Pré-rentrée L1 Eco-Gestion Mathématiques Fonctions Trigonométriques Disponible ce soir sur unipiaf.net

Fonctions trigonométriques Connaître le cercle trigonométrique Les angles remarquables Les valeurs de Sin et Cos sur ces angles

Phénomènes périodiques Cycle de Kondratiev : alternance sur 40-60 ans Croissance récession dépression

Fonctions trigonométriques Cosinus Sinus fct combinée entre elles, peuvent suivre tout phénomène périodique

Fonction trigonométriques Exemple Phénomène périodique en créneaux Reproduit par combinaison de 1, 2 … jusqu'à 25 combinaisons de fonctions trigonométriques Peu commun car variation brutal. Peut être reproduit par des combinaisons de fct Trigo

Trigonométrie Géométrique du triangle rectangle Cosinus(Â) = coté adjacent / hypoténuse = a / h Sinus(Â) = coté opposé / hypoténuse = o / h Rappel : le cosinus d'un angle peut être défini dans un triangle rectangle. C'est le rapport

Trigonométrie Géométrique du triangle rectangle Si on prend le cas particulier d'une hypoténuse unité de longueur 1. Elle se simplifie et il ne reste que le côté adjacent

Cercle unité Angle radian Repère orthonormé (O, I, J) Définition Le cercle unité C a pour centre O et rayon 1 Soit M sur le cercle C La mesure en radian de l'angle IÔM est la longueur de l'arc de cercle IM Pour mesurer les angles utilise pas le degré. Mais le radian

Cercle unité -Angle en radian Correspondance degré – radian pour l'angle IÔM Degré 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360° Radian 2 subdivision

Cercle unité -Angle en radian Correspondance degré – radian pour l'angle IÔM Degré 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360° Radian /6 /4 /3 /2  2 Savoir placer sur un cercle trigo les angles pi/6 pi/4 pi/3 An radian, 360 = tour complet = 2pi 180 c'est pi 90 moitié de pi 45 = 90/2 30 = 60/2

Cercle unité – Angles radians orientés Complète aux 4 cadrans : en haut à gauche on ajoute, en bas, on adopte convention des angles radians orienté, et on les prends négatifs Un point pouvant être obtenu par plusieurs tours, plusieurs notations possibles -5pi/6 == 7pi/7

Cercle unité - Cosinus Sinus Tout point sur C a pour coordonnées M(Cos , Sin ) Où  est l'angle (Ox, OM) Propriété Cos²  + Sin²  = 1 1 Sin  M coordonnée un cos et sin de l'angle

Cercle unité Angles remarquables Radian /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6  Cos Sin Coupe l'axe en 3 position : longue Sqrt(3)2 moyenne R2/2 et courte 1/2

Cercle unité Angles remarquables Radian /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6  Cos 1 -1 Sin Symétrique

Cercle unité Angles remarquables orientés Radian -/6 -/4 -/3 -/2 -2/3 -3/4 -5/6 Cos 1 Sin -1 Completer tableau + cercle

Fonction Cosinus x - -/2 0 /2  0 + 1 + 0 – -1 – 0 Cos(x) Cos(/2) = 0 Cos(-/2) = 0 Pour tout nombre réel x -1  Cos(x)  1 Cos(x+2n) = Cos(x) 2 périodique, pour tout n entier Cos(-x) = Cos(x) symétrique axe Oy Cos(x+y) = Cos(x)Cos(y) - Sin(x)Sin(y) Variations Cos'(x) = -Sin(x) Période ]-,] x - -/2 0 /2  Cos'(x)= -Sin(x) 0 + 1 + 0 – -1 – 0 Cos(x) -1 0 1 0 -1

Exercice Exprimer les à l'aide de Cos(x) ou Sin(x) Cos(x + ) = Cos(x + /2) = Cos( - x) = Cos(2x) =

Exercice Cos(x + ) = – Cos(x) Cos(x + /2) = – Sin(x) Cos( - x) = – Cos(x) Cos(2x) = Cos²(x) – Sin²(x) Par formule ou cercle

Fonction Sinus x - -/2 0 /2  Sin'(x)= Cos(x) -1 – 0 + 1 + 0 – -1 Sin() = 0 Sin(-) = 0 Pour tout nombre réel x -1  Sin(x)  1 Sin(x+2n) = Sin(x) 2 périodique, pour n entier Sin(-x) = -Sin(x) symétrique par rapport O Sin(x+y) = Sin(x)Cos(y) + Sin(y)Cos(x) Variations Sin'(x) = Cos(x) Période ]-,] x - -/2 0 /2  Sin'(x)= Cos(x) -1 – 0 + 1 + 0 – -1 Sin(x) 0 -1 0 1 0

Exercice Exprimer les à l'aide de Cos(x) ou Sin(x) Sin(x + ) = Sin(x + /2) = Sin( - x) = Sin(2x) =

Exercice Sin(x + ) = – Sin(x) Sin(x + /2) = Cos(x) Sin( - x) = Sin(x) Sin(2x) = 2Sin(x)Cos(x)

Primitives f(x) Primitive F(x) Additivité et le Reste inconnu !!

Exercice Résoudre dans l'ensemble des nombres réels x Cos(x) = 0 Sin(x) = 0

Exercice Résoudre dans l'ensemble des nombres réels x, Cos(x)=0 Sur la période ]-,], les seules solutions sont : Cos(-/2) = 0 Cos(/2) = 0 Généralisation par périodicité pour tout entier n Cos(-/2 + n× 2) = 0 Cos( /2 + n× 2) = 0 Or -/2 = /2 -  d'où Cos(-/2 + n× 2) = 0 équivaut à Cos(/2 -  + n× 2) = 0 qui se réécrit en Cos(/2 + (n-1)× 2) = 0

Exercice Résoudre dans l'ensemble des nombres réels x Cos(x)=0 Généralisation par périodicité pour tout entier n Cos( /2 + n × 2) = 0 Cos( /2 + (n-1) × 2) = 0 On obtient tous les combinaisons /2 + , /2 + 2 … Solutions S = {/2 + n × 2 , pour tout entier relatif n}

Exercice Résoudre dans l'ensemble des nombres réels x Sin(x)=0 Solutions S = { + n × 2 , pour tout entier relatif n}

Exercice Étudier Cos²(x) La fonction a-t-elle une période de  Étudier le sens variation de Cos²(x) sur sa période [0, [