Le Modèle d’Equilibre des actifs financiers Le MEDAF Le Modèle d’Equilibre des actifs financiers

Plan Introduction Section I : Les deux composantes du risque Section II : La théorie du portefeuille Insuffisance du critère Espérance Fonction d’utilité Espérance et variance d’un portefeuille Frontière d’efficience Choix d’un portefeuille optimal pour l’investisseur Section III : le MEDAF

Introduction France USA Sharpe (1966) Théorie du choix du portefeuille Markowitz (59) Modélisation du taux de rendement d’un titre Prime ? La prime moyenne du marché France USA

I : Les deux composantes du risque La diversification le risque Risque concerné ici = la météo ou risque spécifique Si crise économique => Tous les secteurs sont touchés de façon plus ou moins forte => risque systématique Produits vendus Huile solaire Parapluie Capitaux investis 50% - 50% Beau temps 30% 4% ? Temps Voilé 17% Pluie

I : Les deux composantes du risque Peut-on éliminer le risque ? Comment varie le risque d’un pf en fonction de N ? Si N augmente = > s diminue Mais une limite : si Conclusions : seul le risque spécifique peut être éliminé par diversification Le risque systématique existe toujours => rémunération

I : Les deux composantes du risque Fonction de l’entreprise La prime de risque systématique est fonction de l’entreprise pq ? Une crise économique ne va pas toucher tous les secteurs avec la même intensité Les produits alimentaires, indispensables, seront moins touchés => secteur peu risqué => prime de risque inférieure à la prime moyenne => b faible Les produits de luxe seront très touchés => prime de risque supérieure à la prime moyenne du marché => b >1 Chaque entreprise a son b

II : La théorie du pf Objectif ? Insuffisance du critère Espérance Paradoxe de Saint-Petersbourg Il faut tenir compte de l’aversion de l’agent pour le risque Fonction d’utilité 1 gain un utilon Utilon = mesure de la satisfaction de l’agent Critère de choix = ?

II : La théorie du pf Propriétés :si ri suit une loi normale est une bonne mesure du risque Tout pf est caractérisé par le couple : E(Rpf), s(Rpf) Lieu des pf ayant même utilité

II : La théorie du pf Espérance, Variance d’un portefeuille Le rendement du titre i Le rendement d’un pf Le rendement espéré du pf La variance d’un pf avec

II : La théorie du pf La région Ep, sp est pleine Frontière d’efficience La région Ep, sp est pleine Elimination de certains pf Tous les pf ayant même variance mais une espérance de rdt < sont éliminés Tous les pf ayant même espérance mais une variance > sont éliminés => seul un ensemble de titres restent= la frontière d’efficience La frontière d’efficience est concave

II : La théorie du pf Choix d’un pf optimal pour l’agent L’agent choisit son pf : il est sur la frontière d’efficience il lui procure l’utilité la plus forte Ep s²

II : La théorie du pf Choix d’un pf optimal pour l’agent Le pf optimal est propre à chaque agent Dépend de sa fonction d’utilité Ep s²

II : La théorie du pf L’actif sans risque Composition du pf Q Frontière d’efficience et taux sans risque L’actif sans risque E(rf)= rf s(rf) = 0 Cov(rf,ri)=0 Soit Q un pf Composition du pf Q Une partie Xp est investie dans un pf P risqué Le solde dans l’actif ss risque Où se trouve le pf Q ?

II : La théorie du pf =? = ? Ep +P rf sp =? = ? sp Ep +P rf Si Xp = 0, on investit tout dans l’actif sans risque Si Xp = 1, on investit tout dans le portefeuille P si Xp>1 et Xref<0, on emprunte au taux ss risque pour investir dans des actifs risqués

Frontière d’efficience et taux sans risque sp Ep M X +P rf Il existe une droite particulière, la droite rf M qui est tangente à la frontière d’efficience en M Cette droite est la nouvelle frontière d’efficience

II : La théorie du pf La frontière d’efficience est une droite Frontière d’efficience et taux sans risque Propriétés La frontière d’efficience est une droite On l’appelle CML (Capital Market Line) Son équation : Le portefeuille M = ?

III : Le MEDAF Hypothèse : Propriétés Lieu des portefeuilles efficients Hypothèse : La CML est commune à tous les agents M est le portefeuille de marché Propriétés Pour tout pf efficient, est proportionnelle à Les pf efficients sont des pf parfaitement diversifiés Les pf non efficients sont situés sous la frontière d’efficience

III : Le MEDAF Droite caractéristique d’un titre Régression de Ri sur Rm RM,t est le rendement du marché dans son ensemble à la date t Ri,t est le rendement du titre i observé à la date t ai est la constante à l’origine de la droite de régression bi est le coefficient directeur de la droite de régression, est appelé bêta du titre Chaque titre subit l’influence du marché dans son ensemble. Lorsque le marché monte, un titre a tendance à monter, lorsque le marche baisse, il a tendance à baisser. Pour mesurer l’influence de RM sur Ri, on détermine la droite de régression d’après la méthode des moindres carrés ei,t est une variable aléatoire de moyenne nulle et d’écart-type = 0. c’est le résidu de la régression.

III : Le MEDAF Ri RM X X X X X Si tous les points étaient situés sur la droite, on pourrait dire que les variations du titre i sont entièrement déterminées par celle du marché D’autres causes étrangères provoquent des variations qui se traduisent par le résidu. Ce sont des causes propres au titre. Les variations de Ri sont plus ou moins sensibles au variations de RM. C’est le bêta qui mesure cette sensibilité plus ou moins grande du titre aux variations du marché. Il existe des titres, qui lorsque le marché monte, montent + qui lorsque le marché baisse, baissent – Pour ces titres b>1; ils sont dits agressifs

III : Le MEDAF Le risque du titre est mesuré par son Droite caractéristique du titre et risque Le risque du titre est mesuré par son 2 sources expliquent la variabilité de Ri Le lien entre Ri et Rm Les caractéristiques propres du titre Equation de la droite caractéristique : avec des variables aléatoires

III : Le MEDAF risque Risque Total du titre dû Au marché Risque dû aux Caractéristiques Risque spécifique Risque systématique

III : Le MEDAF Le MEDAF XM dans M Inv. dans le pf de marché Pf efficient Inv. dans l’actif ss risque 1-XM dans rf Le bêta d’un pf eficient est égal à la fraction du portefeuille investi dans le pf de marché. Pq ? Car le bêta d’un pf est la moyenne pondérée des bêta : xm bm + (1-xm) brF. Or le bêta du titre sans risque =0; le taux de rendement du tx sans risque ne varie pas en fonction de l’évolution du marché Le bêta du pf de marché =1; en effet, la régression de Rm sur Rm est une droite de pente 1; La relation du MEDAF établit une relation linéaire entre l’espérance de rdt des pf efficients et leur risque non diversifiable mesuré par leur bêta. Equation du MEDAF

Tous les pf sont situés sur la droite Rf M, appelée SML III : Le MEDAF Ep A M EM Rf B Soit la droite Rf M sur laquelle se trouvent les portefeuilles efficients. Soit le point A, représentatif d’un titre isolé; Par définition, il n’est pas efficient; A ce niveau de risque, le titre isolé a une espérance de rdt supérieure à celle d’un pf eficient représenté par B. 1 Tous les pf sont situés sur la droite Rf M, appelée SML

III : Le MEDAF Propriétés de la SML Dans le plan (Ei,bi), la SML passe par le point Rf et le point M Elle est applicable à tout titre ou pf efficient ou non efficient Elle ne prend en compte que le risque non diversifiable mesuré par le bi du titre i La CML est un cas particulier de la SML La CML est un cas particulier de la SML: cas où le risque total du titre se limite au risque de marché (non diversifiable)