STT-3220 Méthodes de prévision Section 3 Modèles saisonniers classiques Version: 13 septembre 2004

STT-3220; Méthodes de prévision Séries saisonnières Plusieurs séries chronologiques présentent des cycles qui ont tendance à se répéter dans le temps, et ce après une période fixe dans le temps. On appelle cette tendance la saisonnalité. La longueur du cycle est appelée la période saisonnière, que l’on note s. Séries mensuelles: s = 12. Séries trimestrielles: s = 4. Ex. de facteurs créant des composantes saisonnières: Température (Ex: demande d’électricité est plus forte l’hiver que l’été). Temps des fêtes (ventes au détail plus forte en décembre). STT-3220; Méthodes de prévision

Modélisation des séries saisonnières L’approche classique consiste à décomposer la série en trois composantes: Tendance, notée Tt. Composante saisonnière, notée St. Le terme d’erreur, et. Décomposition additive: zt = Tt + St + et. Décomposition multiplicative: zt = Tt x St x et. STT-3220; Méthodes de prévision

Modèles additifs: Modélisation de la tendance Tt Dans le modèle le terme de tendance peut être modélisé par: Tendance linéaire: Tendance quadratique: En général: STT-3220; Méthodes de prévision

Modèles additifs: Modélisation de la saison Utilisation d’indicateurs saisonniers: Fonctions trigonométriques: STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Exemple Un modèle pour données mensuelles, présentant une tendance linéaire: où janvier = période 1, février = période 2, … , décembre = période 12. STT-3220; Méthodes de prévision

Étude d’un modèle particulier Considérons: Sous forme matricielle: Les composantes sont: STT-3220; Méthodes de prévision

Dans le modèle précédent XTX n’est pas inversible. Pour éviter ce problème: contraintes sur les di. Trois possibilités math. équivalentes: (1) Retirer b0. Les di sont des ordonnées à l’origine saisonniers. On retrouve s tendances parallèles. (2) Imposer . Dans un tel cas, di est l’effet saisonnier comparé à une tendance moyenne. (3) Poser ds = 0 que l’on retire du modèle. On a alors que di est l’effet saisonnier de la saison i comparé à la saison s. STT-3220; Méthodes de prévision

Calculs des prévisions Si on adopte la troisième paramétrisation: Ce modèle n’est rien d’autre qu’un modèle de régression standard: Fonction de prévision: STT-3220; Méthodes de prévision

Modélisation de la saison avec des fonctions trigonométriques Le modèle que l’on considère est maintenant: La composante saisonnière est alors: Fréquence fi = 2pi/s, le shift est fi, Amplitude = Ai. STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Données mensuelles, s = 12. Première harmonique (cycle:un an): et comme fonction de t =1, 2, …, 12, …: Seconde harmonique (cycle:6 mois): Troisième harmonique (cycle:4 mois), quatrième (cycle: 3 mois), cinquième (cycle: 12/5 mois) et la sixième et dernière (cycle de 2 mois) STT-3220; Méthodes de prévision

Écriture comme un modèle de régression linéaire Compte tenu de la relation bien connue: On considère dans le modèle: STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Écriture comme Dans un modèle comme: STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Remarque Avec un terme constant b0 dans le modèle: on ne peut ajuster que m=s/2-1 harmoniques si s est pair, On ne peut ajuster que m=(s-1)/2 harmoniques si s est impair. Il est suggéré de poser b1,s/2 = 0 lorsque s est pair. STT-3220; Méthodes de prévision

Modèle sinusoïdal en douze points STT-3220; Méthodes de prévision

Modèle avec tendance linéaire et deux harmoniques STT-3220; Méthodes de prévision