : d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle SEL est rectangle en S, alors (SE) (SL) . ┴

fin