FIN20597 Valeurs mobilières Séance 3 FIN205-A2013

Introduction : Les obligations et les taux d’intérêt Rappel Structure à terme des taux d’intérêt La sensibilité des prix aux variations de taux La durée La convexité (facteur de correction)

Rappel Définition: Une obligation est une dette à long terme émise par une société ou un gouvernement. Normalement, l’obligation est un prêt dont l’emprunteur ne paye que l’intérêt et ne rembourse la valeur nominale qu’à l’échéance. L'intérêt est payé sous forme d'un coupon périodique.

Rappel Composantes de l'obligation Le prix de l’obligation dépend de quatre facteurs : Valeur nominale ou valeur au pair Taux de coupons Période de temps avant l’échéance Taux de rendement à l’échéance (TRE): le rendement qui actualise les coupons et la valeur nominale aux prix du marché d’aujourd’hui (aussi connu sous le nom de Taux de rendement interne (Yield en anglais). Po=c[1-(1+i)exp –T/i]+1000/(1+i)expT C= pmt Fv= 1000 N=T Iy=i Comp pv

Rappel Taux de rendement effectif Le taux de rendement à l’échéance (TRE) est un taux d'intérêt telle que la valeur actuelle des coupons et la valeur nominale de l’obligation égale le prix actuel du marché. On utilise souvent le terme taux de rendement comme dans «Le taux de rendement d’une obligation de 10 ans est de 5%.» Importants: Le TRE est coté en tant que taux d’intérêt annuel. Le prix et le rendement d’une obligation évoluent en sens inverse

Rappel Détails d’obligation Le taux de coupon, la valeur nominale (ou valeur au pair) et la date d'échéance sont tous déterminés par l'émetteur (société ou gouvernement). Le prix d’une obligation émise au pair est égal à sa valeur nominale (VN). Une obligation émise au pair à un taux de rendement à l’échéance = taux de coupon. La majorité des obligations sont émises au pair, avec le taux de coupon fixé au taux du marché. Si P0= 1000 = i= taux coupon

AUX É-U «T-Bills» - Un an et moins, pas de coupons (comme les bons du trésor)  «T-Notes» - Entre 2 et 10 ans; coupons.  «T-Bonds» - plus de 10 ans; coupons.

Structure à terme des taux d’intérêt D’habitude, nous posons l’hypothèse simple que le taux utilisé pour actualiser tous les paiements était le même, peu importe l’échéance. Nous supposons que le rendement à l'échéance est le même pour toutes les obligations.  En réalité, les obligations qui ont différentes échéances auront des rendements à l'échéance différents. La courbe des taux n’est pas plate. En 2008, tout le monde sait que la terre n’est pas plate, mais il y a encore de gens qui pense que la courbe de taux est plate.

Structure à terme des taux d’intérêt En général, les obligations qui ont différentes échéances auront des rendements à l'échéance différents (i.e. le TRE est une fonction de temps.) Si nous représentons le TRE en fonction de la maturité des obligations, nous appellons le résultat : La structure à terme des taux d'intérêt . TRE Maturité

Structure à terme des taux d’intérêt La structure à terme des taux d'intérêt nous donne la relation entre l’échéance et le rendement à l'échéance d'une obligation. La courbe des taux est une représentation graphique de la structure des taux. Courbe normale –une pente vers le haut, les rendements à long terme sont plus élevés que ceux à court terme. Courbe inversée - une pente vers le bas, les rendements à long terme sont inférieurs aux rendements à court terme.

Courbe des taux Canadiens novembre 2002 www: Click on the web surfer to go to Bloomberg to get the current Treasury yield curve

Le risque des taux d’intérêt et la courbe de taux La banque centrale (ou la FED aux É.-U) fixe le taux d’intérêt à court terme (Le taux directeur ou le fed fund rate aux ÉU). Les taux d’intérêt à long terme sont fonction des taux d’intérêt à court terme anticipés, en plus, il existe une prime de risque liée à l'incertitude quant aux forces sous-jacentes de l'économie, telles que le taux de croissance de l'économie, l'inflation, etc.

Les liens à la Macro économie La banque centrale va répondre aux forces macro-économiques en fixant les taux d'intérêt. Ainsi, la courbe des rendements intègre de l'information sur les conditions macro-économiques actuelles et futures. Elle peut donc servir de baromètre de l’économie. La courbe des taux d’intérêt «inversés» est un indicateur avancé de récession.

Explication de l’allure de la structure à terme des taux d’intérêt Plusieurs théories ont été proposées pour expliquer l’allure et le niveau de la courbe des rendements par rapport aux échéances à un moment donné dans le temps : La théorie des anticipations La théorie de la préférence pour la liquidité La théorie des marchés segmentés (voir DM pages : 120-125)*** EXAM cm ou vrai ou faux

Risque de taux d’intérêt La sensibilité des prix aux variations de taux Risque de taux d’intérêt Le risque de taux d’intérêt ↑ Au fur et à mesure que l’échéance ↑ Le risque de taux d’intérêt ↑ Au fur et à mesure que le Taux de coupon ↓ Le risque de taux d’intérêt ↑ Au fur et à mesure que le Taux de rendement à l’échéance ↓ Obligation : risque de crédit qu’on ne soit pas remboursé. Si baisse taux int: prend un échéance plus longue avec un taux de coupon plus faible. Pour avoir sensibilité min: échéance court, coupon élevé = minimiser sensibilité aux taux d’intérêt Sensibilité max: échéance longue, coupon baisse Si janticipe une hausse des taux d’intérêt, je vais choisir un marché où le risque est plus élevé avec un haut coefficient beta. Si on anticipe une baisse on va opter pour un titre défensif qui aura un coefficient beta inférieur à 1.

Risque de taux d’intérêt et l’échéance Les obligations ayant une échéance plus longue sont plus sensibles au changement des taux que les obligations ayant une échéance plus courte. Le risque de taux d'intérêt est donc plus grand pour les obligations ayant une échéance plus longue. Qui ont

Intuition Nous pouvons voir que la pente de la courbe «prix rendement » (qui est fonction du taux d'intérêt) est beaucoup plus raide pour les obligations d’échéance de 30 ans que pour les obligations d’échéance d’un an.  Plus la courbe de «prix-rendement» est raide, plus l’obligation devient sensible aux variations des taux d'intérêt.  Une grande partie de la valeur actuelle d’une obligation est attribuable à sa valeur nominale.  Plus l’échéance de l'obligation est longue, plus tard la valeur nominale de l’obligation sera reçue, ce qui la rend plus sensible au changement des taux d'intérêt.

Intuition Pourquoi ? Car même une petite variation des taux d'intérêt peut avoir un effet important s’ils sont composés sur une plus longue période. En voici un exemple : Obligation 20 ans : Prix = 1000x(1+r)-20 Obligation 10 ans : Prix = 1000x(1+r)-10 10 ans 20 ans 7% 508.3493 258.419 8% 463.1935 214.5482 % Variation 0.088828291 0.1698 463,19-508,3493 / 508,3493= 0,088828291

Risque de taux d’intérêt et le taux de coupons Les obligations qui ont un taux de coupons élevé sont moins sensibles aux variations de taux. Le risque de taux d’intérêt est inversement relié à la valeur du taux de coupon. Pourquoi? La valeur nominale joue un rôle moins important. La portion de valeur nominale actualisée dans la valeur totale actualisée est beaucoup moins élevée. Une obligation à coupons élevés diminue l'échéance moyenne des paiements de coupons, et donc, diminue la sensibilité de l’obligation à sa valeur nominale.

Taux de coupon et la sensibilité Les obligations zéro coupon sont plus sensibles aux changements de taux d’intérêt. La sensibilité augmente avec l'échéance.

La courbe de «prix-rendement» Changement du taux de rendement à l’échéance (%) Pourcentage de variation du prix de l’obligation Oblig Coupon Échéance TRE initial A 12% 5 ans 10% B 30 ans C 3% D 6% B va être plus sensible que A.

Sensibilité des prix Quand l’échéance augmente de A à B, l’obligation devient plus sensible. Quand le taux de coupon diminue de B à C, l’obligation devient plus sensible. Quand le taux de rendement à l’échéance diminue de C à D, l’obligation devient plus sensible (pour des obligations a coupons). Quand les taux sont bas, les payements plus éloignés ont une valeur actualisée plus grande et représentent une plus grande portion de la valeur totale de l’obligation.

Stratégies de négociation Supposons que nous nous attendons à ce que la banque centrale du Canada abaisse les taux d'intérêt lors de sa prochaine réunion. Vous cherchez à construire un portefeuille d'obligations qui maximise la valeur de votre portefeuille. Voulez-vous construire un portefeuille avec : A. Une sensibilité maximale aux taux d’intérêt? B. Une sensibilité minimale aux taux d’intérêt? Réponse : A. Vous cherchez à construire un portefeuille qui permettra de maximiser l’appréciation du prix à un changement négatif dans les taux d'intérêt. Et donc, un portefeuille avec une sensibilité aux taux d’intérêt élevée.

Stratégies de négociation Comment pouvons-nous construire un portefeuille qui est plus sensible aux variations des taux d’intérêt? Nous savons que nous voulons choisir : Un portefeuille d’obligation à longue échéance plutôt qu’un portefeuille de courte échéance. Un portefeuille d’obligation à coupons bas plutôt qu’un portefeuille à coupons élevés. En d’autres mots, idéalement nous voudrions détenir un portefeuille d’obligation zéro coupons à longue échéance!

Stratégies de négociation Supposons que nous voulons obtenir un portefeuille d'obligations, mais que nous pensons que les taux d'intérêt sont sur le point d'augmenter. Que devons-nous faire? Réponse : Nous voulons tenir un portefeuille avec un minimum de sensibilité aux taux d'intérêt. Obligations de courte échéance avec des coupons élevés.

La durée Question: Je voudrais investir mon argent dans une obligation, mais je crains que les taux de rendements obligataires changeront dans l'avenir. Pour réduire les effets des changements dans les taux de rendement sur la valeur de mes obligations, Dois-je investir dans une obligation avec une échéance à court ou à long terme? Qu'en est-il des coupons? Devrais-je choisir une obligation avec des coupons élevés ou moins élevés? Réponse: Nous avons besoin d'un moyen pour calculer la sensibilité du prix des obligations aux taux d’intérêts. Cette mesure est la durée.

La durée La durée est une mesure plus précise de la vie d’une obligation que son échéance. L’échéance ne tient compte que de la date où aura lieu le paiement final. Par contre, la durée prend en considération l’importance des versements d’intérêts et le moment où ces derniers auront lieu.

L’équation de la durée Développé par Frederick R. Macaulay t = le temps auquel le paiement du coupon ou de la valeur nominale s’effectue Ct = montant du coupon payé au temps t r = taux de rendement à l’échéance de l’obligation

Exemple de calcul de la durée Une obligation d’une valeur nominale de 1000$ viendra à échéance dans 4 ans. Le taux de coupon annuel est de 12% et les intérêts sont versés annuellement. Si le taux de rendement à l’échéance est de 14%, quelle est la durée de cette obligations? Voir note papier cours 07

Durée d’un portefeuille d’obligation La durée d’un portefeuille composé de plusieurs obligations correspond à la durée moyenne pondérée des durées individuelles des obligations incluses dans le portefeuille : Dp :Durée d’un portefeuille d’obligations xi : Part des fonds investis dans l’obligation i Di : Durée de l’obligation i n : Nombre d’obligation incluses dans le portefeuille

Caractéristique de la Durée de Macaulay La durée d’une obligation zéro coupon est égal à son échéance. La durée d'une obligation avec des coupons est toujours inférieure à son échéance parce que la durée prend en compte les paiements intermédiaires.  Il existe une relation inverse entre la durée et la taille du coupon.  Il existe une corrélation positive entre l'échéance de l’obligation et la durée, mais la durée augmente à un taux décroissant avec l’échéance.  Il existe une relation inverse entre le TRE et la durée.

Durée d’une obligation vs l'échéance

Durée modifiée Pour des taux composés m fois par année, une mesure ajustée de la durée peut être utilisée pour estimer le pourcentage de variation du prix face à une variation de taux : M ne peut être égal qu’à 1 (paiement annuel) ou à 2 (paiement semestriel)

La durée modifiée et la volatilité des obligations Le changement des prix des obligations varie proportionnellement à la durée modifiée pour de petits changements de taux Une approximation du pourcentage de changement du prix d’une obligation est le changement de taux multiplié par la durée modifiée. Var p/p = P1-p0/p0 Vari = i1-i0 Suite à une variation d’intérêt la var p / p = l’impact sur mon obligation. Signe – devant D*, parce que int varie en sens contraire de la durée. vari>0 = varp<0 Varp=p1-p0=-D*XvariXp0 P = changement du prix de l’obligation P = prix initial de l’obligation D* = la durée modifiée de l’obligation i = changement du taux

Un petit test de votre intuition Supposons que vous travaillez pour Eggbert Kapital et que vous gérez le portefeuille d'obligations. Vous vous attendez à une diminution considérable des taux d'intérêt. Devriez-vous investir dans des obligations à long terme avec de faibles coupons, ou dans des obligations à faible échéance et à hauts coupons? Obligations avec une durée élevée ou faible? Réponse: Vous devriez investir dans des obligations où les prix vont augmenter le plus lorsque les taux d'intérêt diminuent. De cette manière, vous allez choisir des obligations avec une longue échéance et un faible taux de coupon. Vous voulez choisir des obligations avec la plus grande durée!

Courbe du prix et du TRE

Approximation de premier ordre La durée nous donne une approximation de premier ordre de la courbe du prix et du TRE. Pour de petits changements, la durée va nous donner une bonne estimation, mais la durée est une estimation linéaire de la tangente en ce point. Nous estimons ici la courbe avec une ligne droite Erreur d’approximation Δi TRE

Convexité La convexité est une mesure de la non-linéarité de la courbe prix-rendement. Elle est la dérivée seconde du prix par rapport au taux (d2P/dy2) divisé par le prix. La convexité représente le pourcentage de variation de dP/dy pour un changement de taux Pas imp cette formule plus celle de la diapo suivante.

Correction pour la convexité Nous pouvons mieux estimer une courbe si l’on utilise une fonction quadratique. IMP. Coupons semi-annuels

La durée s’ajoute à la convexité Ainsi, pour un petit changement dans le taux Δy, la durée modifiée et la convexité donnent l’approximation de second ordre de la courbe prix rendement. ΔP ≈ - D* P Δi + ½ P C (Δi)2 Le changement de prix expliqué par la durée - D* P Δi Le changement de prix expliqué par la convexité ½ P C (Δi)2

La convexité des obligations Variations du TRE (%) Pourcentage de variation du prix Portefeuille Durée + Convexité Durée

Les effets de la durée et de la convexité La variation du prix d’une obligation causée par la variation des taux s’explique par: La durée modifiée de l’obligation La convexité de l’obligation L’impact marginal de chacun de ces deux facteurs dépend des caractéristiques des obligations et de la taille du mouvement de taux. Les investisseurs aiment la convexité! Aiment une courbe qui est plus prononcée pcq cest plus sensible si le tx baisse, donc hausse du prix plus rapidement. Tx augmente, la baisse du prix est moins rapide.

Exemple Soit une obligation possédant les caractéristiques suivantes : Valeur nominale : 1000$ Échéance : 3 ans Taux de coupon annuel 10% ( intérêts versés annuellement) Taux de rendement exigé par le marché : 15% Calculer la durée de cette obligation Calculer la variation exacte (en %) du prix de cette obligation si le taux de rendement exigé par le marché, passe 15% à 12% Calculer la variation (en %) du prix de cette obligation en tenant compte exclusivement de la durée de cette obligation Calculer la variation (en %) du prix de cette obligation en tenant compte de la durée modifiée et de la convexité. Voir réponse feuille de notes lignées ! Imp exam.