Mathématiques au cycle 3 Les divisions 15 avril 2011- G. Kérouanton

Auto-Evaluation 1. Résoudre des problèmes multiplicatifs permet de donner du sens à la multiplication et à la division. 2. La technique opératoire de la division est indispensable pour résoudre des problèmes de division. 3. Les problèmes de proportionnalité ne sont pas des problèmes qui se résolvent en cycle 2, de toutes les façons ce ne sont pas des problèmes multiplicatifs. 4. Plusieurs procédures de résolution sont recevables pour un problème multiplicatif donné. 5. Il y a quatre catégories de problèmes multiplicatifs rencontrés à l’école élémentaire .

Sommaire 1- Les programmes 2. Rappel mathématique rapide à usage des enseignants A - Le champ multiplicatif B- Typologie de problèmes multiplicatifs C- Les divisions 3- Qu’est-ce qu’enseigner la division au cycle 3 ? A- Améliorer le sens B- Améliorer la technique

Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, 1.Les Programmes 2008 Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, l’élève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, continue d’apprendre à résoudre des problèmes. Il renforce ses compétences en calcul mental. Il acquiert de nouveaux automatismes. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. Nombres et Calculs Géométrie Grandeurs et Mesures Gestion et organisation de données

Nombres et calculs Le calcul mental Tables d’addition et de multiplication. L’entraînement quotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés. Combien de fois 7 dans 56 ? 56 divisé par 7 56 sous forme de produits de 2 nombres inférieurs à 10. 57 divisé par 7 57 = (7 x 8) + 1

Nombres et calculs Le calcul posé La maîtrise d’une technique opératoire pour chacune des quatre opérations est indispensable.

Nombres et calculs Le calcul à la calculatrice La calculatrice fait l’objet d’une utilisation raisonnée en fonction de la complexité des calculs auxquels sont confrontés les élèves.

Résolution de problèmes La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d’approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement.

Progressions Seules des connaissances et compétences nouvelles sont mentionnées dans chaque colonne. Pour chaque niveau, les connaissances et compétences acquises dans la classe antérieure sont à consolider. CE2 CM1 CM2 Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre. Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre . Division euclidienne de deux entiers. Division décimale de deux entiers. Division d’un nombre décimal par un nombre entier.

Le socle commun des connaissances et des compétences Restituer les tables d’addition et de multiplication de 2 à 9 ; Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) ; Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations ; Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat ; Utiliser une calculatrice ; Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, “règle de trois”, figures géométriques, schémas.

2.Rappel mathématique rapide à usage des enseignants

A- le champ multiplicatif La question de la division s’inscrit dans un champ conceptuel (défini par Vergnaud) plus vaste qui est le champ multiplicatif. Il recouvre l’ensemble des situations dont le traitement requiert l’utilisation de la multiplication ou de la division. La multiplication ou la division sont des notion à être interprétées dans le cadre de la proportionnalité. CHAMP CONCEPTUEL « C’est un espace de problèmes ou de situations-problèmes dont le traitement implique des concepts et des procédures de plusieurs types en étroite connexion » G.Vergnaud. Par exemple le champ conceptuel des structures multiplicatives est à la fois l’ensemble des situations dont le traitement implique une ou plusieurs multiplications ou divisions et l’ensemble des théorèmes et des concepts qui permet d’analyser ces situations : proportion simple, fonction linéaire, fraction, rapport, nombre rationnel, multiple et diviseur… Du point de vue didactique, réfléchir en terme de champ conceptuel permet de prendre en compte à la fois la durée de l’appropriation des connaissances et les relations qui existent entre différentes notions.

B- Typologie de problèmes multiplicatifs Selon la typologie de Vergnaud 1. Problème quaternaire Multiplication Division-quotition Division-partition Quatrième de proportionnelle 2. Problème ternaire n fois plus ou n fois moins Produit cartésien AxB Configuration rectangulaire 1.Problème de proportion simple et directe, dits de quatrième de proportionnelle Dans le cas où l’un des nombres est égal à 1 On a affaire aux problèmes dits de multiplication ou de division Dans le cas où aucun des nombres est égal à 1 C’est le cas plus général des problèmes dits de «  quatrième proportionnelle » et qui ne peuvent pas être résolus par une seule multiplication ou division. 2. Proportion double Une grandeur varie proportionnellement à deux autres grandeurs qui sont indépendantes entre elles. 5 amis partent au ski, cinq jours dans le Jura. Le prix d’une journée au ski est de 20 euros par jour et par personne. Combien paiera une personne pour 5 jours ? Combien paieront 5 personnes pour le séjour ? 3. Proportion simple composée Une grandeur varie proportionnellement à une seconde grandeur qui elle-même varie proportionnellement à une troisième. Par exemple, avec 100 kg de blé on fait 75 kg de farine et 30 kg de pain. Combine de kg de pain avec 100kg de blé ?

Problème quaternaire Les problèmes de multiplication Dans les cas où un des nombre est égal à 1 Les problèmes de multiplication J’ai collé 32 timbres sur chaque page d’un album de 14 pages. Combien y a-t-il de timbres dans l’album ? Les problèmes de division-partition (recherche de la valeur d’une part) J’ai collé 448 timbres dans un album de 14 pages. Il y a le même nombre de timbres sur chaque page. Combien y a-t-il de timbres sur chaque page ?  Les problèmes de division-quotition (recherche du nombre de parts) J’ai collé 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ?

Dans le cas où aucun des nombres n’est pas égal à 1 6 mètres de tissu coûtent 21€ . Quel est le prix de 9 mètres du même tissu ?

Problème ternaire n fois plus ou n fois moins Pierre a 9 ans et son père est 4 fois plus âgé que lui. Quel âge a son père ? Produit cartésien AxB Je possède 3 vestes et 4 pantalons. Combien puis-je former de tenues différentes ? Configuration rectangulaire Une feuille de cahier a 12 carreaux sur sa largeur et 21 carreaux sur sa longueur. Combien y a-t-il de carreaux sur la feuille ?

C. Les divisions La division euclidienne dans l’ensemble des naturels N a = (b x q) + r appelée division avec reste La division dans l’ensemble des rationnels positifs Q a:b = a/b appelée division sans reste Nous nous situons dans le cas de la division euclidienne pour enseigner l’apprentissage d’un calcul : la division Pour la division avec reste, il s’agit de l’enseignement des fractions et des décimaux Le résultat est une longueur ayant une mesure entière On recherche une solution approchée et l’on utilise donc la division décimale

Vocabulaire et symbolisme Quotient entier : ÷ Quotient euclidien

2. Qu’est-ce qu’enseigner la division au cycle 3?

Améliorer le sens

Pour les élèves Division avec ou sans reste Division euclidienne ou division avec reste La potence L’égalité caractéristique Quotient euclidien Division sans reste Les deux points Quotient Il s’agit de distinguer le type de problème

La division euclidienne La division quotition: recherche du nombre de parts. Le jardinier a 167 tomates. Il prépare des caisses de 36 tomates. Combien de caisses remplit-il? La division partition: recherche de la valeur d’une part. Le voisin a 167 tomates. Il les distribue équitablement entre ses 8 enfants. Combien de tomates aura chaque enfant?

Les grandeurs en jeu Des cardinaux Des longueurs Des prix Des ordinaux (cases numérotées, repères sur un segment)

Améliorer la technique opératoire

Les procédures Niveau 1: simulation de l’action Matériel, dessins, représentations Niveau 2: calculs Additifs, soustractifs, multiplicatifs, mixtes Niveau 3: expert Recherche des meilleurs multiples du diviseur T1 Partage des groupements de numération du dividende T2 Calcul mental Calcul instrumenté

Les deux techniques opératoires usuelles de la division euclidienne Donner du sens à la technique pour permettre aux élèves de bien la comprendre, avant de l’utiliser de manière automatique. Ceci nécessite une contextualisation souvent indispensable. T1 Recherche des meilleurs multiples T2 Partage des groupements de numération

Calculs avec poses des soustractions T1 Recherche des meilleurs multiples Situations de division quotition et partition. Recherche d’un encadrement du quotient euclidien par une puissance de dix. Construction de tableaux de multiples (complets ou partiels. Utilisant les propriétés de linéarité.) Calculs avec poses des soustractions Écriture de l’égalité caractéristique.

Exemple T1 6658 billes à partager entre 27 enfants. Quelle est la part de chacun? 6658 billes à ranger dans des sachets de 27 billes. Quel est le nombre de sachets?

T2 Partage des groupements de numération Situations de division partition Recherche du nombre de chiffres du quotient euclidien Recherche des chiffres successifs du quotient euclidien Écriture de l’égalité caractéristique

Exemple T2 Un groupe de 27 enfants va à la loterie. Ensemble ils ont gagné 6658 points. Ils se les répartissent. Quelle est la part de chacun?

Choix Introduire la division euclidienne dans des situations de type quotition à chaque niveau. Étendre rapidement à d’autres contextes. Enseigner la technique T1 en CE2. En CM1 les deux techniques peuvent coexister. Enseigner T2 pour introduire la division décimale de deux entiers. En CM2 enseigner T2 pour introduire la division d’un nombre décimal par un nombre entier.

Dispositif d’apprentissage Approche Construction Familiarisation Appropriation Apprentissage Institutionnalisation Consolidation Entraînement Réinvestissement

…

Exploitation des manuels scolaire sur la division euclidienne Période Titre Nombre de séances Objectif Situation retenue pour la construction Sens Procédures envisagées

Retour aux programmes et au cycle 2 Compétences à acquérir au cycle 2 Ecrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000 Connaître une technique opératoire de la multiplication et l’utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre. Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier). Restituer et utiliser les tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples Résoudre des problèmes très simples relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication. Observer et décrire pour mener des investigations Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements, pour des nombres inférieurs à 100

4- La progression dans les différents niveaux d’approche du concept de division au cycle 2 L’enseignement de la division est bien envisagé depuis le début du cycle 2 (et même depuis la fin de l’école maternelle), puisque dès ce moment de la scolarité, les élèves sont confrontés à des situations de partage ou de distribution qu’ils résolvent par des solutions personnelles qui évoluent en même temps que les connaissances élaborées par les élèves. C’est une progressivité des apprentissages qui est à l’œuvre, avec « le souci d’asseoir le sens et la structuration des notions sur les expériences et les savoirs capitalisés antérieurement. »

La place des « concepts quotidiens » Les élèves ne s’approprient pas les concepts arithmétiques à partir de rien. Avant tout enseignement des opérations arithmétiques, ils sont susceptibles de résoudre un grand nombre de problèmes à l’aide des seuls concepts quotidiens d’ajout, de retrait, de partage, de groupement qui, pour l’essentiel, trouvent leur origine dans l’action sur les objets. Ils progressent dans la résolution de ces problèmes à l’aide de ces seuls concepts quotidiens. Une partie du progrès s’effectue donc en continuité avec le progrès des connaissances “ quotidiennes ” des enfants.

Passer à des concepts mathématiques En revanche, envisager l’appropriation des concepts arithmétiques dans cette seule continuité des concepts quotidiens, c’est sous-estimer les ruptures nécessaires à la conceptualisation arithmétique. En effet, à strictement parler, enseigner une opération arithmétique, c’est créer des situations pédagogiques favorisant la prise de conscience de l’équivalence entre procédures qui fonde cette opération et c’est introduire les écritures appropriées pour symboliser cette équivalence (“a x b” pour la multiplication et “a : b” pour la division).

Conséquences pédagogiques Les séquences pédagogiques correspondantes représentent une rupture parce que leur enjeu n’est pas d’obtenir la solution d’un problème mais de prendre conscience que l’introduction d’un nouveau symbole, un « signe opératoire », va offrir la possibilité, selon le contexte, d’obtenir cette solution de diverses manières. Il s’agit moins d’y résoudre des problèmes que de théoriser leur résolution.

Conséquences pédagogiques Il faut souligner l’importance du moment où le maître commence à enseigner l’équivalence entre le partage et le groupement et où il enseigne la symbolisation de cette équivalence en introduisant le mot “division” et l’écriture correspondante. C’est ce moment qui, en toute rigueur, est le point de départ de l’enseignement mathématique de la division à l’école. Sans enseignement de l’équivalence entre le partage et le groupement et sans symbolisation et verbalisation de cette équivalence ( avec l’écriture “a:b” et le mot “division”), il n’y a pas de conceptualisation de la division.

Introduction et mise en œuvre de la technique opératoire de la division euclidienne Elle est introduite au CE2, avec un chiffre au diviseur et elle est mise en œuvre dans le cadre de situations variées; de partage et de quotition. Elle est consolidée au CM1. La division décimale est introduite.