Droites et plans de l’espace : position relative

Deux droites de l’espace peuvent être :

Deux droites de l’espace peuvent être : non coplanaires

Deux droites de l’espace peuvent être : non coplanaires Leur intersection est vide.

Deux droites de l’espace peuvent être : coplanaires non coplanaires

Deux droites de l’espace peuvent être : coplanaires sécantes non coplanaires

Deux droites distinctes de l’espace peuvent être : coplanaires sécantes non coplanaires Leur intersection est réduite à un point.

Deux droites de l’espace peuvent être : coplanaires sécantes parallèles non coplanaires

Deux droites de l’espace peuvent être : coplanaires sécantes parallèles non coplanaires Leur intersection est vide.

Deux droites de l’espace peuvent être : coplanaires sécantes parallèles non coplanaires Deux droites de l’espace sont parallèles si elles sont coplanaires et si leur intersection est vide.

Deux droites de l’espace peuvent être : coplanaires sécantes parallèles non coplanaires Deux droites de l’espace dont l’intersection est vide ne sont pas nécessairement parallèles.

Deux droites de l’espace peuvent être : coplanaires sécantes parallèles non coplanaires Pour que deux droites de l’espace soient sécantes, il est nécessaire qu’elles soient coplanaires.

Deux droites de l’espace peuvent être : coplanaires sécantes parallèles non coplanaires Pour que deux droites de l’espace soient sécantes, il est nécessaire qu’elles soient coplanaires. Si deux droites de l’espace sont sécantes, elles sont nécessairement coplanaires.

Une droite et un plan de l’espace peuvent être :

Une droite et un plan de l’espace peuvent être : sécants

Une droite et un plan de l’espace peuvent être : sécants L’intersection de la droite et du plan est alors réduite à un point.

Une droite et un plan de l’espace peuvent être : sécants parallèles

Une droite et un plan de l’espace peuvent être : sécants parallèles strictement parallèles la droite contenue dans le plan

Une droite et un plan de l’espace peuvent être : sécants parallèles strictement parallèles la droite contenue dans le plan

Une droite et un plan de l’espace peuvent être : sécants parallèles strictement parallèles la droite contenue dans le plan L’intersection de la droite et du plan est vide.

Une droite et un plan de l’espace peuvent être : sécants parallèles strictement parallèles la droite contenue dans le plan

Une droite et un plan de l’espace peuvent être : sécants parallèles strictement parallèles la droite contenue dans le plan L’intersection de la droite et du plan est la droite.

Deux plans distincts de l’espace peuvent être :

Deux plans distincts de l’espace peuvent être : sécants

Deux plans distincts de l’espace peuvent être : sécants Leur intersection est une droite.

Deux plans distincts de l’espace peuvent être : sécants parallèles

Deux plans distincts de l’espace peuvent être : sécants parallèles Leur intersection est vide.

Droites et plans de l’espace : parallélisme

Théorème 1 : Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

Exemple

Exemple La droite (EH) est parallèle à la droite (AD) du plan (ABC), elle est donc parallèle au plan (ABC).

Théorème 2 : Si deux plans P1 et P2 sont parallèles, alors tout plan P qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection d1 et d2 sont parallèles.

Exemple

Exemple Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles.

Exemple Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (ACG) coupe (ABC) suivant la droite (AB).

Exemple Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (ACG) coupe (ABC) suivant la droite (AB). Le plan (ACG) coupe (EFG) suivant la droite (EG).

Exemple Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (ACG) coupe (ABC) suivant la droite (AB). Le plan (ACG) coupe (EFG) suivant la droite (EG). On en conclut que les droites (AC) et (EG) sont parallèles.

Théorème 3 : Soit deux plans P1 et P2 sécants suivant une droite D et une droite d parallèle à P1 et à P2, alors d est parallèle à D.

Théorème 4 : Un plan P1 est parallèle à un plan P2 si et seulement si il existe deux droites sécantes de P1 parallèles au plan P2.

Exemple

Exemple (EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG).

Exemple (EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG). (EF) est parallèle à la droite (AB) du plan (ABC).

Exemple (EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG). (EF) est parallèle à la droite (AB) du plan (ABC). (EH) est parallèle à la droite (AD) du plan (ABC).

Exemple (EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG). (EF) est parallèle à la droite (AB) du plan (ABC). (EH) est parallèle à la droite (AD) du plan (ABC). On en conclut que les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles.

Théorème 5 (théorème du toit) Soit deux plans P1 et P2 sécants suivant une droite D. Si d1 est une droite du plan P1 et d2 une droite du plan P2 telles que d1 et d2 sont parallèles, alors D est parallèles à d1 et à d2 .

Exemple : SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un parallélogramme. Déterminer l’intersection des plans (SAB) et (SCD).

Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S.

Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S. (AB) est une droite du plan (SAB).

Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S. (AB) est une droite du plan (SAB). (CD) est une droite du plan (SCD).

Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S. (AB) est une droite du plan (SAB). (CD) est une droite du plan (SCD). Comme ABCD est un parallélogramme, (AB) et (CD) sont parallèles .

Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S. (AB) est une droite du plan (SAB). (CD) est une droite du plan (SCD). Comme ABCD est un parallélogramme, (AB) et (CD) sont parallèles . D’après le théorème du toit, D est la parallèle à (AB) et à (CD) passant par S.