Trigonométrie Résolution de triangles

Résoudre un triangle, c’est trouver les mesures de ses côtés ou de ses angles. B C 3 4 5 Résous le triangle suivant. On connaît les mesures des côtés. Cependant, on ne connaît pas les mesures des angles, sauf l’angle de 900, mais on peut les déterminer en utilisant les rapports trigonométriques : Sinus Cosinus Tangente

3 5 Sin A = = 0,6 Sin-1 0,6 ≈ 36,90 36,90 Remarque A B C 3 4 5 Pour calculer plus rapidement et plus précisément, tu peux utiliser la séquence suivante : Sin-1 (3 ÷ 5) ENTER ≈ 36,90 Remarque Tu aurais pu déterminer la mesure de l’angle A en utilisant n’importe quel rapport. Cos-1 (4 ÷ 5) ≈ 36,90 Tan-1 (3 ÷ 4) ≈ 36,90 Quelle est la mesure de l’angle C ? Tu pourrais utiliser les rapports Sinus, Cosinus et Tangente; cependant, m C = 900 - 36,90 ≈ 53,10, car « Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.››

Quelle est la mesure du segment AB ? 300 3,5 x A B C Quelle est la mesure du segment AB ? Ici, on connaît la mesure d’un angle et d’un côté. En utilisant les rapports trigonométriques, nous avons l’information suffisante pour déterminer cette mesure. Pour cela, il faut comprendre ceci : - la calculatrice fournit la valeur des rapports trigonométriques pour un angle. Exemple : Sin 300 = 0,5 Démarche : 1) Pèse sur la touche Sin ; la calculatrice affiche sin. 2) Inscris la mesure de l’angle et pèse sur ENTER La calculatrice affiche 0,5; c’est le rapport entre les côtés.

Que signifie ce rapport ? Sin 300 = 0,5 3 Que signifie ce rapport ? On sait que tous les triangles rectangles ayant un angle de 300 sont semblables. 2 Le rapport entre les côtés est toujours le même. 1,5 300 1 1 0,5 0,5 1 Donc, 0,5 signifie Soit le rapport ramené à l’unité, c’est-à-dire ayant comme dénominateur 1. Nous pourrons donc utiliser ce rapport pour construire une proportion.

Quelle est la mesure du segment AB ? 300 3,5 x A B C Quelle est la mesure du segment AB ? Pour déterminer cette mesure, il faut : - déterminer le rapport entre les côtés en fonction de l’angle; - utiliser ce rapport pour former une proportion. Selon l’information fournie, il faut utiliser le rapport Sinus. Sin 300 = côté opposé hypoténuse = m BC m AB 0,5 1 3,5 x = 0,5 x = 3,5 x = 7 Remarque Cela correspond, en effet, à l’axiome : « Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300, la mesure du côté qui fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse.»

On cherche la mesure de x : 3,5 x 37,80 A B C On cherche la mesure de x : Selon l’information fournie, il faut utiliser le rapport Tangente. Démarche : 1) Déterminer le rapport Tangente d’un angle de 37,80 : Tan 37,80 = 0,775679511 ≈ 0,7757 Remarque : 2) Établir la proportion : On garde habituellement 4 chiffres après la virgule pour plus de précision. m BC m AC Tan 37,80 = 0, 7757 1 3,5 x ≈ 3) Isoler x : 0,7757 x ≈ 3,5 X 1 0,7757 x ≈ 3,5 x ≈ 4,512053629 ≈ 4,5 0,7757

Détermine la mesure de AB : 3,5 37,80 A B C 4,5 m BC m AB Sin 37,80 : x 0,6129 1 3,5 x ≈ 0,6129 x ≈ 3,5 3,5 0,6129 x ≈ ≈ 5,7 Tu aurais pu utiliser Cos 37,80 = 4,5 x m AC m AB = Remarques : Tu aurais pu aussi utiliser la relation de Pythagore.

Pour résoudre un triangle rectangle ou pour trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle, plusieurs outils sont possibles. Sin, Cos, Tan. Les axiomes suivants : c = a2 + b2 La relation de Pythagore : Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Pour des cas particuliers : Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300 , la mesure du côté qui fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse. Dans un triangle rectangle isocèle, les angles aigus mesurent 450.

56,40 A B C 3,6 x Quelle est la mesure du segment AB ? Problèmes Selon les informations fournies, le rapport à utiliser est Cosinus. Cos 56,40 = m AB m AC 0,5534 1 ≈ x 3,6 3,6 X 0,5534 ≈ x x ≈ 2 Remarque Pour plus de rapidité et de précision, tu peux opérer comme suit : Cos 56,40 = x 3,6 Cos 56,40 x 3,6 1 = peut s’écrire , donc 3,6 X Cos 56,40 = x Avec la calculatrice : 3,6 X Cos 56,40 = ou simplement 3,6 Cos 56,40 ≈ 1.99… ≈ 2

Attention 56,40 A B C 3,6 x Peu importe la façon dont tu procèderas, prends toujours le temps d’écrire ta proportion. Cos 56,40 = m AB m AC x 3,6 Cos 56,40 = 3,6 X Cos 56,40 = x Avec la calculatrice : 3,6 X Cos 56,40 ≈ 2

56,40 A B C x 2 Cos 56,40 = m AB m AC x 2 Cos 56,40 = x Cos 56,40 = 2 Cos 56,40 2 Cos 56,40 x = Avec la calculatrice : 2 ÷ Cos 56,40 ≈ 3,6

Soit un triangle rectangle en B tel que m AC = 34 mm et m A= 290. Calcule la mesure du segment BC. Représente la situation par un dessin. A B C Sin 290 = m BC m AC Rapport : 34 290 x x 34 Sin 290 = 34 sin 290 = x x ≈ 16,5 mm Soit un triangle rectangle en C tel que m AB = 347 cm et m A= 80. B C A Calcule la mesure du segment AC. Cos 80 = m AC m AB 347 x Rapport : 347 x Cos 80 = 347 Cos 80 = x x ≈ 343,6 cm

Conclusion Résoudre un triangle rectangle, c’est trouver les mesures des angles et les mesures des côtés. Si tu veux obtenir le rapport entre les côtés en fonction d’un angle, tu dois utiliser Sinus, Cosinus ou Tangente. Exemple : Sin 500 ≈ 0,7660 Cos 500 ≈ 0,6428 Tan 500 ≈ 1,1918 Si tu veux obtenir l’angle associé à un rapport de côtés, tu dois utiliser Sinus-1, Cosinus-1 et Tangente-1. Exemple : Sin-1 0,7660 ≈ 500 Cos-1 0,6428 ≈ 500 Tan-1 1,1918 ≈ 500 Attention : Ta calculatrice doit être réglée en mode DEGRÉ.