MATHEMATIQUES AU CYCLE II « De l’approche des quantités et des nombres à la connaissance des nombres entiers naturels. »

Objectif : Renforcer la cohérence de cet enseignement au cycle II              Objectif : Renforcer la cohérence de cet enseignement au cycle II 1- L'utilisation d'une même progression sur trois années dans le cycle 2 faciliterait la mise en place d'une pédagogie différenciée et permettrait une organisation pédagogique par cycle.             2- L'harmonisation et la modification progressives des pratiques pédagogiques des maîtres pourraient être facilitées par des groupes d’auto formation en complémentarité avec une co-intervention dans la classe.

            Les résultats montrent une mise en place par un grand nombre d'enfants de stratégies de compensation qui leur permettent de "feindre" un réel apprentissage pendant les deux premières années de leur cursus élémentaire et même au-delà.             Un de ces comportements consiste en un recours quasi-exclusif à la pratique du comptage un à un qui se trouve privilégié par rapport au calcul, rendant ainsi la charge cognitive des travaux numériques très importante et donc la prise de sens plus difficile. D'autre part, l'observation des pratiques pédagogiques des enseignants a mis en valeur l'absence de coordination au sein du cycle 2 et un certain dénuement de la part des professeurs des écoles face aux apprentissages numériques.           Tout se passe comme si chacun avait son programme à commencer en début d'année et à suivre jusqu'à la fin sans tenir compte de ce qui avait été fait les années précédentes et des différents acquis des élèves qui arrivent dans leur classe.

Avant d’aller plus loin, quelques définition NOMBRE : (nombre entier naturel) notion fondamentale des mathématiques qui permet de dénombrer, d’ordonner des collections d’objets ou de mesurer des grandeurs. Un nombre est représenté par une écriture qui utilise des symboles : les chiffres. CHIFFRE : signe élémentaire permettant de construire l’écriture d’un nombre. (les chiffres sont aux nombres ce que les lettres sont aux mots) COLLECTIONS EQUIPOTENTES OU DE MEME CARDINAL : deux collections sont dites équipotentes si l’on peut établir une correspondance « terme à terme » ou « un à un » entre elles deux. Chaque objet de la première collection peut être relié à un objet de la deuxième collection, et au terme de ce travail, il ne reste aucun objet isolé dans la deuxième collection. Les expressions suivantes sont alors synonymes : - les deux collections ont autant d’objet. - les deux collections ont le même CARDINAL. - si elles sont fines, les deux collections ont le même nombre d’éléments.

DENOMBRABLE : se dit d’un ensemble dont les éléments peuvent être numérotés à l’aide des entiers. (dénombrable ne signifie pas fini). NUMERATION : c’est tout système qui permet de désigner les nombres. La numération fonctionne comme un langage avec un alphabet et une grammaire qui rendent possible de prévoir certaines propriétés ou relations entre nombres, en faisant l’économie d’avoir recours aux collections. Il existe des numérations orales et des numérations écrites. Attention : on parle de la numération romaine, à juste titre, mais aussi de la numération sanguine qui est de dénombrement (pour le comptage) de globules. NUMERO, NUMEROTER, NUMEROTAGE : un numéro est un chiffre ou l’écriture d’un nombre qui indique la place d’une chose dans une série. NUMEROLOGIE : art divinatoire cherchant à déterminer l’influence des nombres sur les évènements terrestres. DENOMBREMENT : On dit qu’un sujet sait dénombrer une collection quand il sait lui attribuer le nom ou l’écriture de son cardinal (le nombre de ses éléments), par comptage, c’est-à-dire en ayant recours à la comptine : « un, deux, trois… »

CALCULER : c’est mettre en relation des quantités, directement à partir de leurs représentations numériques, sans passer par la réalisation physique de collections dont les éléments seraient décomptés. ENUMERER : action de passer en revue une fois et une seule chaque élément d’une collection. COMPTINE : suite de mots énoncés selon un ordre immuable. Il existe des comptines générales : « am, stram, gram, pic et pic et colegram, …. » et des comptines numériques parmi lesquelles la suite des nombres « un, deux, trois, quatre, … » COMPTAGE : un des moyens de dénombrer une collection. Chaque objet de la collection doit être apparié à un mot de la « comptine numérique ». 1) Mettre en correspondance un à un chaque objet décompté avec un et un seul nom de nombre, ce qui suppose la maîtrise de l’énumération des objets. 2) Avoir mémorisé la comptine dans le bon ordre. 3) Appréhender le dernier mot énoncé lors du comptage comme désignant une propriété de la collection d’objets et non du dernier élément compté (principe cardinal Gelman 1983)

SITUATION FONDAMENTALE DU NOMBRE : A) Situations où le nom du nombre est utilisé pour construire une collection B) Situations où les noms de nombres sont utilisés pour comparer deux collections C) Situation où le nom du nombre est utilisé pour désigner ou mémoriser une position dans une file. Leur représentation par une situation générique : - situation fondamentale du dénombrement : aspect cardinal - situation générique du dénombrement : aspect ordinal

  Concevoir les quantités, c'est disposer d'un système symbolique pour communiquer sur une question du type : "Quelle est l'extension d'une collection ?"            Un enfant a donc une première conception des quantités, dès qu'il dispose d'un système symbolique qui lui permet de communiquer sur l'extension des collections.             Or, l'observation montre que l’enfant peut concevoir des petites quantités (1, 2 et 3)  très tôt, soit avec les doigts ( "je veux comme ça de gâteaux", en montrant deux doigts), soit par comptage  (il fait une collection témoin), ce qui est différent de l'utilisation d'un mot-nombre unique.

Il existe donc deux modes de représentation de la quantité :                                               - la représentation analogique avec la construction d'une collection-témoin.                                     - la représentation  conventionnelle avec l'utilisation du symbole.

Nous pouvons donc dire que calculer, c'est mettre en relation des quantités à partir des seules représentations numériques sans utiliser les collections témoins.              Il est important de souligner que la pratique du "comptage-numérotage" peut constituer un obstacle à l'accès au nombre par la difficulté de la double signification (ordinal et cardinal) du dernier mot-nombre.                                                                                             Le premier usage des mots-nombres doit donc consister à dénommer des quantités.

La gestion des systèmes symboliques dans la progression pédagogique est très importante, car ceux-ci peuvent être à l'origine de la mise en place des stratégies de compensation dont nous parlions plus haut s'ils sont abordés trop tôt en regard des compétences de l'enfant.             En effet, ce système symbolique est par définition, systématique, conventionnel et arbitraire, et peut donc être un obstacle possible aux apprentissages.             Citons comme exemples l'utilisation des signes arithmétiques comme =, +, -, dès la maternelle ou l'alignement des chiffres en colonne au CP qui, certes facilite le travail, mais peut également se substituer à la connaissance.

La prévention, comme tout acte pédagogique, doit être axé dans quatre directions distinctes mais indissociables :                                      - le savoir (compétences, progression, ...)                                     - les enseignants (pédagogie, conceptions, ...) - les enfants (évaluation, utilisation de l'erreur, ...) - et les parents (information)

Comment envisager la mise en place de ces premiers apprentissages numériques à l'école élémentaire ? La conception aujourd'hui privilégiée pour construire ces premiers apprentissages s'appuie sur les travaux de recherche s'appuie sur le fait que les connaissances se construisent dans une dialectique "outil-objet" (Régine Douady), c'est-à-dire qu'ils sont tantôt utilisés, sans que l'on se pose trop de questions à leur sujet, comme outil pour résoudre des problèmes, tantôt étudiés en tant qu'objets mathématiques de manière à éclairer la manière dont on les désigne (numération), à mettre en évidence leurs propriétés et leurs relations. Dans un premier temps, on proposera donc aux élèves des situations qui vont leur permettre de se servir des nombres : Cette partie est largement inspirée des ouvrages de la collection ERMEL

1. Les situations qui permettent de donner du sens aux nombres On peut proposer deux grands types de situations dans lesquelles les élèves peuvent découvrir les fonctions du nombre : - les situations qui vont permettre aux élèves de découvrir que le nombre peut être utilisé comme mémoire de la quantité ou de la position. - les situations qui vont permettre aux élèves d'anticiper le résultat de certaines actions sur les quantités comme par exemple prévoir ce que deviennent des quantités quand elles subissent des transformations sans même réaliser ces dernières.

1. Les situations qui permettent de donner du sens aux nombres Au sein de ces deux classes de situations, on peut distinguer plusieurs activités pouvant être proposées aux élèves des cycles 1 et 2 et permettant aux élèves de : construire une collection B ayant même nombre d'éléments qu'une collection A donnée, - compléter une collection B de manière à ce qu'elle ait autant d'éléments qu'une collection A donnée, - comparer deux collections A et B du point de vue de leur quantité, - repérer une position dans une suite de cases, une liste,… - trouver la quantité obtenue par la réunion de deux ou plusieurs collections, - trouver le point d'arrivée, la valeur d'un déplacement ou le point de départ d'un pion qui se déplace sur une bande graduée, - partager une collection en parts égales - réaliser des échanges.

2. Les contextes dans lesquels sont utilisés les nombres Karen Fuson (Chemin du nombre) distingue sept contextes qu'elle répartit en quatre classes : Les contextes mathématiques : le contexte cardinal où le mot nombre quantifie une collection d'éléments discontinus (réponse à la question "Combien?") - le contexte ordinal où le mot nombre décrit l'ordre d'un élément dans une collection d'éléments ordonnés (réponse à la question "où ?") - le contexte de la mesure où le mot-nombre indique le nombre d'éléments nécessaires, pris pour unités, pour "remplir" l'objet considéré : "tu as deux ans aujourd'hui".

2. Les contextes dans lesquels sont utilisés les nombres Les contextes séquentiels - le contexte de séquence où chaque mot est un élément d'une suite ordonnée sans référence à une quelconque quantité ou même réalité, - le contexte de dénombrement dans lequel les mots-nombres, organisés en suite stable et conventionnelle, sont mis en correspondance terme à terme avec les éléments d'une collection - Le contexte symbolique où les mots-nombres servent à décoder une écriture chiffrée - Le contexte non numérique où les mots nombres servent à désigner des codes tels que les numéros de téléphone ou de bus…

3. Le rôle du domaine numérique La mise en place des activités dépend des compétences et des connaissances initiales des élèves et plus particulièrement du domaine numérique choisi. Un enfant peut savoir résoudre tel problème dans un champ numérique donné, mais pas tel autre ou peut ne pas savoir le résoudre dans un domaine numérique plus grand. On peut alors distinguer des domaines numériques différents dont les frontières peuvent être floues : (ERMEL GS et CP-Hatier)

3. Le rôle du domaine numérique - Le domaine des nombres visualisables L'enfant utilise le recours très rapide au comptage ou l’absence du recours au comptage pour reconnaître les quantités composées jusqu'à 5 éléments. Dans ce domaine ,il est possible d'évoquer mentalement la collection d'éléments.. C'est dans ce domaine que l'enfant va commencer à privilégier les procédures de "comptage mental" et plus tard les procédures faisant appel à des résultats mémorisés. .C'est aussi le domaine des premières anticipations de résultats.

3. Le rôle du domaine numérique Le domaine des nombres familiers C'est en général le domaine de la récitation de la comptine (12,15.... selon les enfants). Dans ce domaine, la comptine est en général bien maîtrisée et le dénombrement un à un est possible. C'est dans ce domaine que l'on va pouvoir proposer les premières activités concernant le dénombrement. Dés la maternelle, il est possible d'amener les enfants à reconnaître globalement l'écriture chiffrée de ces nombres.

3. Le rôle du domaine numérique Le domaine des nombres fréquentés Ce sont les nombres de calendrier, le nombre d'enfants dans la classe. C'est dans ce domaine que les enfants vont faire leurs premières constatations concernant les régularités de la suite écrite. On va garder la trace de ce domaine numérique sur une bande écrite, on la prolongera au fur et à mesure des connaissances des enfants.

3. Le rôle du domaine numérique Le domaine des grands nombres Pour les enfants du début de cycle, ce sont parfois des nombres magiques. Ils vont prendre conscience que l'on peut aller très loin pour compter. Pour les enfants de CP, ils seront le domaine du dénombrement des grandes collections et donc de l'apprentissage des aspects groupements et échanges de la numération. Selon les objectifs choisis, selon les situations, selon les compétences des enfants, l'enseignant aura à choisir le domaine numérique. Il ne sera pas le même selon les différentes situations, pour une même situation, pour des enfants différents. Sa modification permettra de faire évoluer les procédures des enfants. Au début du CP, on pourra jouer sur ce champ numérique pour proposer aux enfants des situations de dénombrement, de comparaison, de création de collections mais aussi sur un champ numérique plus restreint, des situations d'anticipation permettant d'aborder le calcul. Ensuite, on élargira le champ pour aborder la numération et son aspect récursif.

Conclusion L’enseignant pourra s’appuyer sur les liens qui existent entre les différents points qu’il est nécessaire de prendre en compte pour rendre cohérent l’apprentissage des nombres naturels à l’école élémentaire.