Chapitre 3 Trigonométrie

Objectifs : Savoir calculer un côté dans un triangle rectangle. Savoir calculer un angle dans un triangle rectangle.

I. Notion de cosinus/sinus/tangente Définition : A tout angle aigu, on peut définir son cosinus, son sinus ou sa tangente. Pour cela on utilise les touches COS, SIN et TAN de votre calculatrice.

Pour calculer la valeur approchée d’un cosinus d’un angle, on utilise la touche COS. Par exemple, pour 20° Pour calculer la valeur approchée d’un sinus d’un angle, on utilise la touche SIN. Par exemple, pour 20° Pour calculer la valeur approchée d’une tangente d’un angle, on utilise la touche TAN. Par exemple, pour 20°

Remarque : Un cosinus ou un sinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.

Pour calculer la valeur de l’angle pour lequel son cosinus est donné, on utilise la touche ACS ou ARCCOS ou cos −1 Par exemple : Si on cherche un angle dont son cosinus est 0,75, on tape : On peut faire de même avec un sinus ou tangente.

II. Dans le triangle rectangle. 1. Vocabulaire Dans le triangle rectangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est [BC]. C’est toujours le plus grand côté et le côté en face de l’angle droit. On considère l'angle 𝐴𝐵𝐶 . On appelle côté adjacent le côté qui constitue l'angle 𝐴𝐵𝐶 qui n'est pas l'hypoténuse.

On considère l'angle 𝐴𝐵𝐶 . On appelle côté opposé le côté en face de l'angle 𝐴𝐵𝐶. Côté Opposé

cos 𝐴𝐵𝐶 = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 2. Propriété Dans le triangle ABC rectangle en A, on a cos 𝐴𝐵𝐶 = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 sin 𝐴𝐵𝐶 = 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 = 𝐴𝐶 𝐵𝐶 tan 𝐴𝐵𝐶 = 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 = 𝐴𝐶 𝐴𝐵

Remarque : Un moyen mnémotechnique pour retenir les définitions du cosinus, du sinus et de la tangente est de mémoriser : SOHCAHTOA. En effet : SOH CAH TOA Sinus Adjacent Opposé Opposé Hypoténuse Tangente Cosinus Hypoténuse Adjacent

III. Applications. 1. Calculs de longueurs Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur d’un des côtés ainsi que la mesure de l’un des angles aigus, on peut calculer les longueurs des deux autres côtés.

Exemples : Objectif : calculer EF EDF est un triangle rectangle en E angle connu : 𝑬𝑭𝑫 côté connu : [DF] (l’hypoténuse) côté à calculer : [EF] (adjacent) On cherche quelle formule trigonométrique on va utiliser. Vu que cela fait intervenir l’hypoténuse H et le côté adjacent A, on va utiliser le cosinus.

On a donc : cos 𝐷𝐹𝐸 = 𝐸𝐹 𝐷𝐹 En remplaçant par les valeurs, on a : cos 30 = 𝐸𝐹 5 d’où il vient, par un produit en croix 𝐸𝐹 =5 × cos⁡30 La calculatrice donne EF ≈ 4,3 cm

Objectif : calculer AC ABC est un triangle rectangle en A angle connu : 𝑨𝑩𝑪 côté connu : [BC] (l’hypoténuse) côté à calculer : [AC] (opposé) On cherche quelle formule trigonométrique on va utiliser. Vu que cela fait intervenir l’hypoténuse H et le côté opposé O, on va utiliser le sinus.

On a donc : sin 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 𝐵𝐶 En remplaçant par les valeurs, on a : sin 62 = 𝐴𝐶 5 d’où il vient, par un produit en croix AC =5 ×𝑠𝑖𝑛⁡62 La calculatrice donne AC ≈ 4,4 cm

Objectif : calculer IH GHI est un triangle rectangle en H angle connu : 𝑮𝑰𝑯 côté connu : [GH] (opposé) côté à calculer : [IH] (adjacent) On cherche quelle formule trigonométrique on va utiliser. Vu que cela fait intervenir le côté adjacent A et le côté opposé O, on va utiliser la tangente.

On a donc : tan 𝐺𝐼𝐻 = 𝐺𝐻 𝐼𝐻 En remplaçant par les valeurs, on a : tan 50 = 3 𝐼𝐻 d’où il vient, par un produit en croix IH = 3 tan 50 La calculatrice donne IH ≈ 2,5 cm

2. Calculs d’angles Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur d’au moins 2 côtés du triangle, on peut calculer la mesure de tous les angles du triangle.

Exemples : Objectif : calculer 𝐴𝐵𝐶 ABC est un triangle rectangle en C côté connu : [AC] (opposé) côté connu : [AB] (l’hypoténuse) angle à calculer : 𝑨𝑩𝑪 On cherche quelle formule trigonométrique on va utiliser. Vu que cela fait intervenir l’hypoténuse H et le côté opposé O, on va utiliser le sinus.

On a donc : sin 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 𝐴𝐵 En remplaçant par les valeurs, on a : sin 𝐴𝐵𝐶 = 3 4,5 A l’aide de la touche sin −1 , on a : 𝐴𝐵𝐶 = sin −1 3 :4,5 ≈ 41,8°

Objectif : calculer 𝐸𝐷𝐹 EDF est un triangle rectangle en E côté connu : [EF] (opposé) côté connu : [DE] (adjacent) angle à calculer : 𝑬𝑫𝑭 On cherche quelle formule trigonométrique on va utiliser. Vu que cela fait intervenir le côté adjacent A et le côté opposé O, on va utiliser la tangente.

On a donc : tan 𝐸𝐷𝐹 = 𝐸𝐹 𝐷𝐸 En remplaçant par les valeurs, on a : tan 𝐸𝐷𝐹 = 6 4 A l’aide de la touche tan −1 , on a : 𝐸𝐷𝐹 = tan −1 6 :4 ≈ 56°