Leçon 3: Analyse Temporelle Des Systèmes Fondamentaux Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier la réponse temporelle des systèmes élémentaires en automatique. Ces systèmes sont décris par des équations différentielles ne dépassant pas le 2nd ordre. Les grandeurs d’entrée typiques qui vont être exploitées sont l’impulsion, l’échelon et la rampe. 08/04/2017

I. Etude de l’intégrateur Un intégrateur est un système dont l’équation temporelle de sa réponse vérifie (K constante réelle) I.1 Réponses impulsionnelle I.2 Réponses indicielle Lorsque l’entrée est une impulsion de Dirac, x(t) =d(t), l’équation de l’intégrateur donne : Lorsque l’entrée est un échelon, x(t)=u(t), l’équation de l’intégrateur donne : ? ? D’ou D’ou ? ? 08/04/2017

II. Systèmes du premier ordre Un système est dit du premier ordre ou "à constante de temps" si la relation entre son entrée et sa sortie est une équation différentielle du premier ordre, de la forme : constante de temps du système gain statique 08/04/2017

? II.1 Exemples de systèmes * Amortisseur ressort * Circuit RC x(t) et y(t) étant les variations respectives des positions des points X et Y avec K = 1 et t = RC ? ? ? 08/04/2017

? ? II.2 Réponse indicielle des systèmes du 1er ordre On applique à l’entrée un échelon unitaire donc : ? d’où après décomposition en éléments simples on obtient: ? Temps de réponse : Le temps de réponse à ±5% de k est tr = 3t . Temps de montée : le temps de montée est le temps mis pour atteindre 90% de k. d’où ? 08/04/2017

? ? II.3 Réponse à une rampe Si l’entrée vaut e(t) = a.t alors: après décomposition en éléments simples on obtient: ? remarquons que s(t) tend vers Ka(t − t ) (rampe retardée de t ) d’où ? 08/04/2017

? II.4 Réponse impulsionnelle La réponse à une impulsion de Dirac e(t) =d(t) E(p) = 1 ce qui nous donne La réponse temporelle devient La réponse impulsionnelle est une impulsion. Au bout de 3t la valeur résiduelle vaut 5%, le système est stable ? 08/04/2017

? III. Systèmes du second ordre Un système du second ordre est décrit par une équation différentielle de la forme À conditions initiales nulles, la transformée de Laplace donne k : gain statique ? d’où W0 : pulsation propre non amortie x: coefficient d’amortissement 08/04/2017

? ? ? III.1 Exemples de systèmes circuit RLC d’où ce qui nous permet d’identifier ? (pulsation propre d’un circuit oscillant LC) (facteur d’amortissement proportionnel à R, plus R augmente plus l’énergie se dissipe vite) ? 08/04/2017

? ? ? ? amortisseur + masse + ressort Le théorème de la résultante dynamique nous permet d’écrire ? Ainsi ? ? ? Avec 08/04/2017

? ? ? ? III.2 Analyse de la réponse La fonctions de transfert du système du second ordre est Avec La décomposition de H(p) en fractions simples dépend des racines de (1 + 2x/W0 p + p2/W02 ) ou bien (p2+ 2xW0 p +W02 ) ? ? * Si x< 1 : Les deux racines sont complexes et conjuguées, le système est sous-amorti * si x>=1 : il s’agit là de deux racines réelles et le système est hyper-amorti ? 08/04/2017

III.3 Temps de réponse On peut remarquer que le temps de réponse est minimum pour x≈ 0,7 ? x On admet que: · si x >> 1: tr = 6 x /w0 · si x << 1: tr = 3/ x.w0 08/04/2017

? ? III.4 Réponse indicielle unitaire Cas où x> 1 La réponse du système est apériodique. La décomposition en éléments simples donne : ? d’où ? 08/04/2017

Cas où x = 1 Cas de l’amortissement critique, la réponse du système est toujours apériodique ainsi la réponse temporelle est : ? 08/04/2017

selon que l’on choisisse ou on aura l’un Cas où x< 1 La réponse du système est oscillatoire amortie "pseudo-périodique". On a maintenant d’où Avec selon que l’on choisisse ou on aura l’un ou l’autre des cas ou 08/04/2017

La réponse indicielle est donc oscillatoire amortie Quatre paramètres sont intéressants : – le temps de montée tm – le temps du premier maximum tpic – le dépassement D exprimé en % de la valeur finale – la pseudo période Tp 08/04/2017

? Calcul du temps de montée Le temps de montée tm est le temps que met le système pour atteindre, pour la 1ère fois, la valeur finale K: A chaque valeur de k correspond un point d’intersection avec la droite y(t) = K. Le temps de montée correspond donc au 1er point d’intersection est: ? 08/04/2017

? Calcul du temps du premier maximum (ou temps de pic) Les valeurs de t correspondant aux maxima et aux minima correspondent aux instant pour les quels la dérivée de y(t) s’annule. On obtient alors: d’où Le premier dépassement correspond au 1er maximum k=1 ? 08/04/2017

? ? Calcul du dépassement : Ainsi le dépassement pour cent est Calcul de la pseudo période C’est le temps observé entre deux maximums successifs ? 08/04/2017

Réponse à une impulsion IV. Le minimum à apprendre Equation de l’intégrateur Réponse à une rampe ? Système du premier ordre - Fonction de transfert ? - Allures des courbes Réponse à une impulsion - Temps de réponse à ±5%: tr = 3t ? - Temps de montée: (90% de k) tm = 2,3t ? (Réponse indicielle) 08/04/2017

- Fonction de transfert Système du second ordre - si x1 : système hyper-amorti. ? - Fonction de transfert ? - Temps de réponse La réponse est apériodique ? le temps de réponse est minimum pour x≈ 0,7 ? - Si x< 1 : système sous-amorti ? La réponse est pseudo-périodique · si x >> 1: tr = 6 x /w0 · si x << 1: tr = 3/ x.w0 ? ? 08/04/2017

? ? ? ? ? Temps du premier maximum (ou temps de pic) Dépassements Temps de montée ? Temps du premier maximum (ou temps de pic) ? Dépassements ? ? Pseudo période ? 08/04/2017