La gestion indicielle comme gestion optimale Philippe Bernard Master Ingénierie Economique Département d’Economie Appliquée Université Paris Dauphine

Les styles de gestion Dans la pratique, diversité des styles de gestion, avec notamment L’opposition entre gestion active et gestion passive Un exemple de gestion passive : la gestion indicielle, i.e. détention d’un portefeuille reproduisant un indice

Question La gestion indicielle peut-elle être optimale? Justifications de la gestion indicielle : littérature empirique : performances décevantes des fonds actifs théorique : théorème des deux fonds

Historique Théorème de Tobin [1958] Réinterprétation au cours des années 60 du résultat de Tobin (notamment par Sharpe et Black) Au début des années 70, multiplication des fonds indiciels à l’initiative de Wells Fargo (conseillée par Sharpe et Black)

Cadre formel L’univers de titres : J actifs risqués indicés j=1,…,J 1 actif sans risque Hypothèse (fondamentale) : l’actif certain est supposé être échangé sur un marché parfait (même taux, absence de contraintes quantitatives sur les transactions). Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine

La contrainte budgétaire : conséquence : la position monétaire nécessaire pour équilibrer le budget

La contrainte de rendement objectif Après prise en compte de la contrainte budgétaire

portefeuille au sens stricte (a fully invested portfolio) sinon une source de financement supplémentaire (si >1) est nécessaire Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine

Le programme d’optimisation

Le lagrangien

Propriété Dérivée de la covariance

Dérivée du lagrangien

Les conditions marginales Pour tout titre j Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine

Interprétation Comme : ou

Le portefeuille risqué optimal portefeuille totalement investi (a fully invested portfolio)

Le système

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Commentaires Le portefeuille optimal est donc déterminé par le jeu de deux variables: le rendement objectif qui détermine notamment la valeur du multiplicateur le contexte du marché qui détermine complètement : Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine

L’invariance du portefeuille risqué Le portefeuille (total) comprend d’une part un investissement (ou un endettement) en actif certain et un portefeuille risqué. La part de chaque actif j dans ce dernier est donnée par :

Le portefeuille risqué (suite) Comme on a :

Le portefeuille risqué (suite) est un nombre il ne dépend que des conditions du marché on peut donc le considéré comme donné, comme une constante

Le portefeuille risqué (suite) Le portefeuille risqué peut se réécrire Et ne dépend donc pas de l’objectif de rendement assigné, et donc pas des caractéristiques individuelles des investisseurs (tolérance au risque, richesse)

Le processus d’investissement Le processus d’investissement peut se décomposer en deux étapes : partage de la richesse entre investissement certain et investissement risqué  choix de détermination du portefeuille risqué

La gestion indicielle optimale Dans le contexte adopté, portefeuille risqué optimale = Z quel que soit l’investisseur l’indice d’actifs risqués pertinent pour les investisseurs = l’indice défini par Z produits à utiliser = actif certain + fonds investi dans l’indice défini par Z

« Il est impossible de battre le marché » La stratégie optimale étant de détenir l’indice défini par Z, quelle sera la performance de cette stratégie? Le ratio de Sharpe comme mesure de performance corrigé du risque

« Il est impossible… » La performance du portefeuile optimal : La performance de tout portefeuille optimal, quel que soit le partage actif certain / actifs risqués a la performance de l’indice z. Cet indice z étant l’indice pertinent du marché des titres risqués, « il est impossible de battre le marché. »