TP10: Fonctions de deux variables

Rappels Gradient Matrice hessienne

Rappels Calcul des minima, maxima et points de selle Annulation du gradient Détermination des coordonnées Calcul de la matrice hessienne en ces coordonnées maximum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x < 0, minimum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x > 0. Point de selle si dét< 0

Exercices du syllabus 107. 1) 2) 5)

Exercices du syllabus 108 111 f(x,y)=xlny+ylnx 1) 2)

Exercices du syllabus 116 Volume = 64m³: dimension pour aire totale minimum?

Exercices du syllabus 118. 1) Droite parallèle Oy, à 3cm de O et tournant autour de Oy = cylindre Intersection avec un plan parallèle à xOz = cercle C Intersection avec un plan passant par Oy = deux droites parallèles M et N z y x

Exercices du syllabus Plan parallèle à xOy, passant par p Deux droites parallèles Q et R Plan par Ox et la première bissectrice du plan yOz Une ellipse Plan perpendiculaire à D et passant par p

Exercices du syllabus 123 Hyperboloide à 1nappe Plan //Oxy: Cercle Plan // xOz: hyperbole

Exercices du syllabus 124 tore Si a=origine O? Plan // xOy pas b(0,0,1) 2 cercles concentriques c1 etc2 Plan // xOz par a(0,3,0) Courbe en forme de 8 Si a=origine O? Réduit à 1 point

Questions supplémentaires 1 Calculer les limites

Questions supplémentaires n’existe pas car différent selon la direction qu’on prend f continue en (1,1)? Non car la limite n’existe pas

Questions supplémentaires 2. Représenter dans l’espace R3 les domaines suivants Intérieur du cercle de rayon 1centré en (1,2) Intérieur d’un triangle

Questions supplémentaires intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon 2, dont on ne prend que la « tranche » dont les y sont compris entre 0 et 1

Questions supplémentaires 3. Représenter dans l’espace R3 les surfaces d’équation (cf cours) a) z² = x² + y² cone b) x = 3 plan c) z = x² + y² Paraboloïde elliptique d) x² + y² + z² = 1 sphère e) x² + y² = 1. cylindre

Questions supplémentaires 4.Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantes a) xy + y²

Questions supplémentaires e) xy

Questions supplémentaires 5.dérivée de f au point p=(1,2) dans la direction

Questions supplémentaires 6.Calculer les maxima et minima locaux ainsi que les points de selle des fonctions suivantes a) x²y + y² - 4xy - 6y + 7

Questions supplémentaires Annulation du gradient Coordonnées (2,5) Matrice hessienne Déterminant=20 >0et dérivées secondes positives minimum

Questions supplémentaires Matrice hessienne Déterminant <0 point de selle matrice hessienne Déterminant<0 point de selle

Questions supplémentaires c) x²-y²-2xy +2

Questions supplémentaires Annulation du gradient Coordonnées (0,0) Matrice hessienne Déterminant=0 pas de min, max, point de selle

C. Test 1.B 2. 750 personnes pour 5 isoloirs Diagonales, puis un des deux est coupé en 2  aire du grand = 4*4/2=8 2. 750 personnes pour 5 isoloirs  150 personnes pour 1 isoloir 150 personnes pour 5h = 5*60*60s=18.000s  1 personne pour 18000/150= 120s

C. Test 3.D 4. 𝑥+ 1 𝑥 ³=𝑥³+3𝑥² 1 𝑥 +3𝑥 1 𝑥² + 1 𝑥³ 4. 𝑥+ 1 𝑥 ³=𝑥³+3𝑥² 1 𝑥 +3𝑥 1 𝑥² + 1 𝑥³ = 𝑥 3 + 1 𝑥 3 +3 𝑥+ 1 𝑥 𝑥 3 + 1 𝑥 3 = 2014³-3*2014 Dernier chiffre = 4³-3*4 = 64-122

C. Test 5. 𝑢 + 𝑣 =1 ↔ 𝑢 + 𝑣 ²=1 ↔( 𝑢 + 𝑣 )( 𝑢 + 𝑣 )=1 5. 𝑢 + 𝑣 =1 ↔ 𝑢 + 𝑣 ²=1 ↔( 𝑢 + 𝑣 )( 𝑢 + 𝑣 )=1 ↔ 𝑢 𝑢 +2 𝑢 𝑣 + 𝑣 𝑣 =1 ↔ 𝑢 +2 𝑢 𝑣 + 𝑣 =1 ↔1+2 𝑢 𝑣 +1=1 ↔ 𝑢 𝑣 =−0,5