Lucie demande à Julie l’âge de ses trois frères  ; celle-ci répond : la somme de leurs âges est égale au tien, et leur produit à 36. Bien, dit Lucie, qui prend un papier et un crayon, mais qui au bout de quelques minutes dit : je ne peux pas répondre. Ah, c’est vrai, dit Julie. Je ne t’avais pas dit que l’aîné fait du judo. Lucie est dès lors fixée. Comment Lucie a-t-elle procédé ?

Le concept de multiplication Procédures et résultats : Les problèmes : Le concept de multiplication Le langage : Les propriétés :

Le concept de multiplication Procédures et résultats : procédure de calcul mental : commuter décomposer/associer/distribuer compenser algorithme écrit : décomposer : les tableaux l’algorithme « français » décortiquer d’autres algorithmes les tables : construire articuler mémoriser restituer « automatiquement » utiliser « à l’envers » Les problèmes : 2 types de multiplication : la multiplication combinaison (Cf. tableau à 2 entrées) la multiplication transformation : prendre plusieurs fois une grandeur (additions réitérées) Le concept de multiplication Le langage : « scolaire » : fois, multiplié par, multiplicateur, multiplicande, produit, multiple « en situation » : faire des paquets de, des piles de, des rangées de, des colonnes de, des groupes de… prendre autant de fois reporter… fois Le langage symbolique : à l’école seulement a x b = c ou xb a c Rq : au collège : a.b = c ou ab=c Les propriétés : la commutativité l’associativité l’élément neutre : 1 l’élément absorbant : 0 chaque nombre différent de 0 a un symétrique (appelé inverse) : a x 1/a = élt neutre la distributivité

Le concept d’addition Procédures et résultats : procédure de calcul mental : commuter décomposer/associer/distribuer compenser algorithme écrit : groupement par 10, échange l’algorithme français décortiquer un autre algorithme les tables : construire articuler mémoriser restituer « automatiquement » utiliser « à l’envers » Les problèmes : composition de 2 états transformation d’un état comparaison de 2 états composition de transformations Le concept d’addition Le langage : « scolaire » : ajouter, additionner plus somme, addition, total « en situation » : mettre ensemble réunir avancer en tout gagner / perdre Le langage symbolique :  a + b = c +b a c Les propriétés : la commutativité l’associativité l’élément neutre : 0 existence d’un symétrique : a + (-a)= 0 (non étudié à l’école)

Le concept de soustraction Procédures et résultats : procédure de calcul mental : impossibilité de commuter ! décomposer/associer/distribuer compenser algorithme écrit : connaissance d’un des trois algorithmes : sans retenue (on casse les classes) avec retenues en bas avec retenues en bas et en haut comparaison des algorithmes les tables : passer de la formulation : « 5 pour aller à 7  2 » à « 7-5=2 » Les problèmes : composition de 2 états transformation d’un état comparaison de 2 états composition de transformations Le concept de soustraction Le langage : « scolaire » : ôter soustraire différence écart moins « en situation » : retirer, enlever reculer gagner, perdre le complément, ce qui manque ce qui reste -b Le langage symbolique :  a – b = c ou c a Les propriétés : elle n’est pas associative elle n’est pas commutative élément neutre : 0 propriété de l’ajout simultané : a-b = (a+c) – (b+c) soustraction d’une somme (cf. calcul réfléchi) : a-(b+c)= a-b-c soustraction d’une différence (cf. calcul réfléchi) a-(b-c)= a-b+c

Le concept de division Procédures et résultats : procédure de calcul mental : moitié, quart  :10, :100 utiliser les propriétés algorithme écrit : rechercher le nombre de chiffres du quotient faire la table du diviseur faire les soustractions intermédiaires les tables : connaître les tables à l’envers Les problèmes : de type regroupement de type distribution de type « fois moins » proportionnalité Le concept de division Le langage : « scolaire » : diviser/division quotient, reste, dividende, diviseur « en situation » : partager, part faire des paquets de, rassembler par … combien de fois Le langage symbolique :  : , /, « potence », barre de fraction Les propriétés : elle n’est pas commutative elle n’est pas associative l’élément neutre : 1 tout nombre différent de 0 est son propre symétrique (a :a=1) le quotient d’une somme est égal à la somme des quotients diviser par un produit équivaut à diviser par chacun des termes du produit

EN VRAC ou ORGANISES ?

Réalisons des couples et dénombrons-les !

Retrouvons le bon rectangle

Différentes procédures de calcul