Les fonctions linéaires et affines

Fonction linéaire Fonction affine On appelle fonction linéaire de coefficient a toute fonction f définie sur R par f(x) = ax (a est un réel donné) La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine Fonction affine On appelle une fonction affine une fonction définie sur R par f(x) = ax + b (a et b sont des réels fixés) La représentation graphique d’une fonction affine est une droite passant par l’ordonnée à l’origine b

Sens de variation d’une fonction On considère la fonction linéaire f définie sur R par f(x) = ax et la fonction affine f définie sur R par f(x) = ax + b Si a est positif alors la fonction f est croissante sur R Si a est négatif alors la fonction f est décroissante sur R Tableau de signe si a>0 Tableau de signe si a<0 X -∞ -b/a +∞ F(x) - + X -∞ -b/a +∞ F(x) + -

Pour s’exercer Exercice n°1 Exercice n°2 Exercice n°3 Représenter graphiquement dans un repère orthonormé les fonctions f et g définies sur R par : F(x) = 2/3x -1 et g(x) = 0.6x Préciser leur sens de variation Une fonction affine f est définie sur R par f(x) = ax + b On donne f(2) = -2, f(0) = -3 et x appartient à [-5;5] A quel intervalle appartient f ? Justifier Un fonction f vérifie f(√2) = 2 et f(√3) = √6 Démontrer que f est une fonction linéaire Exercice n°1 Exercice n°2 Exercice n°3

POLYNOME DU SECOND DEGRE

Fonction carré La fonction carré est la fonction f définie sur R qui à tout réel x associe son carré La fonction carré est définie sur r par f(x) = x^2, ce que l’on note f : x x^2 Tableau de variation de la fonction carrée X -∞ 0 +∞ F(x) Représentation graphique La courbe représentative de la fonction carré est une parabole. Cette parabole a pour équation y = x^2 Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées Tout réel strictement positif est le carré de deux réels opposés, qui sont sa racine carrée et l’opposée de sa racine carré

La fonction inverse -∞ 0 +∞ La fonction inverse est la fonction f qui à tout réel non nul associe son inverse La fonction inverse est définie sur R* par f(x) = 1/x La fonction est décroissante sur ]-∞;0[ et croissante sur ]0;+∞[ Tableau de signe de la fonction inverse X -∞ 0 +∞ F(x) Représentation graphique La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole Dans un repère du plan, l’hyperbole est symétrique par rapport à l’origine.

Pour s’exercer Exercice n°1 Exercice n°2 On considère la fonction f définie sur ]2;+∞ [ par f(x) = -2/x-2 Démontrer que f est croissante sur ]2;+∞ [ Démontrer que pour tout réel x ≥ 3 on a : -2 ≤ f(x) < 0 On donne l’encadrement 1≤1/x ≤7 En déduire l’encadrement de x

Fonction polynôme du second degré On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction de la forme x ax^2 +bx + c Où a, b, c sont des réels fixés avec a différent de 0 Pour toute fonction polynôme de degré 2 f : x ax^2 +bx + c il existe des réels α et β uniques tels que pour tout réel x, f(x) = a(x-α)^2+β Quand a>0 Quand a<0 X -∞ α +∞ F(x) β X -∞ α +∞ F(x) β F est d’abord décroissante, puis croissante F admet un minimum beta atteint en alpha F est d’abord croissante, puis décroissante F admet un maximum beta atteint en alpha

Pour s’exercer Exercice n°1 La fonction f est définie sur R par : F(x)=-2/3x^2 + 8x + 4 Montrer que pour tous réels x, f(x)=-2/3(x-6)^2+20 En déduire le tableau de variation de la fonction f Exercice n°1