Gestion du portefeuille 07A – Modèle à facteurs Université Laval GSF 2101 Chapitre 10

Plan de la séance Introduction Modèle à un facteur Général Marché Portefeuille Modèle à plusieurs facteurs Fama – French Modèles indiciels et Tracking-portofolios

Introduction Les modèles à facteurs permettent d’inférer les rendements futurs d’un titre tout en évitant les lourds calculs qui doivent être entrepris afin de construire la frontière efficiente du portefeuille. Les modèles à facteurs font l’hypothèse que les rendements d’un titre sont reliés à des facteurs. Les facteurs sont choisis selon leur pertinence

Rendement de l’action i Introduction Exemple de modèle à facteurs Observations réalisées Année Croissance du PIB Rendement de l’action i 1 5.7% 14.3% 2 6.4% 19.2% 3 7.9% 23.4% 4 7% 15.6% 5 5.1% 9.2% 6 2.9% 13%

Introduction Exemple de modèle à facteurs il est possible d’établir une relation entre les rendements du titre i et le taux de croissance du PIB rt représente le rendement du titre i au temps t PIBt représente le taux de croissance du PIB au temps t, a est une constante b représente la sensibilité de rt au taux de croissance du PIB et est un terme d’erreur

Introduction Exemple de modèle à facteurs Ainsi, les rendements du titre i reposeraient sur trois éléments: Un rendement constant à chaque période (a); Un terme variant à chaque période suivant le taux de croissance du PIB (b + PIBt ); Un terme d’erreur et variant à chaque période suivant les caractéristiques particulières de la compagnie

Introduction Exemple de modèle à facteurs Les coefficients peuvent être estimés à l’aide de régressions linéaires. La méthode des moindres carrés ordinaires est une méthode permettant de tracer la meilleure droite possible à travers un ensemble de points L’écart-type de l’estimateur obtenu peut alors être utilisé afin de déterminer si celui-ci est significativement différent de zéro (ou d’une autre valeur). Le R2 d’une régression indique si la forme linéaire représente bien la relation entre deux ou plusieurs variables

Introduction Exemple de modèle à facteurs Résultat obtenu par régression linéaire : rt = 0.0395 + 2.0282 PIBt + et

Modèles à un facteur De manière plus générale, le rendement d’un titre i au temps t pourrait être donné p où Ft correspond au rendement du facteur considéré comme influent En faisant l’hypothèse que E [ei] = 0, le rendement espéré du titre i est donné par:

Modèles à un facteur Ainsi,

Modèles à un facteur Impact sur la Variance Avec un modèle à un facteur, la variance des rendements du titre i est donnée par

Modèles à un facteur Impact sur la Covariance La covariance entre deux titres i et j est donnée par

Modèles à un facteur Le “market model” utilise le rendement sur un indice boursier comme facteur: où rI représente le rendement d’un indice boursier quelconque. Remarque : Dans un modèle à un facteur, d’autres facteurs que les rendements d’un indice peuvent être utilisés

Modèles à un facteur Considérons le market model Comparons le market model au CAPM Si les rendements boursiers se comportent comme le suggère le CAPM, alors

Modèles à un facteur Dans le cas d’un portefeuille p, un modèle à un facteur donne: Avec où wi dénote la pondération du titre i

Modèles à un facteur Remarque : Lorsque wi = 1/n pour tous les titres i, la diversification tend à faire disparaître le risque spécifique

Modèles à plusieurs facteurs Plutôt que de n’être sensibles qu’à un seul facteur, les rendements d’un titre pourraient être sensibles aux variations de plusieurs facteurs : Pour chaque titre individuel, 4 paramètres doivent alors être estimés: ai, bi1, bi2 et sei. Pour les facteurs, 5 paramètres doivent être estimés: E[F1], E[F2], sF1,sF2, et Cov(F1;F2).

Modèles à plusieurs facteurs Avec un modèle à deux facteurs, nous avons l’espérance de rendement d’un titre i : La variance d’un titre i : La covariance entre deux titres i et j :

Modèles à plusieurs facteurs Dans le cas d’un portefeuille, nous avons où

Modèles à plusieurs facteurs L’importance des anticipations Puisque ces modèles servent à anticiper les rendements de titres et/ou de portefeuilles, ce sont les valeurs anticipées des facteurs qui doivent être prises en compte. Ainsi, ce sont les variations dans les valeurs anticipées des facteurs qui affectent la valeur des titres

Modèles à plusieurs facteurs Facteurs sectoriels Un des avantages des modèles à facteurs est que les facteurs peuvent varier selon les industries dans lesquelles les compagnies opèrent. Par exemple, certaines industries sont sensibles aux variations du taux de croissance du PIB alors que d’autres ne le sont pratiquement pas. D’autres facteurs, tels le taux d’inflation, le prix du pétrole, le taux de change, par exemple, ont une influence sur certains titres mais pas sur d’autres

Fama - French Eugene F. Fama et Kenneth R. French, dans deux articles parus en 1992 et 1993 (The Cross-Section of Expected Stock Returns, Journal of Finance et Common Risk Factors in the Returns of Stocks and Bonds, Journal of Financial Economics) démontrent que les rendements mensuels des actions cotées en bourse sont influencés par les facteurs suivants: rmt - r f t : Prime de risque du marché SMBt : Prime de risque basée sur la taille de la firme HMLt : Prime de risque basée sur le ratio book-to-market

Fama - French Le modèle à 3 facteurs de Fama et French se lit comme suit: où SMBt représente la différence entre le rendement d’un portefeuille composé de titres à petite capitalisation et un portefeuille de titres à grande capitalisation les petites compagnies procurent en moyenne des rendements plus élevés que les grandes compagnies et où HMLt représente la différence entre le rendement d’un portefeuille de titres avec un ratio book-to-market élevé et celui d’un portefeuille avec un ratio faible Ratio Book to market : BE/ME Valeur comptable des fonds propres, BE, divisé par leur valeur marchande, ME

Fama - French Dans le cas des rendements d’obligations, Fama et French proposent le modèle suivant: où TERMt représente la différence de rendement entre les obligations gouvernementales à long terme et les bons du Trésor 3-mois, et DEFt représente la différence de rendement entre un indice d’obligations corporatives et les bons du trésor à long terme

Modèles indiciels et Tracking Portofolio Un gestionnaire de portefeuille estime les paramètres d’un titre i selon le market model et obtient la relation suivante: Le gestionnaire aimerait profiter du “alpha” de 4% sans s’exposer aux fluctuations du marché

Modèles indiciels et Tracking Portofolio Pour éliminer le risque de marché provenant d’une position longue dans i, le gestionnaire peut former un autre portefeuille dans lequel il prendra une “position courte” dans l’indice. Ce second portefeuille, que l’on appelle Tracking portfolio, sera tel que pour chaque dollar investi dans i, 1.4$ de l’indice TSX seront vendus à découvert

Modèles indiciels et Tracking Portofolio Comme l’indice a un a égal à zéro, le rendement sur le Tracking portfolio sera égal à - 1.4rTSX. Le rendement du portefeuille entier sera égal à Le risque de marché a été éliminé. Cette position est un exemple de stratégie “long-short”