LOIS DE PROBABILITE Variables aléatoires Lois discrètes Lois continues Relations entre les lois de probabilité

Variables aléatoires Une variable aléatoire X est une variable qui prend des valeurs numériques fonction du résultat d’une épreuve X sert à caractériser le résultat de l’expérience aléatoire R R Univers des événements W 1, 2, ..., i xi

Variables aléatoires Variables aléatoires continues X = « face du dé » : prend les valeurs x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (dénombrables) Variables aléatoires continues peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné X = « poids d’un nouveau-né » : x = toutes les valeurs, (généralement comprises entre 1 kg et 6) Deux types de variables aléatoires: Variables aléatoires discrètes ne prend que des valeurs discontinues dans un intervalle

Notion de loi de probabilité Variables aléatoires Notion de loi de probabilité v.a. discrète v.a. continue Densité de probabilité f(x) / b a x pi xi P(a < X < b) = = P(X<b) - P(X<a)

Fonction de répartition F Variables aléatoires Fonction de répartition F F(x) = P(X ≤ x) v.a. discrète v.a. continue F(k)= P(X≤k) = 1 0 ≤ F(x) ≤ 1

Variables aléatoires v.a. discrète v.a. continue Espérance (moyenne, barycentre) Variance (inertie)

Lois discrètes Loi binomiale On appelle variable Binomiale une variable aléatoire X correspondant à la somme de n variables de Bernoulli. Notée   X : B(n,p) X = nombre de succès au cours de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes Loi de probabilité: Elle est appelée loi Binomiale, notée B(n,p) E(X) = np V(X) = np(1-p)

Lois discrètes Loi binomiale Exemple: Répartition du nombre de filles dans les fratries de 4 enfants p: probabilité d’avoir une fille à chaque naissance = 1/2 X(Ω) = {0, 1, 2, 3, 4} Loi de probabilité B (4 ; 1/2) X=0 GGGG q4 0.0625 X=1 FGGG, GFGG, GGFG, GGGF 4q3p 0.25 X=2 FFGG, FGFG, FGGF, GFFG, GFGF, GGFF 6q2p2 0.375 X=3 FFFG, FFGF, FGFF, GFFF 4qp3 0,25 X=4 FFFF p4 0,0625 somme = 1 Indépendance statistique p (G  G  G  G) = q.q.q.q = q4

Lois discrètes Loi de Poisson Dans le cas d’une variable de Poisson, les événements se produisent les uns à la suite des autres, de façon aléatoire dans l’espace ou le temps. X = nombre d’objets par boite Loi de probabilité: Elle est appelée loi de Poisson, notée P(λ) k = 0, 1, 2, …, ∞ E(X) = l V(X) = l

Lois continues Loi normale Une variable aléatoire est une variable normale quand elle dépend d’un grand nombre de causes indépendantes dont aucune n’est prépondérante Densité de probabilité: Elle est appelée loi normale Notée N (m,s) Max en μ E(X) = m V(X) = s2 f symétrique/μ

Lois continues Loi normale centrée réduite p(a) = P(U < a) U ~ N(0,1) p(a) = P(U < a)

Lois continues Loi normale centrée réduite b a

Lois continues Loi normale centrée réduite ε ~ N(0,1) ea 1-a a/2 -ea

Lois continues Loi du 2 de Pearson On appelle 2 à n degrés de liberté la variable aléatoire définie par :

Lois continues Loi de Fisher-Snedecor On appelle F à n et p degrés de liberté la variable aléatoire définie par : et

Lois continues Loi de Student On appelle T à n degrés de liberté la variable aléatoire définie par : E(T) = 0 V(T) = n/n-2

Importance de la loi normale Lois continues Importance de la loi normale Théorème central limite de Laplace Toute somme de v.a. indépendantes de même loi est une variable asymptotiquement normale. En particulier:

Lois continues Relations entre lois Lorsque n grand, p petit, np constant: B(n,p) -> P(l = np) Application du théorème centre limite Lorsque n est grand, la loi binomiale, la loi de Poisson, la loi de Student, la loi du χ 2, la loi de Fisher … tendent vers la loi normale