Programme de seconde 2009 Fonctions

Les intentions du programme Un principe affirmé pour l’ensemble du programme Progresser dans la maîtrise du calcul algébrique sans recherche de technicité, toujours dans la perspective de résolution de problèmes ou d’apprentissage de la démonstration.

Les intentions du programme Motiver l’introduction d’outils par la résolution de problèmes : Problèmes se ramenant à une équation du type f(x) = k Problèmes d’optimisation ou du type f(x) > k (fonction donnée ou à associer au problème)

Les intentions du programme Développer l’esprit critique Distinguer un nombre de ses valeurs approchées. Distinguer la courbe représentative d’une fonction des dessins obtenus à l’aide d’un traceur de courbe ou à la main.

Les intentions du programme Donner l’envie de chercher, valoriser la prise d’initiative… Exemple: « La somme d’un nombre strictement positif et de son inverse est toujours supérieure ou égale à 2 » Que pensez-vous de cette affirmation ? Argumentez En situation d’évaluation: « Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation »

Les intentions du programme Le programme a été conçu pour être enseigné et mis en œuvre avec l’outil informatique • tableur, • traceur de courbes, • logiciels de géométrie dynamique, • logiciels de calcul numérique, • logiciel de programmation • logiciels de calcul formel.

Au collège Objectifs en classe de troisième faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre ; faire apparaître les fonctions linéaires et affines comme des exemples particuliers de tels processus et synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures exploiter des exemples issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires ;

Au collège Commentaires du programme de troisième Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d’ensemble de définition sont hors programme. La détermination d’un antécédent à partir de l’expression algébrique d’une fonction n’est exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines.

Au collège Capacités Déterminer l’image d’un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. Connaître et utiliser la relation y=ax + b entre les coordonnées (x,y) d’un point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction affine x→ax + b. Lire et interpréter graphiquement les coefficients d’une fonction affine représentée par une droite. Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère.

Collège : quelques évaluations de ce nouveau programme Le DNB 2009 Sujet métropole Exercice 3 et problème

Évaluation diagnostique septembre 2009 (1000 élèves d’un district)

Réponses correctes 77,0% 75,5% 49,6% 38,4%

Seconde : programme 2009 A disparu dans le programme 2009 Valeur absolue et distance Caractérisation des fonctions affines par le fait que l'accroissement de la fonction est proportionnel à l'accroissement de la variable La représentation graphique des fonctions cosinus et sinus.

Seconde : programme 2009 Des contenus à introduire en situation Nature et écriture des nombres Ordre et intervalles Nouveau Encadrer une racine d’une équation grâce à un algorithme de dichotomie. Fonctions polynômes de degré 2. Fonctions homographiques. (Identifier l’ensemble de définition d’une fonction homographique). Un exemple : l’influence du vent

Un exemple du collège au lycée La boîte au collège La boîte au lycée

Au collège : Approche de la notion de fonction Activité d’introduction Un problème d’optimisation : le volume de la boîte x 20 cm Pour fabriquer une boîte (sans couvercle), on découpe un carré de même dimension à chaque coin d’une plaque de carton carrée de côté 20 cm . On veut fabriquer une boîte de volume maximal. x ……. 17

Approche de la notion de fonction Activité d’introduction : déroulement Construction de boîtes avec différentes dimensions pour les découpes carrées et calcul des volumes. Tableau de valeurs sur tableur Représentation graphique sur tableur Volume en fonction du côté de la découpe carrée Réponse au problème posé 18

x le côté de la découpe carrée V(x) le volume de la boîte Registre numérique Registre graphique Registre algébrique x le côté de la découpe carrée V(x) le volume de la boîte V(x) = x(20 – 2x)(20 – 2x) V: x x(20 – 2x)(20 – 2x) 19

La boîte au lycée Des fonctions aux algorithmes Dans une feuille de carton carrée de côté 10 cm on enlève à chaque coin un carré de côté x cm. On replie le carton suivant les pointillés montrés pour fabriquer une boîte à fond carré de hauteur x cm. 1. Calculer le volume de cette boîte pour x = 1, x = 2 et x = 3. Pour quelles valeurs x peut-on calculer ce volume ? 2. Écrire un algorithme qui permet de calculer le volume de la boîte v(x) en fonction de x. 20

La boîte au lycée 3. Enregistrer dans votre calculatrice l'un des programmes suivants : Texas Instruments ClrI/O Disp « Entrer un nombre entre 0 et 5 » Prompt X 4X*(X-5)^2  Y Disp Y End Casio : ClrText « Entrer un nombre entre 0 et 5 » « X » ?  X 4X*(X-5)^2  Y Y▲ Que calcule ce programme ? 5. Quel volume maximal de la boîte peut-on espérer ? 6. Comment faut-il choisir x pour obtenir ce volume maximal ? 21

La boîte au lycée On s’intéresse cette fois à une boîte de longueur L et de largeur l. Des considérations physiques nous indiquent qu’il existe une valeur x pour laquelle le volume est maximal. On veut un algorithme qui restitue la valeur x si on lui donne les dimensions de la boîte et la précision voulue. La considération physique est tout simplement : pour x=0 et pour x=l/2 le volume est nul, entre ces deux valeurs il ne l’est pas. Il a donc atteint un maximum quelque part.

La boîte au lycée Version ALGOBOX On peut donner le programme aux élèves et demander ce qu’il fait

Version ALGOBOX Le programme précédent cherche la première valeur pour laquelle le volume cesse de croître. Rien ne prouve que la décroissance engagée se poursuit. Pour résoudre complètement le problème il faut enrichir l’algorithme en effectuant une deuxième recherche « de la droite vers la gauche ». Si les deux valeurs trouvées coïncident, il s’agit d’un maximum unique.

La longueur d’une courbe L’objectif de cette activité est de déterminer une valeur approchée de la longueur L de la courbe de la fonction carré tracée dans un repère orthonormé sur l’intervalle [-1,1]. L’unité de longueur est l’unité des axes du repère.

Phase 1 On attend ici que les élèves estiment la longueur de L par le calcul de la somme de longueurs de segments.

Phase 2 Cette question a pour objectif de mettre en évidence la notion de balayage à pas constant et d’utiliser la formule de la distance entre deux points. Les élèves devront aussi constater qu’il suffit de calculer la longueur de la ligne polygonale sur [0,1] et de multiplier cette longueur par 2.

Synthèse par le professeur des deux premières phases Synthèse du travail effectué et mise en évidence des éléments importants pour la réalisation de l’algorithme (symétrie, nombre de subdivision de l’intervalle [0,1]). Animation

Phase 3: Algorithme En langage naturel Exemple On partage le segment [0, 1] en n intervalles. En partant de l’origine et tant que l’on a pas atteint le point de coordonnées (1,1), on calcule la longueur L de la ligne brisée constituée des segments d’extrémités les points de la parabole d’abscisses i/n. On affiche la longueur de l’arc de parabole sur [-1,1] qui égale à deux fois la longueur L. Les élèves auront certainement tendance à vouloir calculer toutes les distances et à effectuer ensuite la somme de toutes ces distances (comme ils le feraient sous tableur). Il est possible d’écrire un tel algorithme et de le traduire en langage python mais un tel programme est coûteux en mémoire.

Phase 3: Algorithme Entrée Saisir n, nombre de subdivisions de [0,1] Traitement Affecter à Long la valeur 0. Affecter à i la valeur 0. Tant que i<n faire: -Calculer la distance entre les points de coordonnées (i/n,(i/n)²) et ((i+1)/n,((i+1)/n)²) et ajouter cette distance à la variable Long. -Augmenter i de 1. Sortie Afficher la valeur de 2*Long. 30 30

Phase 4: traduction de l’algorithme en langage Python Importation des fonctions du module maths (on a besoin ici de la fonction racine) from math import * def distance(x1,y1,x2,y2): return sqrt((x2-x1)**2+(y2-y1)**2) n=int(input("Nombre de subdivisions de l'intervalle [0,1] ")) Long=0 i=0 while i<n: Long=Long+distance(i/n,(i/n)**2,(i+1)/n,((i+1)/n)**2) i=i+1 print("Une valeur approchée de la longueur de la courbe cherchée est",2*Long) Définition de la fonction distance La valeur, saisie par l’utilisateur, du nombre de subdivisions est affectée à n. A l’issue de la présentation de la traduction en langage Python, on exécute le programme Python. Affecter à i la valeur 0. Tant que i<n faire: Calculer la distance entre les points de coordonnées (i/n,(i/n)²) et ((i+1)/n,((i+1)/n)²) et ajouter cette distance à la variable Long. Augmenter i de 1. Afficher la valeur de 2*Long