CHAPITRE 1: LES FONCTIONS

Une fonction f est une application qui à tout réel x I- GENERALITE 1) Définition Une fonction f est une application qui à tout réel x appartenant à D associe un unique réel noté f(x). Exemple: le prix de mon abonnement téléphonique est en fonction de la durée de mes Communications. Le prix de mon abonnement est de 5€ et de 0,10€/min. Ainsi si je parle x minute ce mois-ci, le prix de mon abonnement sera de f(x)=0,10x+5. Ici x est un nombre de minutes,x est donc positif et D est l’ensemble des nombres positifs.

2) Vocabulaire D est le domaine de définition de la fonction f. F(x) est l’image de x par la fonction f. X est l’antécédent du réel f(x). 3) Notion d’intervalle L’ensemble de définition D est généralement une partie de R (ensemble des réels), que l’on nomme intervalle. .a et b sont les bornes de l’intervalle, .l’intervalle [a;b] est dit fermé, .l’intervalle ]a;b[ est dit ouvert, .l’amplitude de l’intervalle [a;b] est égal à b-a,

.le centre de l’intervalle [a;b] est a+b/2, .le rayon de l’intervalle [a;b] est b-a/2. Notation: Lorsqu’un réel x appartient à l’intervalle [a;b], on note x € [a;b]. Si x n’appartient pas à l’intervalle [a;b], on note x € [a;b]. Remarques: a€[a;b] a€[a;b] II- REPRESENTATION GRAPHIQUE Soit f une fonction définie sur un ensemble D. Dans un repère (O;i;j), la courbe représentative de f, notée Cf, est l’ensemble des points de coordonnées (x;f(x)) où x décrit D.

Conséquence: Pour représenter Cf, nous devons disposer de suffisamment de points de coordonnées (x;f(x)). On complète alors un tableau de valeurs. Exemple: soit f la fonction définie sur I=[-3;3] par f(x)=x²-x-2. Compléter le tableau de valeurs suivant:… Dans un repère (O,i,j), nous devons placer les points de coordonnées (-3;10); (-2;4); (-1;0); (0;- 2); (1;-2); (2;0);(3;4). III- RESOLUTION GRAPHIQUE Soit f une fonction définie sur un intervalle I dont la courbe représentative est noté C. Pour lire l’image d’un réel a par la fonction f, on détermine l’ordonnée du point C ayant pour abscisse a… L’image de a est f(a).

Pour lire les antécédents éventuels d’un réel k par la fonction f, on détermine la (ou les) abscisse(s) des points de C ayant pour ordonnée k. Remarque: Les antécédents de k sont les solutions de l’équation f(x)=k. IV- RESOLUTION D’EQUATION .Pour résoudre l’inéquation f(x)≥k Il faut déterminer les abscisses des points de la courbes ayant une ordonnée supérieur ou égale à k. Exemple: résoudre f(x)≥2 On trace la droite d’équation y=2, on hachure la (ou les) partie(s) de Cf au dessus de la droite tracée, on inclus les points d’intersection car l’inégalité est large, on détermine les abscisses permettant de tracer la partie de courbe hachurée. Les solutions de l’inéquation f(x) ≥2 sont les réels appartenant à [-5;-2] ou [3;5].

Remarques: les solutions de l’inéquations f(x)>2 sont les réels de ]-5;-2[U] 3;5]. les solutions de l’inéquation f(x)≥2 sont les réels de {-5}U[-2;3]. les solutions de l’inéquation f(x)<2 sont les réels de ]-2;3[. V- VARIATION D’UNE FONCTION 1) Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I: -f est strictement croissante sur I, si pour tous réels a et b de I tels que a<b, on a f(a)<f(b). -f est strictement décroissante sur I, si pour tous réels a et b de I tels que a<b, on a f(a)>f(b). -f est constante sur I, si pour tous réels a et b de I, on a f(a)=f(b).

Remarque: on dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre et qu’une fonction décroissante change l’ordre. 2) Tableau de variation Un tableau de variation résume l’ensemble des variations de la fonction f sur son ensemble de définition. Lorsque f est croissante sur [a;b], on représente sur la figure f(x) une flèche qui monte de f(a) à f(b) et lorsque f est décroissante sur [a;b], on représente sur la ligne f(x) une flèche qui descend de f(a) à f(b).

VI- EXTREMUM D’UNE FONCTION - f admet un maximum M sur un intervalle [a;b] si pour tout x €[a;b], f(x)≤M et s’il existe un réel de [a;b] ayant pour image M par la fonction f. - f admet un minimum m sur un intervalle [a;b] si pour tout x€[a;b], f(x)≥m par la fonction f.