Des logiciels de maths à l’école ? C. Ouvrier-Buffet MCF Melun, Paris 7, Grenoble

Les TICE pour quoi faire ? Vision institutionnelle Outils pour l'individualisation des parcours Un outil de remédiation Usage pédagogique des RIP (Reconnus d’Intérêt Pédagogique) ENT (Environnement Numérique de Travail) "L'alphabétisation numérique"   B2i Charte d’utilisation de l’internet L'évaluation et la mutualisation des usages

Les TICE pour quoi faire ? Vision institutionnelle (nouveaux programmes) « Dès l'école primaire, il est indispensable de développer une solide culture des TIC. Pour cela, les élèves utilisent régulièrement les outils informatiques dans les différents champs disciplinaires. Le dispositif pédagogique, organisé en conséquence, les places dans des situations de prise d'autonomie au cours de leurs apprentissages. Produire, modifier du texte, des images ou du son, naviguer sur la Toile, échanger des messages sont des activités qui permettent d'acquérir efficacement les compétences du B2i inclus dans le socle commun. De plus, les TIC facilitent la différenciation notamment au service des élèves à besoins spécifiques. »

Les TICE pour quoi faire ? Vision institutionnelle (nouveaux programmes) « L'enseignement des mathématiques doit intégrer et exploiter les possibilités apportées par les technologies de l'information et de la communication : calculatrices, logiciels de géométrie dynamique, logiciels d'entraînement, toile (pour la documentation ou les échanges entre classes), rétroprojecteur et vidéo projecteur (pour les moments de travail collectif). »

Les TICE pour quoi faire ? Pour vous (préparation de séquences, de projets, de mises en commun) Pour vos élèves (remédiation, différenciation, un outil pour la validation etc.)

Nature des logiciels Simulateurs Micromondes Erica de Vries (2001) Les logiciels d’apprentissage : panoplie ou éventails ? Revue Française de Pédagogie 137. Exerciseurs (logiciels d’entraînement – approche behavioriste) Tutoriels / didacticiels (initiation guidée à l'utilisation d'un ensemble de notions ou d'une technique – cognitiviste) Tuteurs intelligents (enseigner comme l’enseignant …) Jeux (souvent des exerciseurs déguisés) Simulateurs Micromondes

Simulateurs et micromondes Simuler des lois naturelles actions élèves : manipuler, observer ; interpréter les résultats constructiviste / modélisation du domaine de connaissances Permettre la découverte de domaines abstraits (micromonde) s’apparente aux simulateurs

Micromondes Définition : les micromondes se distinguent par le fait qu'on entre dans une fenêtre vide, à l'intérieur de laquelle on dispose d'un certain nombre d'objets, à partir desquels il est possible de construire quelque chose. La construction se fait avec des manipulations simples (Aplusix, Cabrigéomètre). Importance des feed-backs (apprentissage) Accompagnement de l’enseignement Pas d’activité ni d’évaluation prévues en interne (donc tous niveaux) Le traitement de l’erreur existe mais reste à interpréter (à la charge des acteurs de l’enseignement)

Ce que l’on va regarder Des ressources disponibles en ligne Un logiciel de géométrie (micromonde) : Apprenti Géomètre Un logiciel de géométrie dynamique (micromonde) : Cabri Géomètre La conception de la géométrie qu’il mobilise Son appropriation

Ressources en lignes

Quelques sites http://www.educnet.education.fr/ B2i Exemples d’usage (TBi) Logiciels RIP http://revue.sesamath.net/ http://pagesperso-orange.fr/dbigeard/

Depuis 2003/2004 – CREM Belgique http://www.enseignement.be/geometre Apprenti Géomètre Depuis 2003/2004 – CREM Belgique http://www.enseignement.be/geometre

Qu’est-ce que c’est ? Apprenti Géomètre Idée : un « atelier » pour travailler les mathématiques élémentaires (géométrie, arithmétique, grandeurs, fractions, mesures, etc.) … ne remplaçant pas le matériel habituel. C’est en fait un micromonde. Il n’apporte pas de schéma d’enseignement tout prêt. 3 kits suivant l’âge (standard, libre et complet).

Kit standard Des figures : quelles particularités ont-elles ? (avantages / inconvénients) Déplacer ces figures avec la flèche. Remarques ? Faire du « fitting » (assemblage de figures). Remarques ?

Kit standard : familles de figures

Opérations Dupliquer (→ nombres entiers) Découper Fusionner Diviser (en segment égaux)

Mouvements Déplacer Tourner (par rapport à quoi ?) Retourner (par rapport à quoi ?)

Géométrie mais … Pas de points ni de droites isolés Pas de mesures mais des objets et des grandeurs (longueurs, surfaces et angles) non mesurées Verticale, horizontale (pesanteur) et symétrie (corps humain) Kit libre

Kit libre = kit standard avec Construction de figures De nouvelles commandes : modifier, translation, rotation et symétrie (transformations, plus abstraites) D’autres familles de figures Triangle Quadrilatères Polygones réguliers Polygones « quelconques » Des réseaux de points

Réseaux de points Tracés à main libre Aire d’une figure Tracé en perspective cavalière (respect des parallèles et des rapports de longueurs dans chaque direction )

Réseaux de points Quelles questions peut-on poser à partir de ces figures ?

Prise en main et situations Initiation KS Initiation KL PA Paver Analyse Figures

Micromonde, géométrie dynamique http://www.cabri.com/fr/ Cabri Géomètre Micromonde, géométrie dynamique http://www.cabri.com/fr/

Un exemple Trace 3 points A, B et C. Construis le triangle ABC. Bouge les points. Cherche « milieu » dans les menus. Construis le milieu I du côté [AB] et le milieu J du côté [AC]. Bouge encore les points. Que remarques-tu ? Construis le segment [IJ]. Mesure les segments [IJ] et [BC]. Bouge les points. Que remarques-tu ?

Quelles sont vos remarques ?

Géométrie, géométrie dynamique Dualité variable / invariant fondamentale en mathématiques À la base de la géométrie dynamique Une propriété en géométrie … C’est un invariant dans les variations d’un objet satisfaisant à un ensemble de conditions Apport de la géométrie dynamique : le déplacement

Papier/crayon et Cabri En commun Instruments, vocabulaire Objets Relations Perception Spécificités de Cabri Propriétés Feed-backs, robustesse lors du déplacement, notion de dépendance

Construire un carré Vos procédures Vos commentaires

Construire un carré Lâcher la seule perception Utiliser les propriétés Des connaissances Déclaratives (description) : je sais que le carré a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur. Procédurales (construction) : j’utilise que le carré a 3 angles droits et 2 côtés consécutifs de même longueur. → des connaissances implicites en papier/crayon peuvent être explicitées en environnement informatique

Construire un carré Paroles d’enfant : « Nous sommes allés dans la bibliothèque pour observer un carré, sur ordinateur qui était relié à la télé. J’ai appris pourquoi lors de la dernière séance nos carrés bougeaient de forme et devenaient des rectangles ou des losanges ou des parallélogrammes. C’est parce que nos carrés n’étaient pas des points fixes. »

D’autres exemples Triangle rectangle / cercle Disqualification de propriétés non nécessaires (orthocentre d’un triangle) Des propriétés implicites (parallélogramme défini avec égalité des segments)

Propriétés et perception Il faut construire la notion de « propriété » Si une figure est construite de façon à satisfaire à ensemble de conditions, les propriétés qui en découlent restent vérifiées dans le déplacement d’un élément de la figure. Ces propriétés émergent du contraste avec celles qui changent au cours du déplacement. A l’école primaire, les propriétés sont les unes à côté des autres mais pas de création de lien de subordination Passage du perceptif immédiat au géométrique (différencier ce qui relève du spatial et du géométrique) Des propriétés parfois vraies ou toujours vraies.

Utilisation de Cabri à l’école Suppléer aux limites de l’environnement papier/crayon Difficultés de manipulation des instruments de géométrie Imprécision des tracés Impossibilité de cacher momentanément une partie de la figure Limitation du nombre d’essais Limitation du nombre d’objets à gérer Explorer les propriétés d’une figure, conjecturer Construire Valider une construction (travail sur la formulation) → Pas de rupture globale : des activités de reproduction, de construction, de description, d’identification de propriétés. Utilisation de la perception.

Favoriser l’usage de connaissances géométriques Faire expliciter les caractéristiques des objets et des relations en jeu pour les construire. Le passage par les primitives géométriques (cercle, compas, parallèle, perpendiculaire, milieu etc.) favorise l’utilisation de connaissances géométriques.

Initiation à Cabri Mise en contact des élèves avec les fonctionnalités. Les élèves doivent agir, observer, écrire. Pas d’objets mathématiques nouveaux.

Initiation à Cabri Institutionnalisation de Connaissances-Cabri On peut choisir trois sortes de points le point libre qui peut se déplacer partout ; le point sur objet qui ne se déplace que sur l’objet (segment, cercle) ; le point fixe qui ne peut pas se déplacer tout seul (milieu, intersection). Le déplacement des points permet d’invalider ou de vérifier perceptivement les propriétés des constructions effectuées.

Initiation à Cabri, mais …. … des difficultés … Conflit entre souris et crayon (l’action d’abord) Conflit entre ancien et nouveau Lire et suivre les consignes : pas facile … Les Connaissances-Cabri ne sont pas tout de suite opératoires (déplacement) Utilisation de techniques perceptives (carré, rectangle)

Types de tâches : exemples t1 : construire des quadrilatères t2 : construire des quadrilatères à partir des diagonales, étant donnés des segments de longueur donnée t3 : reconnaître des quadrilatères dans une figure complexe t4 : décrire les différents éléments d’une figure et notamment d’un quadrilatère t5 : décrire les propriétés de certains quadrilatères t6 : établir des liens entre différents quadrilatères t7 : élaborer un programme de construction t8 : construire un carré à partir de ses diagonales t9 : construire un carré à partir de ses côtés

Une activité de reproduction

La symétrie au cycle 3

Programmes Fin cycle 2 Cycle 3 axe de symétrie (percevoir, vérifier ; produire symétrie) … souvent horizontal ou vertical (« correspond à des lignes du quadrillage »). Cycle 3 mobiliser quelques propriétés et l’utilisation des instruments analyse ou réalisation de figures. Enrichir le champ d’expérience des élèves : utiliser un logiciel de géométrie dynamique, sans pour autant le substituer au papier/crayon.

Évaluations sur la symétrie Fin de CM2, en 2006 : rien sur la symétrie Fin de CM2, en 2002 et avant : Il s’agissait de compléter une figure par pliage selon un axe vertical ou horizontal L’idée de translation est induite. En fin de 6ème Réussite à 59% Prégnance importante de l’horizontal/vertical Symétrie centrale appliquée dans 19% des cas. En remédiation, les évaluations préconisent l’usage de logiciels de géométrie, en particulier pour percevoir les éléments invariants.

Conceptions erronées La propriété d’égale distance est toujours prise en compte par les élèves, d’une façon ou d’une autre, le long de directions privilégiées. On s’intéresse donc au traitement de l’orthogonalité.

Rappel orthogonal

Rappel par prolongement

Rappel horizontal (ou vertical)

Exemple de situation En CM2 Pour l’apprentissage de la symétrie En favorisant la mise en place d’invariants

Des invariants à installer Distance (distance d’un point à l’axe) Orthogonalité Retournement (la figure et son symétrique n’ont pas la même orientation par rapport à l’axe) Non parallélisme (deux segments symétriques ne sont pas forcément parallèles à l’axe) Isométrie

Des conceptions à déstabiliser Parallélisme (deux segment symétriques sont parallèles) Équidistance (deux points symétriques sont à la même distance de l’axe selon une direction quelconque) Équidistance globale (l’élève privilégie un point le plus près possible de l’axe)

Diagnostic (sur écran)

Séquence d’apprentissage Cabri : un environnement pour la validation Mettre en évidence, oralement, par la manipulation, les invariants opératoires de la symétrie

Un enseignant … « Ce logiciel informatique nous permet d’utiliser la géométrie tout en apprenant à utiliser l’informatique. Tout d’abord on a regardé comment on pourrait l’utiliser et ensuite c’était à nous, on nous a donné des exercices à faire et à chaque fois, on avait une petite question “ Que remarques-tu ? ” après chaque exercice. On nous a dit qu’on allait utiliser ça toutes les semaines à la place de la géométrie. C’est sur que c’est un peu plus dur que d’habitude parce que c’est nouveau mais on devra s’y faire. »