Principales distributions théoriques

Distribution discrète Plan Distribution discrète Loi Binomiale Loi de Poisson Distribution continue La loi Normale La loi de Student Les trois premières lois permettent de décrire le monde réel; La dernière, la loi de Student correspond à la loi suivie par des VA créées à partir d’autres variables

La loi binomiale Définition de la loi et caractéristiques N épreuves indépendantes de même type A chaque événement est associé une probabilité p de réalisation X = VA définie comme le nb de succès au cours d’une suite de n épreuves indépendantes X compris entre 0 et n Fn = X/n = VA définie comme la fréquence observable de réalisation de l’événement étudié au cours de n épreuves

La loi binomiale Forme de la loi : L(X) = B(n,p) Propriétés Exemple la probabilité de panne journalière d’une machine est de 0.02 La VA définie comme le nb de pannes survenues au cours de 10 j suit une loi binomiale B(10; 0.02) Événement élémentaire : tomber en panne Probabilité de l’événement élémentaire est tjs la même = p =0.02 Les n épreuves : les 10 jours d’observation La loi du nb de pannes observées sur 10 jours d’observation suit une loi binomiale B(10;0.02)

La loi binomiale en proportion Forme de la loi : L(X) = L(fn) = B(n,p) La VA n’est plus X mais X/n L(X) = L(fn) Propriétés E(fn) = p V(fn) = p(1-p)/n Exemple Exemple : Base de données de 500 clients Événement élémentaire : passer une commande La probabilité d’obtenir une commande est de p=0.1 soit 10% La probabilité d’observer 15% de commandes sur 60 courriers envoyés est de : On a 6.9% de chance d’avoir 15% de commandes sur 60 courriers envoyés

La loi de Poisson Forme de la loi : L(X) = P(l) Propriétés importantes E(X) = V(X) = l 2. Cdt nécessaire et suffisante : 3. Si L(X1) = P(l1) et L(X2) = P(l2) X1et X2 ,deux VA indépendantes alors L(X1+X2) =P(l1 +l2)

La loi de Poisson Calcul des probabilités (l = 6) P(X= 9) = P(X=9) = cf table p512 => P(X= 9) = 0.0688 Px<9) = 0.8472 P(X=<9) = P(X<10) = 0.9161 P(X>9) = 1-P(=>9) = 1- P(X<10) = 1-09161 = 0.0839 P(X>=9) = 1-PX<9) = 1- 0.8472 = 0.1528

La loi Normale Nombreuses causes indépendantes, à effet additif 2 paramètres seulement pour caractériser la loi La moyenne L’écart-type

La loi Normale La variable T = suit une loi N(0;1) Calcul de P(X<x) = ? Du fait de la symétrie de la loi normale P(T< -t) = P(t> t) P(T>-t) = P(T< t) P(t1<T<t2) = P(T<t2) - P(T<t1) Applications : X = N(5236;1972) Calcul de P(X > 6000) Calcul de P(X < 6000) Calcul de P(4000<X<7000) 1-P(X> 6000) = = P(T>0,39) = ? On lit la réponse sur la table 3-A p 517 => P(T>0,39) = 0.3483 2-P(X< 6000) =P(T<0.39) = 0.6517 par lecture directe dans la table 3B p 518 3-P(4000<X<7000) = P(-0.62<T<0.90) = ? La lecture de la table 3

La variable T = suit une loi N(0;1) La loi Normale La variable T = suit une loi N(0;1) On cherche un intervalle [x1,x2] centré sur la moyenne tel que P(x1<X<x2) = c%, avec c connu Méthode: On centre et réduit La VA X On rechercher t2 dans la table 3- C tel que P(T>t2) = (1-c%)/2 bornes = + t2 x s + m et -t2 x s + m Exemple Déterminer l’intervalle bilatéral (centré sur la moyenne) qui contient 90% de chèques

La loi Normale Propriétés Autres propriétés importantes E(X) = m et V(X) =s² Autres propriétés importantes

La loi Normale Calcul de P(X=x) à partir de la distribution continue ? P(X=x) = f(x) dx ; on visualise la probabilité ponctuelle par le rectangle f(x) * dx avec dx= 1

La loi Normale Calcul de P(X=x) à partir de la distribution continue ? P(X=x) = f(x) dx ; on visualise la probabilité ponctuelle par le rectangle f(x) x dx avec dx= 1

La loi Normale Approximation de la loi binomiale par la loi Normale Calcul de P(X=x) à partir de la distribution continue de la loi normale ? P(X=x) = avec t = Calcul de P(X<x) et de P(X<x) on calcule t : P(X<x) = P(T< ) P(X>x) = P(T> )

La loi Normale Approximation de la loi de Poisson par la loi Normale Si l >30, la loi de Poisson peut être approximée par une loi Normale de paramètres

La loi de Student Loi utilisée à la place de la loi normale lorsque le paramètre s est inconnu et fait l’objet d’une estimation Elle dépend de 3 paramètres : m, la moyenne - s, l’écart-type n, le nb de degrés de liberté : nb d’informations non redondantes utilisées Elle est tabulée Table p523 et 524 Dès que n >30, la loi de Student peut être approximée par la loi normale de paramètre m et s