Introduction à l’algèbre De l’arithmétique à l’Agèbre

Activité Les problèmes que vous avez étudié Travail par groupes vous paraissent-ils pertinents pour l’apprentissage de l’algèbre ? En quoi ? à quel niveau de classe et avec quel objectif les proposeriez-vous éventuellement ? Travail par groupes G1 : 1- 2 G2 : 2-3 G3 : 3-4 G4 : 4-5 G5 : 5-1 ….

Qu’entend-on par introduction à l’algèbre? mise en équation de problèmes simples et résolution par l'algèbre ; règles élémentaires de traitement et de transformation des expressions littérales ; première explicitation des concepts de fonction et de variable ; mise en évidence de certaines propriétés structurales des ensembles de nombres, notamment ceux des relatifs et des rationnels ; etc.

Qu’entend-on par introduction à l’algèbre? « Il est raisonnable de penser que c'est un savant équilibre de ces différentes composantes conceptuelles et des situations qui leur donnent du sens qui peut permettre aux élèves de comprendre en profondeur la fonction, la structure et le fonctionnement du raisonnement algébrique. Mais quel équilibre ? » (Vergnaud, 1989)

Quelques principes à respecter Proposer des problèmes dans lesquels l’emploi de lettres (ou autre symbole) paraît sinon indispensable, du moins nettement plus performant pour résoudre le problème Pb n° 4 Ne pas désigner trop tôt la quantité inconnue ou variable par une lettre, mais laisser l’élève ressentir la nécessité de son introduction Ceci suppose de choisir des problèmes où l'introduction de la lettre a un réel apport ex Pb n°1 2)

Quelques principes à respecter Favoriser les liens entre différents registres de représentation - langage naturel, expressions numériques et représentations géométriques - pour donner du sens aux expressions algébriques Pb 5 Montrer l’intérêt du calcul littéral et donner du sens aux techniques associées avant de développer des automatismes Pb 2

Quelques principes à respecter Travailler les formules pour préparer la notion de fonction Faire passer la lettre du statut de désignation d'une grandeur au statut de nombre indéterminé puis au statut d'inconnue ex Pb 3 Travailler les activités de preuve Proposer des activités donnant à prouver des égalités vraies pour tout x dans un ensemble de nombres (essais, conjecture, preuve) Ex Pb 4

Progressivité de l’apprentissage Un travail préparatoire mené dès la 1AM et poursuivi en 2AM Problèmes pouvant être résolus par des méthodes arithmétiques Formules Opérations réciproques Égalités à trou … Formules faisant apparaitre des grandeurs dépendant d’autres grandeurs (lettres comme des variables)

Progressivité de l’apprentissage Une phase d'introduction (menée en 2AM et surtout en 3AM) Introduction de la lettre Notion d’égalité, test d’égalités pour des valeurs numériques données Initiation à la notion d’équation … Tester des égalités pour des valeurs numériques données (lettres comme nombres indéterminés)

Progressivité de l’apprentissage Une phase de rupture (menée en 3AM) Mise en évidence des limites d’une résolution arithmétique Différents statuts de la lettre Expressions sous leur aspect procédural et structural … Résolution par mise en équation de problèmes (lettre comme inconnue)

Progressivité de l’apprentissage Une phase d’ouverture (menée en 4AM) Résolution algébrique de problèmes Résolution d’équations, de systèmes d’équations, d’inéquations …