La suite logistique et le chaos D’après la conférence de Daniel Perrin (St Flour août 2008)

Modèles d’évolution de population Euler (1707-1783), Malthus (1766-1834) et Verhulst (1804-1849) vont s’occuper successivement de créer des modèles d’évolution de populations: Euler, vers 1760 (« Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain »), est conduit à déterminer la population d’une ville à une date donnée. Ses calculs reviennent à étudier une suite géométrique. Malthus reprend en 1798 l’idée d’un accroissement exponentiel de la population. Il modélise la population humaine comme une suite géométrique et la capacité de production comme une suite arithmétique. La distorsion entre les deux, le conduit à une proposition de limitation des naissances. Le modèle malthusien est remis en cause vers 1840 par Verhulst qui propose un modèle dit logistique qui prend en compte la limitation de la population. Le principe est simple : l’accroissement de la population n’est proportionnel à la population que pour les petites valeurs de celle-ci. Lorsqu’elle croît, des facteurs apparaissent qui amènent à une population maximale M. Verhulst postule que l’accroissement de la population x est proportionnel à la quantité x(M − x).

Modèles d’évolution de population Modèles continus Le temps est continu, tR, et on a une fonction p(t) à valeurs réelles. Dans ce cas, on suppose que si on connaît la population au temps t, on la connaît au temps t + dt, avec dt infinitésimal. Cela revient à se donner la dérivée en fonction de p(t). 1) P’(t)=K.P(t). (Euler et Malthus) Solution : P(t) = P(0) . ekt Pas raisonnable à terme: la population tend vers l’infini. 2) P’(t)= m.P(t).(M-P(t)) (Verhulst) : On borne la population par M. Solution : avec

Modèles d’évolution de population Modèles discrets Le temps est discret, nN (n désigne un nombre de minutes, d’heures…) et on a une suite pn à valeurs réelles. Dans ce cas, on se donne l’accroissement pn+1 − pn en fonction de pn. Le modèle est toujours autonome. La suite peut représenter: • En génétique : la fréquence d’un gène au temps n. • En épidémiologie : la proportion de la population infectée au temps n. • En économie : n est la quantité de marchandises et pn le prix. • En sciences sociales, l’étude de la propagation des rumeurs. 1) Pn+1 – Pn = K.Pn (K>0) : Pn = (1+K)n P0. 2) Pn+1 = mPn - lPn² = mPn (1- (l/m)Pn) est borné par m/l Si on pose Un = (l/m)Pn on obtient : Un+1 = m Un (1-Un) (la suite logistique). Pour que Un [0 ;1] il est nécessaire que m[0 ;4] : f(x)= mx(1-x) atteint son max sur [0;1] pour x=1/2 et f(1/2)= m/4 qui doit appartenir à [0 ;1]… L’étude de la suite U quand m[0 ;4]  est très compliquée . l’étude de la suite logistique U reste encore OUVERTE…

Etude de la suite logistique Points fixes de f (1-cycle): cas m]0 ;3] Les points fixes de f sont les solutions de g1(x) = f(x) - x = 0 ( avec f(x) = mx(1 - x) ) Si 0 < m ≤ 1, il y a 1 point fixe : 0 Si m > 1, il y a 2 points fixes : 0 et t = 1-1/m Les points fixes peuvent être attractifs ou répulsifs : Un point fixe x est : répulsif si |f’(x)| > 1 attractif si |f’(x)| < 1. ( Avec f’(x) = m – 2 m x )

Etude de la suite logistique Points fixes de f (1-cycle): cas m]0 ;3] Etude de la suite logistique cas m] 0 ; 1 [ : Il y a 1 point fixe qui est 0. f’(x) = m – 2mx ∣f’(0)∣= m < 1, donc 0 est attractif. La suite converge vers 0 et est décroissante Si m=1, 0 reste attractif et la suite converge vers 0 et est décroissante

Etude de la suite logistique Points fixes de f (1-cycle): cas m]0 ;3] cas m  ] 1 ; 2 [ : Il y a 2 point fixes qui sont 0 et 1 – 1 / m ( = t ). f’(0) = m > 1 donc 0 est un point fixe répulsif. |f’(t) | = |2 - m | ] 0 ; 1 [ , donc t est attractif. La suite converge vers t Si U0  ] 0 ; t [ alors U est croissante Si U0  ] t ; 0,5 [ alors U est décroissante Si U0  ] 0,5 ; 1 [ alors U est croissante pour n>0 Si m=2, la suite converge (vite) vers t et est croissante pour n>0

Etude de la suite logistique Points fixes de f (1-cycle): cas m]0 ;3] cas m  ] 2 ; 3 [ : Il y a 2 point fixes qui sont 0 et 1 – 1 / m ( = t ). f’(0) = m > 1 donc 0 est un point fixe répulsif. |f’(t) | = |2 - m | ] 0 ; 1 [ , donc t est attractif. La suite converge vers t f’(t) < 0: à partir d’un certain rang (quand Un sera suffisamment proche de t), la suite sera en « escargot ». Si m=3, la suite converge (très lentement) vers t (2/3)

Etude de la suite logistique Points fixes de f (1-cycle): cas m]0 ;3] Résumé: Etude de la suite logistique Pour m[0 ;1] : 0 est attractif, U est décroissante, convergente vers 0 ; pas de t dans ]0 ;1] Pour m[0 ;1] : U est décroissante, convergente vers 0  Pour m]1 ;2] : U est monotone, convergente vers t  Pour m]2 ;3] : U est en escargot, convergente vers t  Pour m]1 ;2] : 0 est répulsif, t est attractif, U est monotone, U converge vers t. Pour m]2 ;3] : 0 est répulsif, t est attractif, U est en « escargot » (à partir d’un certain rang), U converge vers t.

Etude de la suite logistique Points fixes de f (1-cycle): cas m]3 ;4] Etude de la suite logistique m t On était ici Cas m]3 ;4] : 0 et t sont répulsifs… U diverge en général (sauf si U0=f(-k)(t) ou 0 ou 1) Le problème est : De quelle façon cela diverge ? Si m  ]3 ;4] , on a: f’(0) = m > 1 donc 0 est répulsif. |f’(t) | = |2 - m | > 1 donc t est répulsif. La suite diverge en général. (sauf à se retrouver au bout d’un moment sur 0 ou t)

Etude de la suite logistique Points fixes de f2 (2-cycle): cas m]3 ; m2] Etude de la suite logistique Les 2-cycles sont les points fixes de f2 (=fof) qui ne sont pas des points fixes de f. Th de Coppel : Si f n’a pas de 2-Cycle alors la suite converge… Il y a donc des 2-cycles dans le cas où m]3 ;4]. Il s’agit de trouver les racines de g2(x)=f(f(x))-x=0 qui ne sont pas 0 et t. Les solutions de f(f(x))=x  sont les points fixes de f : 0 et t =1-1/m, puis deux autres : a et b sont dans ]0 ;1[ et on a : f(a)=b et f(b)=a Calculs pénibles: heureusement, il y a les logiciels de calcul formel… La question est: Ce 2-cycle est-il attractif ou répulsif ? (ou a et b sont ils attractifs?) a b

Etude de la suite logistique Points fixes de f2 (2-cycle): cas m]3 ; m2] Etude de la suite logistique Pour savoir si a et b sont attractifs ou répulsifs, il faut calculer (f²)’(a) et (f²)’(b) : Il faut trouver (f²)’(a) et (f²)’(b): (f²)’(a)= (f²)’(b)= f’(a)*f’(b)= 4+2m- m². Il y a attraction si ∣4+2m-m²∣<1  m]3 ;1+ [  On pose m2= 1+ ≈ 3,449. Au delà de m2 , le 2-cycle est répulsif. Pour m= Le 2-cycle est « super attractif ». ( (f²)’(1+√5) = 0 ) Cas m = 3,2 On a : a = ½ b = (1+ √5)/4

Etude de la suite logistique Points fixes de f2 (2-cycle): cas m]3 ; m2] Etude de la suite logistique Suite pour m =3,4. Il y a un 2-cycle, c’est-à-dire 2 points d’accumulation a et b avec :

Etude de la suite logistique Résumé: Pour m[0 ;1] : U est décroissante, convergente vers 0  Pour m]1 ;2] : U est monotone, convergente vers t  Pour m]2 ;3] : U est en escargot, convergente vers t  Pour m]3; m2[ : U a deux points d’accumulation a et b   Pour m] 3; m2[  : (U2n) converge vers a. (U2n+1) converge vers b. m2 = Pour m = Le cycle est super attractif a b On était ici m2 m m

Etude de la suite logistique Points fixes de f4 (4-cycle): cas m] m2; m3[ Etude de la suite logistique Lorsque le cycle d’ordre 2 cesse d’être attractif, le théorème de Coppel, appliqué à f², montre qu’il y a un cycle d’ordre 2 pour f², donc d’ordre 4 pour f. A partir de maintenant, on a à résoudre des équations algébriques de plus en plus compliquées (degré 16 pour f4). Il s’agit de trouver les racines de g4(x)=f(f(f(f(x))))-x=0 qui ne sont pas 0, a, b et t déjà trouvés.

Etude de la suite logistique Points fixes de f4 (4-cycle): cas m] m2; m3[ Etude de la suite logistique Ce 4-cycles existe et est attractif pour m] m 2 ; m3 [ avec m3 ≈ 3,544 On ne connaît pas les valeurs exactes du 4-cycle (en fonction de m ) racines du polynôme suivant: Tout se fait numériquement pour un m donné. On connaît encore moins la valeur exacte de m3: tout se fait numériquement, et c’est difficile!

Etude de la suite logistique Points fixes de f4 (4-cycle): cas m] m2; m3[ Etude de la suite logistique Un exemple de 4-cycles attractif pour m = 3,54 4 points d’accumulation ≈ 0,364 825 927 ≈ 0,820 353 221 ≈ 0,521 702 770 ≈ 0,883 329 898

Etude de la suite logistique Résumé: Etude de la suite logistique Pour m[0 ;1] : U est décroissante, convergente vers 0  Pour m]1 ;2] : U est monotone, convergente vers t  Pour m]2 ;3] : U est en escargot, convergente vers t  Pour m]3; m2[ : U a 2 points d’accumulation a et b   Pour m] m2; m3[ : U a 4 points d’accumulation Pour m] m2; m3[  : U4n converge vers a1. U4n+1 converge vers a2. U4n+2 converge vers a3. U4n+3 converge vers a4. m2 ≈ 3,449490 m3 ≈ 3,544090 Pour m ≈ 3, 49856 Le cycle est super attractif On est ici m2 m3 4 points d’accumulation m m

Etude de la suite logistique Les 4-cycle, 8-cycles …: cas m] m3; m[ Etude de la suite logistique Lorsque le cycle d’ordre 4 cesse d’être attractif. le théorème de Coppel, appliqué à f4, montre qu’il y a un cycle d’ordre 2 pour f4, et donc d’ordre 8 pour f etc… On aura donc des 8-cycles, 16 cycles … 2n-cycles, attractifs sur ] m3; m4[, ] m4; m5[, … ] mn; mn +1[ Par des algorithmes complexes, on trouve: m4 ≈ 3, 564407… et m ≈ 3, 5699456 . Calcul des cycles, points d’accumulation sur Excel:

Etude de la suite logistique Calcul des cycles, points d’accumulation sur Excel: Etude de la suite logistique Pour m entre 0 et 1 : convergence ver 0 Pour m entre 1 et 3, convergence vers t. ( t = 1 – 1/m ) Pour m entre 3 et 3,45: 2 points d’accumulation.

Etude de la suite logistique Calcul des cycles, points d’accumulation sur Excel: Etude de la suite logistique Pour m entre 3,45 et 3,544 : 4 points d’accumulation. Il faut se lancer dans du visual basic pour trouver ces 4 points… On définit d’abord les fonctions f, f2, f4 (pour les 4-cycles) et f8 (pour les 8-cycles) Puis on définit leurs dérivées en appliquant la formule de la dérivée de la composée de fonctions

Etude de la suite logistique Calcul des cycles, points d’accumulation sur Excel: Etude de la suite logistique Pour m entre 3,45 et 3,544 : Calcul des 4 points d’accumulation par visual basic. Pour calculer les 4 points, on peut voir sur le dessin que ces points (en rouge) sont entre les 1-cycle et les 2 cycles: a(0) < x1 < a(1) < x2 < a(2) < x3 < a(3) < x4 < a(4) Où a(0) = 0, a(1) = a (1er pt du 2-cycle) a(2) = t a(3) = b (2ème pt du 2-cycle) a(4) = 1 x1, x2, x3, x4 sont les points du 4-cycles. On va calculer ces 4 points par un mixte: Couper le segment en 100 Chercher le segment où est xi Méthode de Newton enfin pour résoudre f4(x)-x = 0…. x1 a x2 t x3 b x4

Etude de la suite logistique Calcul des cycles, points d’accumulation sur Excel: Etude de la suite logistique Pour m entre 3,45 et 3,544 : Calcul des 4 points d’accumulation par une fonction visual basic. b1, b2: la racine x cherchée (de f4(x) – x = 0) est dans [b1;b2]. m: est la valeur de m. eps: précision de la racine. On sort de l’algorithme quand ABS(f4(x)-x) < eps pas: On coupe [b1;b2] en 100. pas est la longueur d’un de ces 100 intervalles. 1ère boucle: On va chercher dans quel intervalle se situe la racine x (test de sortie: g(xk)*g(xk+1) < 0 où g(x) = f4(x) – x. A la sortie de la boucle, la racine x est entre x1-pas et x1 2ème boucle: On itère la formule « xk+1 = xk – g(xk) / g’(xk) » On sort de la boucle quand ABS(g(x)) < eps La racine est x a(0) < x1 < a(1) < x2 < a(2) < x3 < a(3) < x4 < a(4)

Etude de la suite logistique Calcul des cycles, points d’accumulation sur Excel: Etude de la suite logistique Pour m entre 3,45 et 3,544 : Voyons si ces points sont attractifs ou répulsifs (par le calcul des valeurs du nombre dérivé de f(4) en ces points) . On voit que les 4-cycles sont attractifs (dérivée de f(4) en ces points entre -1 et 1) pour m variant de 3,45 à 3,544. Au-delà, les 4-cycles sont répulsifs et les 8-cycles (en vert) prennent le relais…

Etude de la suite logistique Pour m entre 3,45 et 3,544 : les 4-cycles

Etude de la suite logistique Pour m entre 3,45 et 3,544 : les 4-cycles

Etude de la suite logistique Calcul des cycles, points d’accumulation sur Excel: Etude de la suite logistique Pour m entre 3,545 et 3,564 : Calcul des 8 points d’accumulation par une fonction visual basic. Changement d’algorithme: Une seule boucle dans laquelle il y a la dichotomie: x1 et x2 sont au départ les bornes de l’intervalle légèrement modifiées pour ne pas avoir f(x1)-x1 et f(x2)-x2 égaux à 0. Le test se fait sur l’écart x2-x1 qui doit être inférieur à eps. La valeur renvoyée est la moyenne de x1 et x2. En posant: a0 = 0, a1= 1er point du 2 cycle, a2 = t , a3 = 2ème point du 2-cycle, a4 = 1. b1, b2, b3 et b4 sont les 4 points du 4-cycles ( ordre croissant). Les 8 points du 8-cycles sont x1, x2, … x8: 0 < x1 < b1 < x2 < a1 < x3 < b2 < x4 < a2 < x5 < b3 < x6 < a3 < x7 < b4 < x8 < 1 a2 a1 a3 b1 b2 b3 b4 x1 x2 x3 =newtonf8(0;E3547;A3547) a0 < x1 < b1 =newtonf8(E3547;C3547;A3547) b1 < x2 < a1 =newtonf8(C3547;F3547;A3547) a1 < x3 < b2 x4 x5 x6 x7 x8

Etude de la suite logistique Calcul des cycles, points d’accumulation sur Excel: Etude de la suite logistique Pour m entre 3,546 et 3,57. Les 8-cycles attractifs vont de 3,546 à 3,564

A partir de 3,565 (m), ces points d’accumulation deviennent répulsifs Calcul des cycles, points d’accumulation sur Excel: Etude de la suite logistique Pour m entre 3,546 et 3,57. On voit l’attractivités de ces 8-cycles en calculant la dérivée de f(8) en ces points: A partir de 3,565 (m), ces points d’accumulation deviennent répulsifs

Etude de la suite logistique Un 8-cycles sur géogébra (m=3,56) Etude de la suite logistique Suivre le 8-cycle :

Etude de la suite logistique En résumé sur [0; m[: Etude de la suite logistique Pour m[0 ;1] : U est décroissante, convergente vers 0  Pour m]1 ;2] : U est monotone, convergente vers t  Pour m]2 ;3] : U est en escargot, convergente vers t  Pour m]3; m2[ : U a 2 points d’accumulation Pour m] m2; m3[ : U a 4 points d’accumulation… Pour m] mn; mn +1[ : U a 2n points d’accumulation… m1 = 3 m2 ≈ 3,449490 m3 ≈ 3,544090 m4 ≈ 3, 564407 …. m≈ 3, 5699456 m

Etude de la suite logistique Le cas m = 4 Etude de la suite logistique 2 définitions: La dynamique associée à f est « chaotique » s’il existe U0 tel que la suite U est partout dense dans [0 ;1]. La dynamique associée à f est « sensitive » ou sensible aux conditions initiales, si :  e >0 , x[0 ;1],  h >0,  y[0 ;1], nN avec |x - y | < h et |f n (x)- f n (y)| > e (pffff!!!) Si la dynamique de f est chaotique, alors f est sensitive et l’ensemble des points périodiques de f est partout dense. (en gros, on y trouve de tout: des 3-cycles, des 4 cycles , des 5 cycles… ). Cette dynamique est imprévisible à cause de la sensibilité aux conditions initiales et aux approximations de calculs : par ex. U0=0.6 et V0=0.599999 et U21-V21≈0,8

Etude de la suite logistique Le cas m = 4 Etude de la suite logistique La suite est dense dans [0;1] :

Etude de la suite logistique Le cas m = 4 Etude de la suite logistique La suite est dense dans [0;1] : On peut se servir de ces suites comme nombres aléatoires : Sur ce graphique, les 5000 points ont pour coordonnées les suites logistiques (m=4) dont les premiers termes sont 0,4 et 0,7…

Etude de la suite logistique Le cas m = 4 Etude de la suite logistique Des points particuliers En remarquant que (cas m=4), f(sin²( q))=sin(2q), on obtient avec U0 = sin²(q): Un=sin²(2n q) Avec avec 0  k <2p-1 ou avec 0  k  2p-1 , La suite U est périodique de période p (sauf si peut se simplifier en avec 0<k’<k et 0<p’<p ) Par exemple: : U est de période 4. Ou encore : U est de période 3. En revanche les erreurs d’approximations des logiciels font que les suites n’apparaissent pas cycliques…

Etude de la suite logistique Le cas m = 4 Etude de la suite logistique Ou encore : U est de période 3. En revanche les erreurs d’approximations des logiciels font que les suites n’apparaissent pas cycliques… Cela part bien: période 3 Au rang 27: cela se dérègle… C’est dû au fait que cette suite chaotique est très « sensitive » et les approximations de calculs dérègle la suite… Au rang 60: plus de période…

Etude de la suite logistique Le cas très difficile m  ] m ; 4[ Etude de la suite logistique Le théorème de «Sarkovsky » (forme faible!!!) : Si f admet un point de période 3, alors f admet des points périodique de toutes les périodes n > 0. et aussi : La fonction f admet des points de période 3 pour (et donc de toutes les périodes). Cherchons donc un de ces fameux 3-cycles pour m=3,831 , avec Xcas: Points fixes de f3: Points fixes de f: Il y a donc deux 3-cycle pour m=3,831: {0.1550726466 , 0.5019572381 , 0.9577353243 } {0.1645585343 , 0.5266821375 , 0.9550225714 }

Etude de la suite logistique Le cas très difficile m  ] m ; 4[ Etude de la suite logistique Premier 3-cycle pour m=3,831: {0.1550726466 , 0.5019572381 , 0.9577353243 } Même au bout du rang 1000, il n’y a toujours qu’un seul trait sur la figure géogébra… Ce 3-cycle est très attractif.

Etude de la suite logistique Le cas très difficile m  ] m ; 4[ Etude de la suite logistique Deuxième 3-cycle pour m=3,831: {0.1645585343 , 0.5266821375 ,0.9550225714} Si au rang 84, la suite est bien stable dans sa période, au bout du rang 700, la période n’apparaît plus… Ce 3-cycle semble lentement répulsif.

Le reste: Je ne comprends RIEN…. Le cas très difficile m  ] m ; 4[ Le reste: Je ne comprends RIEN….

Etude de la suite logistique Utilisation en classe Etude de la suite logistique En 2003, nous recevions la base d’exercices de bac (en vue du nouveau bac). Il y avait:

Etude de la suite logistique Utilisation en classe Etude de la suite logistique Suite de l’exercice proposé…

Etude de la suite logistique Utilisation en classe Etude de la suite logistique On y étudiait donc la suite logistique dans différent cas: k=1 (cv vers 0) puis k=1,8 (cv vers t) et enfin k=3,2 (2-cycle).. On peut de reprendre ce classique pour un td en 1ère S avec l’objectif de représenter des suites avec la calculatrice. Le début de l’énoncé étant similaire à ce qui précède, voici les questions:

ET Voilà !! Bibliographie Pour l’essentiel, le document de Daniel Perrin dont j’ai tenté de restituer à peine le centième! http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/logistiqueDP.pdf Le Wiki: http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_logistique ET Voilà !!