ACT Cours 7 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Septième cours
ACT Cours 7 Rappel: Méthode de bissection
ACT Cours 7 Rappel: Méthode de bissection Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 »
ACT Cours 7 Rappel: Méthode de bissection Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » Annuités simples
ACT Cours 7 Rappel: Méthode de bissection Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » Annuités simples Période de paiement
ACT Cours 7 Rappel: Méthode de bissection Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » Annuités simples Période de paiement Annuité simple constante de fin de période (« annuities- immediate »)
ACT Cours 7 Nous avons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. Rappel:
ACT Cours 7 Nous avons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. La valeur actuelle de cette annuité (c’est-à-dire au début de la première période) est notée Rappel:
ACT Cours 7 Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: Rappel:
ACT Cours 7 Rappel: Nous avons montré que où = (1 + i) -1
ACT Cours 7 Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i (2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. Exemple 1:
ACT Cours 7 Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i (2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. (a) Quel sera le montant semestriel R retiré? Exemple 1:
ACT Cours 7 Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i (2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. (a) Quel sera le montant semestriel R retiré? (b) Quel sera le montant d’intérêt gagné dans ce placement? Exemple 1:
ACT Cours 7 Le diagramme d’entrées et sorties est où le retrait semestriel est noté par R Exemple 1: (suite)
ACT Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en semestres. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Exemple 1: (suite)
ACT Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en semestres. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Le taux d’intérêt par semestre est Exemple 1: (suite)
ACT Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est Exemple 1: (suite)
ACT Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est Exemple 1: (suite) c’est-à-dire
ACT Cours 7 Le montant d’intérêt gagné par Yorick est 30R = 30( ) = $ Exemple 1: (suite)
ACT Cours 7 Interprétation de la formule: ou plutôt
ACT Cours 7 Ceci correspond à l’équation de valeur à t = 0 de 1 dollar investi pour n périodes de capitalisation pendant lesquelles ce 1 dollar rapporte de i dollars d’intérêt à la fin de chaque période et qu’à la fin de la n e période 1 dollar est remboursé. Interprétation (suite):
ACT Cours 7 Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant: Interprétation (suite):
ACT Cours 7 Revenons à notre annuité, à savoir celle pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.
ACT Cours 7 La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la n e période (c’est-à-dire au temps t = n) est notée Notation:
ACT Cours 7 Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:
ACT Cours 7 Alors
ACT Cours 7 Alors En utilisant la formule connue:
ACT Cours 7 Alors En utilisant la formule connue: nous obtenons
ACT Cours 7 Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i (12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. Exemple 2:
ACT Cours 7 Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i (12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. (a) Quel sera le montant mensuel R déposé? Exemple 2:
ACT Cours 7 Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i (12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. (a) Quel sera le montant mensuel R déposé? (b) Quel sera le montant total d’intérêt gagné dans ce placement? Exemple 2:
ACT Cours 7 Le diagramme d’entrées et sorties est où le dépôt mensuel est noté par R Exemple 2: (suite)
ACT Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en mois. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 5 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 60 périodes de paiement. Exemple 2: (suite)
ACT Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en mois. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 5 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 60 périodes de paiement. Exemple 2: (suite) Le taux d’intérêt par mois est
ACT Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 60 mois est Exemple 2: (suite)
ACT Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 60 mois est Exemple 2: (suite) c’est-à-dire
ACT Cours 7 Le montant total d’intérêt gagné par Alex est R = (301.66) = $ Exemple 2: (suite)
ACT Cours 7 Bobby a déposé à la fin de chaque trimestre 1000$ dans un compte de banque rémunéré au taux nominal d’intérêt i (4) = 6% par année capitalisé à tous les trois mois. Quel sera le montant accumulé dans ce compte après 7 ans? Exemple 3:
ACT Cours 7 Le diagramme d’entrées et sorties est où X est le montant accumulé à la fin de la 7 e année Exemple 3: (suite)
ACT Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en trimestre. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 7 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 28 périodes de paiement. Exemple 3: (suite)
ACT Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en trimestre. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 7 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 28 périodes de paiement. Exemple 3: (suite) Le taux d’intérêt par trimestre est
ACT Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 28 trimestres est Exemple 3: (suite)
ACT Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 28 trimestres est Exemple 3: (suite) c’est-à-dire
ACT Cours 7 Nous allons maintenant relier les valeurs actuelles et accumulées d’une même annuité.
ACT Cours 7 Formule 1:
ACT Cours 7 Formule 1: Formule 2:
ACT Cours 7 Formule 1: Cette dernière formule a une interprétation avec les concepts d’amortissement et de fonds d’amortissement. Formule 2:
ACT Cours 7 Considérons maintenant une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits au début de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. Nous dirons que c’est une annuité simple constante de début de période. En anglais, ceci est dénommé « annuities-due ». Définition:
ACT Cours 7 La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période (c’est-à-dire au temps t = 0 ou encore au moment du premier paiement) est notée Notation:
ACT Cours 7 Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: Notation: (suite)
ACT Cours 7 Alors
ACT Cours 7 Alors En utilisant la formule connue suivante:
ACT Cours 7 Alors En utilisant la formule connue suivante: nous obtenons
ACT Cours 7 Revenons à notre annuité, à savoir celle pour laquelle des paiements de 1dollar sont faits au début de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.
ACT Cours 7 La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la n e période (c’est-à-dire au temps t = n) est notée Notation:
ACT Cours 7 Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: Notation: (suite)
ACT Cours 7 Alors
ACT Cours 7 Alors En utilisant la formule connue suivante:
ACT Cours 7 Alors En utilisant la formule connue suivante: nous obtenons
ACT Cours 7 Nous pouvons maintenant résumer ces différentes valeurs. Le diagramme suivant indique chacune de ces valeurs relativement au flux financier
ACT Cours 7