Clarifier les perspectives de cet enseignement en abordant : la distinction entre mémorisation des tables et traitement, enseignement, automatisation de procédures qui utilisent les résultats mémorisés le nécessaire travail sur les procédures de calcul mental la progressivité et la cohérence de cet enseignement les liens à assurer avec les autres enseignements en mathématiques.

Calcul mental : pas de traitement écrit du calcul lui-même, même si le résultat peut être écrit (et même aussi, parfois, lénoncé du calcul). Calcul posé : usage dune technique opératoire Résultat automatisé : la réponse à « a x b » ou « a+b » ne doit pas relever dune reconstruction mais bien dune restitution la plus directe possible. Pour les tables, il ne sagit donc pas réellement dun calcul mais dun fait de mémoire. Dautres résultats de calcul mental gagneront à être automatisés, mais lautomatisation est progressive, elle se construit, et y parvenir suppose davoir reconnu une situation…et donc davoir réfléchi.

Procédure automatisée : certaines procédures de calcul doivent aussi progressivement être automatisées. Cest le cas, particulièrement, des procédures qui sont des mises en œuvre directes des propriétés des opérations, comme la distributivité ou la commutativité. 5 x 104 = 5 x ( ) = = = Certaines procédures, combinant connaissances sur les nombres et propriétés des opérations, peuvent aussi être progressivement automatisées : = 25 + (25 + 2) = ( ) + 2 = = 52

Calcul réfléchi : tout calcul qui fait appel à une activité cérébrale, même sil ne sagit que daller chercher un résultat connu par cœur. Les performances en calcul mental dépendent largement de la capacité des élèves à mobiliser les résultats et les automatismes procéduraux. Mais ce terme rappelle quil y a souvent prise de décision par le calculateur, qui demande une réflexion : quels résultats et automatisme mobiliser ? …il y a plusieurs manières de faire… Calcul rapide : ce nest pas une forme de calcul mais un critère de performance. Calcul approché : un tel calcul permet de donner un ordre de grandeur du résultat. Lexpression « estimation de lordre de grandeur » nest mentionnée que dans le programme de cours moyen mais donner, par le calcul mental, un ordre de grandeur du résultat dune opération permet à lélève de poser un regard critique sur son résultat. A ce titre, il est nécessaire de lentraîner dès le cycle 2.

Dans les programmes 2008… des indications concernant les tables…connaitre, mémoriser, restituer des éléments concernant le calcul mental … produire, reconnaitre, utiliser, calculer mentalement…un travail quotidien. Dans les programmes de la classe de 6 ème … le calcul mental est mentionné : on sy entraîne, on consolide… Cela renvoie implicitement à lécole élémentaire lenseignement des procédures de calcul. Un cadre horaire : le ¼ dheure quotidien dentraînement, des séances plus longues pour lenseignement des procédures de calcul et de nouveaux résultats.

Les tables sont des faits arithmétiques à connaitre. Bien que le nombre de faits soit restreint, la mémorisation des tables résiste : « Les informations quelles contiennent ne sont pas arbitraires et indépendantes les unes des autres. Au contraire, leurs contenus sentremêlent étroitement. Elles fourmillent de fausses régularités, de rimes troublantes, de jeux de mots trompeurs. (S.Dehaene –La bosse des maths). » Entre tables daddition et tables de multiplication, un point commun sensible, cest la difficulté de restitution qui saccroit avec la taille des nombres : les réponses sont plus lentes et le taux déchec est croissant avec la taille du nombre. Pour les tables daddition, des stratégies de recomposition mentale du résultat peuvent être rapides et performantes…mais ont un coût cognitif sensiblement supérieur à la restitution du résultat mémorisé. Pour les tables de multiplication, la reconstruction est impossible ou très complexe, les calculs ne sont pas aisés.

Les élèves doivent « mémoriser les tables » : cela signifie que tous les résultats doivent être immédiatement disponibles, en fin décole élémentaire, avec un taux élevé de réussite. Lapprentissage des tables par lélève ne se réduit pas aux leçons à la maison et le rôle de lécole ne se limite pas à interroger lélève sur ce quil a appris à la maison. La construction des tables est un travail qui doit être mené à lécole et qui repose sur un principe déconomie…le moins de cas possible pour le plus defficacité possible. Leur apprentissage doit faire lobjet de séances dentraînement à lécole. Quels outils pour les élèves ? Les affichages en classe peuvent être utiles en début dapprentissage… mais les laisser perdurer trop longtemps est contre-productif car cela diffère lobligation de mémoriser. Les cahiers outils Le tableau de Pythagore qui permet, pour laddition, de mettre en évidence les décompositions de 10, les sommes qui changent la dizaine, les doubles, les doublons. Il peut devenir un outil dapprentissage : chacun ne conserve alors que les résultats quil na pas encore mémorisés et quil doit donc travailler. La restitution des tables : Limiter le rituel de récitation des tables…qui conduit lélève à tout reprendre pour retrouver un résultat Travailler lalternance des interrogations orales et écrites Lutilisation des TUIC

Seuls les résultats résistants apparaissent encore…

Calcul mental et tables : tout calcul nécessite de recourir aux connaissances des tables. Dans ou , tout expert reconnait et mobilise la connaissance du résultat et transpose aux dizaines ou centaines automatiquement. Cette reconnaissance doit être enseignée à lécole. Pourquoi enseigner le calcul mental ? … des liens avec la vie de tous les jours. Une manière de permettre à lélève de cerner ses besoins dans ce domaine. Le travail sur les ordres de grandeurs permet une anticipation et un premier contrôle sur la validité dun résultat. Le recours au calcul mental et ses limites : il faut permettre aux élèves de mesurer leur efficience dans ce domaine mais aussi de situer leurs limites. Il faut les amener à faire preuve dautonomie et dinitiative en choisissant la forme de calcul la plus adaptée : calcul mental, calcul posé, calculatrice.

Pour automatiser des procédures il faut les repérer, les identifier, les exercer. Ce travail est lessentiel du parcours de formation à proposer. Lapprentissage préconisé est un passage par lexplicite : expliciter ou faire expliciter les propriétés des nombres et celles des opérations en jeu…systématiquement en début dapprentissage, puis chaque fois que nécessaire Recenser les procédures adaptées à la progression de chaque année de lécole élémentaire pour les enseigner explicitement…nécessité dune progression pensée sur le parcours élémentaire de lélève. Procédures ou procédure ? Il serait improductif dimposer une stratégie et une seule, même et surtout celle qui apparait comme une évidence pour celui qui enseigne. Pour choisir, il faut avoir le choix…

Les apprentissages se construisent dans la durée. Une programmation toujours associée aux autres apprentissages mathématiques : quand on étudie la relation centimes/euros, il est impossible déviter de revenir au complément à 100, la distributivité dans la technique opératoire de la multiplication doit être travaillée en calcul mental. Mais des spécificités à respecter : les techniques opératoires ne doivent pas être transposées au calcul mental, les techniques du calcul mental sont à apprendre spécifiquement. Les techniques de calcul mental sappliquent prioritairement dans les situations de la vie courante : monnaie, comparaison de mesures, échanges entre enfants. Les techniques spécifiques au calcul mental ne pourront sinstaller durablement que si elles sont comprises, cest-à-dire reliées à des connaissances déjà installées sur les nombres et sur les opérations : sens et technique sont étroitement liés.

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Elle porte sur ce qui a été enseigné et entraîné : il ny a ni piège, ni surprise ! Une évaluation qui a trois fonctions : valoriser les progrès, dire à lélève ce quil sait et ce sur quoi il doit encore progresser, indiquer à lenseignant sur quoi il doit encore insister. Une évaluation qui porte sur trois aspects du calcul mental : La mémorisation des résultats Lautomatisation des procédures étudiées Lutilisation des procédures dans la résolution de problèmes simples. Concernant les tables, dans une logique dacquisition de compétence, lindicateur donné pour la fin de lécole élémentaire est intitulé ainsi : « restituer les tables daddition et de multiplication de 2 à 9 »… on doit donc considérer que la compétence est acquise lorsque le taux de réussite est élevé. Pour les procédures, lévaluation doit faire le point sur la part dautomatisation des procédures étudiées. Il y a peu de ressources dans ce domaine…des ressources à construire à partir des pratiques enseignantes. Le niveau dexigence en fin décole élémentaire : en fin de CM2, il est raisonnable de considérer que le calcul mental se limite aux nombres inférieurs à 1000.