La suite logistique et le chaos D’après la conférence de Daniel Perrin (St Flour août 2008)

Modèles d’évolution de population Euler (1707-1783), Malthus (1766-1834) et Verhulst (1804-1849) vont s’occuper successivement de créer des modèles d’évolution de populations: Euler, vers 1760 (« Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain »), est conduit à déterminer la population d’une ville à une date donnée. Ses calculs reviennent à étudier une suite géométrique. Malthus reprend en 1798 l’idée d’un accroissement exponentiel de la population. Il modélise la population humaine comme une suite géométrique et la capacité de production comme une suite arithmétique. La distorsion entre les deux, le conduit à une proposition de limitation des naissances. Le modèle malthusien est remis en cause vers 1840 par Verhulst qui propose un modèle dit logistique qui prend en compte la limitation de la population. Le principe est simple : l’accroissement de la population n’est proportionnel à la population que pour les petites valeurs de celle-ci. Lorsqu’elle croît, des facteurs limitants apparaissent qui font qu’il y a une population maximale M. Verhulst postule alors que l’accroissement de la population x est proportionnel à la quantité x(M − x). Ce modèle lui permet de donner en 1837 une prévision de la population de la France en 1930 de 40 millions, alors qu’elle sera de 41,5 millions en 1931. (ce modèle ne pouvait pourtant prévoir ni les guerres de 70 et 14, ni la commune, ni la grippe espagnole!).

Modèles d’évolution de population Modèles continus Le temps est continu, tR, et on a une fonction p(t) à valeurs réelles. Dans ce cas, on suppose que si on connaît la population au temps t, on la connaît au temps t + dt, avec dt infinitésimal. Cela revient à se donner la dérivée en fonction de p(t). On ne s’intéresse ici qu’aux cas où la population suit un modèle autonome au sens où elle ne dépend pas du temps. On aura donc une équation de la forme p’ = f(p), la fonction f étant indépendante du temps. 1) P’(t)=K.P(t). (Euler et Malthus) Solution : P(t) = P(0).ekt Pas raisonnable à terme: la population tend vers l’infini. 2) P’(t)= m.P(t).(M-P(t)) (Verhulst) : On borne la population par M. Solution : avec

Modèles d’évolution de population Modèles discret Le temps est discret, nN (n désigne un nombre de minutes, d’heures…) et on a une suite pn à valeurs réelles. Dans ce cas, on se donne l’accroissement pn+1 − pn en fonction de pn. Le modèle est toujours autonome. La suite peut représenter: • En génétique : la fréquence d’un gène au temps n. • En épidémiologie : la proportion de la population infectée au temps n. • En économie : n est la quantité de marchandises et pn le prix. • En sciences sociales, l’étude de la propagation des rumeurs. 1) Pn+1 – Pn = K.Pn (K>0) : Pn = (1+K)n P0. Pas raisonnable : diverge vers l’infini. 2) Pn+1 = mPn - lPn² = mPn (1- (l/m)Pn) est borné par m/l Si on pose Un = (l/m)Pn on obtient : Un+1 = m Un (1-Un) (la suite logistique). Pour que Un [0 ;1] il est nécessaire que m[0 ;4] : f(x)= mx(1-x) atteint son max sur [0;1] pour x=1/2 et f(1/2)= m/4 qui doit appartenir à [0 ;1]… L’étude de la suite U quand m[0 ;4]  est très compliquée et l’étude de la suite logistique U reste encore OUVERTE…

Etude de la suite logistique Points fixes de f (1-cycle): cas m]0 ;3] Pour m[0 ;1] : U est décroissante, convergente vers 0  Les points fixes de f sont les solutions de g1(x) = f(x) - x = 0 ( où f(x) = mx(1 - x) ) Il y a 2 points fixes : 0 et t = 1-1/m. Ils peuvent être attractifs ou répulsifs : Le point fixe t est répulsif si ∣f’(t)∣>1 et attractif si ∣f’(t)∣ <1. Pour m]1 ;2] : U est monotone, convergente vers t  Pour m]2 ;3] : U est en escargot, convergente vers t  Attractif: f’(t)= - 0,4 m t On est ici Pour m]1 ;2] : 0 est répulsif, t est attractif, U est monotone, U converge vers t. Pour m]2 ;3] : 0 est répulsif, t est attractif, U est en « escargot » (à partir d’un certain rang), U converge vers t. Pour m[0 ;1] : 0 est attractif, U est décroissante, convergente vers 0 ; pas de t dans ]0 ;1] Cas m]3 ;4] : 0 et t sont répulsifs… U diverge en général (sauf si U0=f(-k)(t) ou 0 ou 1) Le problème est : De quelle façon cela diverge ? Vision sur géogébra

Etude de la suite logistique Points fixes de f2 (2-cycle): cas m]3 ; m2] Ce sont les points fixes de f2 (=fof) qui ne sont pas des points fixes de f. Th de Coppel : Si f n’a pas de 2-Cycle alors la suite converge… Il y a donc des 2-cycles dans le cas où m]3 ;4]. Il s’agit de trouver les racines de g2(x)=f(f(x))-x=0 qui ne sont pas 0 et t. Il faut trouver (f²)’(a) et (f²)’(b): (f²)’(a)= (f²)’(b)= f’(a)*f’(b)= 4+2m- m². Il y a attraction si ∣4+2m-m²∣<1  m]3 ;1+ [  On pose m2= 1+ ≈ 3,449. Au delà de m2 , le 2-cycle est répulsif. Les solutions de f(f(x))=x  sont les points fixes de f : 0 et t =1-1/m, puis deux autres : a et b sont dans [0 ;1] et on a : f(a)=b et f(b)=a Ce cycle est-il attractif ou répulsif ? Pour m= Le 2-cycle est « super attractif ». m2

Etude de la suite logistique Points fixes de f2 (2-cycle): cas m]3 ; m2] Vision sur géogébra

Etude de la suite logistique Pour m[0 ;1] : U est décroissante, convergente vers 0  Pour m]1 ;2] : U est monotone, convergente vers t  Pour m]2 ;3] : U est en escargot, convergente vers t  Pour m]3; m2[ : U a deux points d’accumulation a et b   Pour m] 3; m2[  : U2n converge vers a. U2n+1 converge vers b. m2 = Pour m = Le cycle est super attractif a b On est ici m2 m

Etude de la suite logistique Points fixes de f4 (4-cycle): cas m] m2; m3[ Etude de la suite logistique Lorsque le cycle d’ordre 2 cesse d’être attractif, le théorème de Coppel, appliqué à f², montre qu’il y a un cycle d’ordre 2 pour f², donc d’ordre 4 pour f. A partir de maintenant, on a à résoudre des équations algébriques de plus en plus compliquées (degré 16 pour f4). Il s’agit de trouver les racines de g4(x)=f(f(f(f(x))))-x=0 qui ne sont pas 0, a, b et t déjà trouvés.

Etude de la suite logistique Points fixes de f4 (4-cycle): cas m] m2; m3[ Etude de la suite logistique Ce 4-cycles existe et est attractif pour m] m 2 ; m3 [ avec m3 ≈ 3,544 On ne connaît pas les valeurs exactes du 4-cycle en fonction de m racines du polynôme suivant: Tout se fait numériquement pour un m donné. On connaît encore moins la valeur exacte de m3: tout se fait numériquement, et c’est difficile! Vision sur géogébra

Etude de la suite logistique Pour m[0 ;1] : U est décroissante, convergente vers 0  Pour m]1 ;2] : U est monotone, convergente vers t  Pour m]2 ;3] : U est en escargot, convergente vers t  Pour m]3; m2[ : U a 2 points d’accumulation a et b   Pour m] m2; m3[ : U a 4 points d’accumulation Etude de la suite logistique Pour m] m2; m3[  : U4n converge vers a1. U4n+1 converge vers a2. U4n+2 converge vers a3. U4n+3 converge vers a4. m2 ≈ 3,449490 m3 ≈ 3,544090 Pour m ≈ 3, 49856 Le cycle est super attractif On est ici m2 m3 m

Etude de la suite logistique Les 4-cycle, 8-cycles …: cas m] m3; m[ Etude de la suite logistique Lorsque le cycle d’ordre 4 cesse d’être attractif, le théorème de Coppel, appliqué à f4, montre qu’il y a un cycle d’ordre 2 pour f4, donc d’ordre 8 pour f etc. On aura donc des 8-cycles, 16 cycles … 2n-cycles, attractifs sur ] m3; m4[, ] m4; m5[, … ] mn; mn +1[ Par des algorithmes complexes, on trouve: m4 ≈ 3, 564407… et m ≈ 3, 5699456 . Calcul des cycles sur Excel:

Etude de la suite logistique En résumé sur [0; m[: Etude de la suite logistique Pour m[0 ;1] : U est décroissante, convergente vers 0  Pour m]1 ;2] : U est monotone, convergente vers t  Pour m]2 ;3] : U est en escargot, convergente vers t  Pour m]3; m2[ : U a 2 points d’accumulation Pour m] m2; m3[ : U a 4 points d’accumulation… Pour m] mn; mn +1[ : U a 2n points d’accumulation… m1 = 3 m2 ≈ 3,449490 m3 ≈ 3,544090 m4 ≈ 3, 564407 …. m≈ 3, 5699456 m Visualisation d’un 8-cycle sur géogébra

Etude de la suite logistique Le cas m = 4 Oui, je sais… ce sera après! Etude de la suite logistique 2 définitions: La dynamique associée à f est « chaotique » s’il existe U0 tel que la suite U est partout dense dans [0 ;1]. La dynamique associée à f est « sensitive » ou sensible aux conditions initiales, si :  e >0 , x[0 ;1],  h >0,  y[0 ;1], nN avec ∣ x - y∣ < h et ∣ f n (x)- f n (y)∣ > e (pffff!!!) Si la dynamique de f est chaotique, alors f est sensitive et l’ensemble des points périodiques de f est partout dense. (en gros, on y trouve de tout: des 3-cycles, des 4 cycles , des 5 cycles…) Cette dynamique est imprévisible à cause de la sensibilité aux conditions initiales et aux approximations de calculs : par ex: U0=0.6 et V0=0.599999 et U21-V21≈0,8 La suite est dense dans [0;1] : On peut se servir de ces suites comme nombres aléatoires : sur ce graphique, les 1000 points ont pour coordonnées les suites de premiers termes 0,4 et 0,6…

Etude de la suite logistique Le cas m = 4 Etude de la suite logistique Des points particuliers En remarquant que (dans le cas m=4), f(sin²( q))=sin(2q), on obtient avec U0 = sin²(q): Un=sin²(2n q) Avec avec 0  k <2p-1 ou avec 0  k  2p-1 , La suite U est périodique de période p (sauf si peut se simplifier en avec 0<k’<k et 0<p’<p) Par exemple: : U est de période 4. Ou encore : U est de période 3. En revanche les erreurs d’approximations des logiciels font que les suites n’apparaissent pas cycliques… Visualisation sur géogébra de ces cas

Le reste: Je ne comprends RIEN…. Le cas très difficile m  ] m ; 4[ Etude de la suite logistique Il y a donc deux 3-cycle pour m=3,831: {0.1550726466 , 0.5019572381 , 0.9577353243 } très attractif Et  {0.1645585343 , 0.5266821375 ,0.9550225714} lentement répulsif Le théorème de «Sarkovsky » (forme faible (!!!), très faible ce Sarkovsky) : Si f admet un point de période 3, alors f admet des points périodique de toutes les périodes n>0. et aussi : La fonction f admet des points de période 3 pour (et donc de toutes les périodes). et plein d’autres trucs incompréhensibles !!! (pour moi évidemment) Le reste: Je ne comprends RIEN…. Cherchons donc un de ces fameux 3-cycles pour m=3,831 , avec Xcas:

Etude de la suite logistique Utilisation en classe Etude de la suite logistique En 2003, nous recevions la base d’exercices de bac (en vue du nouveau bac). Il y avait ce problème de coccinelles: On y étudiait donc la suite logistique dans différent cas: k=1 (cv vers 0) puis k=1,8 (cv vers t) et enfin k=3,2 (2-cycle).. L’idée m’est venue de reprendre ce classique pour un td en 1ère S avec l’objectif de représenter des suites avec la calculatrice. Le début de l’énoncé étant similaire à ce qui précède, voici les questions:

ET Voilà !! Bibliographie Pour l’essentiel, le document de Daniel Perrin dont j’ai tenté de restituer à peine le centième! http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/logistiqueDP.pdf Le Wiki: http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_logistique Les différents fichiers géogébra et le diaporama sont en ligne sur mon site: http://bretin.jacques.free.fr ET Voilà !!