Thème: statistiques et probabilités Séquence 3: Statistique descriptive Utiliser un logiciel (par exemple, un tableur) ou une calculatrice pour étudier une série statistique. Capacités : Passer des effectifs aux fréquences, calculer les caractéristiques d’une série définie par effectifs ou fréquences. Calculer des effectifs cumulés, des fréquences cumulées. Représenter une série statistique graphiquement (nuage de points, histogramme, courbe des fréquences cumulées). Mevel Christophe

Mevel Christophe 1°) Présentation d’une série statistique a) Effectifs cumulés, fréquences cumulées : Définitions : La population d’une série statistique est l’ensemble des éléments appelés « individus » sur lesquels porte l’étude statistique. Le caractère d’une série statistique est la propriété étudiée sur chaque individu. Il est dit : lorsqu’il ne prend pas que des valeurs numériques ; lorsqu’il ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs numériques ; lorsqu’il peut prendre une infinité de valeurs numériques. qualitatif quantitatif discret quantitatif continu Remarque : Pour un caractère quantitatif continu, les valeurs sont regroupées dans des intervalles appelés « classes » Mevel Christophe

Mevel Christophe Exemples : Les élèves de la seconde 10 Le temps de Situation étudiée Population Caractère Valeurs possibles du caractère Type du caractère Les notes du devoir de seconde 10 Tous les élèves de seconde 10 La note obtenue au devoir 0; 0,5; 1; 1,5… jusqu’à 20 Quantitatif discret si classées séparément La couleur des yeux des Norvégiens Tous les bretons La couleur des yeux Bleu, Vert, Marron… Qualitatif Les salaires des cadres à Brest Tous les cadres travaillant sur Brest Les salaires [0; 1000[; [1000; 1500[; [1500;2000[… Quantitatif continue L’activité ReAction Les élèves de la seconde 10 Le temps de réponse au stimuli 0,33; 0,34; 0,35; 1; … Quantitatif discret Mevel Christophe

Mevel Christophe nombre d’individus quotient par 3 𝟑 𝟐𝟎 somme Définitions : L’effectif d’une valeur du caractère est le de la population prenant cette valeur (nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série.). La fréquence d’une valeur du caractère est le de l’effectif de cette valeur l’effectif total. nombre d’individus quotient par 3 Exemple: l’effectif 0,35 de la série obtenue dans l’activité Re-Action est de …… La fréquence associée au temps de 0,35s est obtenu En effectuant le calcul suivant: 𝟑 𝟐𝟎 Définitions : On note une valeur prise par un caractère quantitatif : ses valeurs sont numériques. L’effectif cumulé croissant (resp. décroissant) de 𝒙 𝒊 est la des effectifs des valeurs (resp. supérieures) ou égales à 𝒙 𝒊 . La fréquence cumulée croissante (resp. décroissante) de 𝒙 𝒊 est la des fréquences des valeurs inférieures (resp. supérieures) ou égales à 𝒙 𝒊 . somme inférieures somme Propriété : La somme de toutes les fréquences est toujours égale à 1. Mevel Christophe

Exemples: 1) Ce tableau donne la répartition des salaires dans une entreprise bretonne. Salaires (en Euros) [0 ; 1000 [ [1000 ; 1500 [ [1500 ; 2500[ [2500 ; 3000[ Fréquence 𝑓 𝑖 0,22 0,32 0,38 0,08 Fréquences Cumulées Croissantes (FCC) 0,22 + 0,32 = 0,54 + = + = Décroissantes (FCD) + = 0,38 + 0,08 = 0,46 0,54 0,38 0,92 0,08 0,92 1 0,78 0,22 0,46 0,32 1 0,78 Mevel Christophe

Effectifs cumulés croissants 2) Ce tableau comporte l’ensemble des données de votre série Ici pour l’exemple, j’ai pris 0,35;0,37;0,39;0,34;0,36. Peut-être qu’il serait préférable que les élèves prennent leur série. Chacun fait comme il préfère. Temps de réaction (en s) 0,34 0,35 0,36 0,37 0,39 Effectif 𝑛 𝑖 1 4 3 Effectifs cumulés croissants (ECC) Fréquence 𝑓 𝑖 Mevel Christophe

Mevel Christophe b) Représentations graphiques Selon le type du caractère, on utilise différentes représentations graphiques. Diagramme en barres (Caractères quantitatif discret ou qualitatif): exemple avec les temps de réactions Histogramme (Caractères quantitatif continu): exemple avec les salaires dans l’entreprise bretonne Diagramme circulaire (Caractère qualitatif): exemple avec la couleur des yeux des Norvégiens. On pourrait également utiliser le diagramme en bâtons pour représenter cette série ou encore le nuage de points Les classes sont d’amplitudes non nécessairement égales. On s’intéresse donc à l’aire. Une fois les fréquences calculées, utiliser la proportion pour calculer l’angle correspondant sachant que la somme de tous les angles doit faire 360° Mevel Christophe

Mevel Christophe 2°) Indicateurs d’une série statistique  La moyenne Une série statistique peut contenir de très nombreuses données (parfois plusieurs milliers). Il est donc nécessaire de trouver une façon de résumer ces données. a) Les indicateurs de position  La moyenne La moyenne est l’indicateur le plus répandu. Lorsqu’on reçoit une note on peut la comparer à la moyenne de la classe, pour se positionner par rapport aux autres élèves. Définition: Effectif total : 𝑵= 𝒏 𝟏 + 𝒏 𝟐 + …. + 𝒏 𝟑 La moyenne pondérée de cette série statistique est le réel, noté , tel que : 𝒙 = 𝒏 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒏 𝟐 𝒙 𝟐 + …….. + 𝒏 𝒑 𝒙 𝒑 𝑵 Valeur 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 …… 𝒙 𝒑 Effectifs 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 𝑝 𝟎,𝟑𝟒 ×𝟏+𝟎,𝟑𝟓 ×𝟒+𝟎,𝟑𝟔 ×𝟑+𝟎,𝟑𝟕 ×𝟏+𝟎,𝟑𝟗 ×𝟏 𝟏𝟎 Exemple : Pour la série issue de l’activité Réaction, 𝑥 = = 𝟎,𝟑𝟓𝟖 Mevel Christophe

Remarque : pour une série regroupée en classes c'est-à-dire à caractère continu on obtient une valeur approchée de la moyenne de la série en prenant pour les centres des classes 𝑥 𝑖 . Ce centre est obtenu en faisant la moyenne des deux extrémités de chaque classe. Propriété : On peut calculer la moyenne 𝒙 à partir de la distribution des fréquences : 𝒙 = 𝒇 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝟐 + …. + 𝒇 𝟑 𝒙 𝟑  La médiane La médiane correspond à une valeur qui partage en deux parties (presque) égales la série statistique. Définition : La médiane d’une série statistique est le nombre noté Me, tel que : Pour la déterminer : on range la liste des N données par ordre croissant. si la série est de taille ( 2n + 1 ), la médiane est la donnée de rang n . si la série est de taille ( 2n) , la médiane est la demi-somme des données de rang n et n + 1. 50% au moins des individus ont une valeur du caractère inférieure ou égale à Me et 50% au moins des individus ont une valeur supérieur ou égale à Me. impaire paire Exemple: La médiane de la série issue des données de l’activité réaction est 𝑚𝑒𝑑= 𝟎,𝟑𝟓+𝟎,𝟑𝟔 𝟐 =𝟎,𝟑𝟓𝟓 Remarque : Pour une série regroupée en classes c'est-à-dire à caractère continu, la médiane correspond à la valeur du caractère ayant une fréquence cumulée croissante de 0,5. De plus la classe à laquelle appartient la médiane est appelée classe médiane. Mevel Christophe

Mevel Christophe petite un quart 25 trois quarts 75 Exemple: Les quartiles Définition : La liste des N données est rangées par ordre croissant. Le premier quartile est la plus donnée de la série telle qu’au moins des données ( %) de la série soit inférieure ou égale à 𝑸 𝟏 . Le troisième quartile est la plus petite donnée de la série telle qu’au moins les des données ( %) de la série sont inférieures ou égales à 𝑸 𝟑 . petite un quart 25 trois quarts 75 Mevel Christophe

Mevel Christophe b) Les indicateurs de dispersion Remarque : calcul pratique des quartiles pour une série à caractère discret : - Pour 𝑄 1 , on calcule 𝑁 4 , puis on détermine le premier entier p supérieur ou égal à 𝑁 4 ; Cet entier p est le rang de 𝑄 1 que l’on peut alors déterminer. - Pour 𝑄 3 , on fait de même en remplaçant par 𝑁 4 par 3𝑁 4 . Exemple: Dans la série de l’activité Réaction, 𝑄 1 est la 3ème valeur de la série ( 𝑁 4 = 10 4 =2,5) donc 𝑄 1 =0,35. 𝑄 3 est la 8ème valeur de la série ( 3𝑁 4 = 30 4 =7,5 ) donc 𝑄 3 =0,36 . b) Les indicateurs de dispersion Définition : La différence entre : la plus grande et la plus petite données d’une série est l’étendue de la série. le troisième quartile et le premier quartile est l’écart interquartile de la série. On notera [ 𝑸 𝟏 ; 𝑸 𝟑 ] l’intervalle interquartile. Remarque : Pour résumer une série statistique sous forme de schéma on utilisera ce que l’on appelle un diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) représenté ci-contre : Mevel Christophe

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