Nombres et calculs Niveau 5ème Objectifs fondamentaux : Résoudre des problèmes et limiter les activités de technique pure Pratiquer le calcul mental, automatisé ou réfléchi, le calcul posé, le calcul avec emploi de la calculatrice Poursuivre l’initiation au calcul littéral : premières transformations d’écriture

Nombres et calculs Niveau 5ème Priorités : Pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes Prévoir des ordres de grandeur Opérer en conservant l’écriture fractionnaire dans les calculs Utiliser le vocabulaire approprié Contrôler ou anticiper des résultats par des calculs mentaux ou approchés

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres entiers et décimaux positifs Enchaînement d’opérations a b c peut selon le cas désigner

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres entiers et décimaux positifs Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition Sur des exemples numériques ou littéraux, utiliser les égalités dans les deux sens Introduction des notations a2 et a3 utilisées dans les formules d’aires et de volumes

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres entiers et décimaux positifs Exemples : 1 cm 1 cm  1 cm = 1 cm² Ce carré a une aire de 1 cm² a cm 1 cm 1 cm  a cm = a cm² Ce rectangle a une aire de a cm²

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres entiers et décimaux positifs Exemples : a cm 1 cm A l’aide d’un compas, d’une règle non graduée et des deux segments ci-dessus, construis un rectangle d’aire 2 cm², un carré d’aire a² cm², un rectangle d’aire 2a cm², un rectangle d’aire 2a² cm². Parmi ces quatre rectangles, quel est celui qui a le plus grand périmètre ?

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres entiers et décimaux positifs Exemples : Ces pièces sont construites à partir de cubes de côté a cm. Quelle est celle qui a le plus grand volume ? Quelle est celle qui a la plus grande aire ?

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres entiers et décimaux positifs Division par un décimal 24 6 2,4 : 0,6 = = = 4 2,4 0,6 Exemple : Multiples et diviseurs, divisibilité Reconnaître, dans des cas simples, si un nombre entier positif est multiple ou diviseur d’un autre nombre entier positif

Nombres et calculs Niveau 5ème Sens de l’écriture fractionnaire a Nombres positifs en écriture fractionnaire Sens de l’écriture fractionnaire a b est un nombre a b est le nombre qui multiplié par b donne a a b peut être approché par des nombres décimaux

Nombres et calculs Niveau 5ème Sens de l’écriture fractionnaire Nombres positifs en écriture fractionnaire Sens de l’écriture fractionnaire Utiliser l’écriture fractionnaire comme expression d’une proportion ac a = bc b sera justifié à l’aide d’un exemple générique

Nombres et calculs Niveau 5ème Pour montrer que Nombres positifs en écriture fractionnaire Pour montrer que Considérons le nombre n tel que n = Ce qui se traduit par 3  n = 5. Donc 2  ( 3  n) = 2  5. On obtient alors (2  3)  n = 2  5, c’est-à dire 6  n = 10. Par définition du quotient n = Conclusion :

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire Comparer deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes et dans le cas où le dénominateur de l’un est un multiple du dénominateur de l’autre

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire Quand numérateurs et dénominateurs sont différents, la comparaison pourra être envisagée dans des cas simples. Différentes procédures pourront alors être envisagées : comparaison à un même entier mise au même dénominateur dans des cas accessibles au calcul mental calcul des quotients approchés

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire Addition et soustraction de deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes et dans le cas où le dénominateur de l’un est un multiple du dénominateur de l’autre Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire ou décimale Exemples : 7 5 x 8 3 22 6 x 7 5 4,8 x 11 5,4 2 x 2,1 3

La nouvelle unité est le septième . Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire La nouvelle unité est le septième .

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres relatifs entiers et décimaux Notion de nombre relatif Que peut-on dire de la différence d = 3 - 5,7 ? d + 5,7 = 3 définition de la différence d + 5,7 - 3 = 3 - 3 on enlève 3 à deux quantités qui lui sont égales d + 2,7 = 0 d = 0 - 2,7 définition de la différence

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres relatifs entiers et décimaux Notion de nombre relatif On décide de noter d = - 2,7 Utiliser la notion d’opposé

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres relatifs entiers et décimaux Ranger des nombres relatifs courants en écriture décimale Calculer la somme ou la différence de deux nombres relatifs

Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres relatifs entiers et décimaux Calculer, sur des exemples numériques, une expression dans laquelle interviennent +, - et éventuellement des parenthèses Sur des exemples numériques écrire, en utilisant correctement des parenthèses, un programme de calcul la suppression des parenthèses sera étudiée en 4ème

= Nombres et calculs 5 x Niveau 5ème Equation Tester si une égalité est vraie ce qui disparaît : Trouver le nombre par lequel diviser un nombre pour obtenir un nombre donné 3 x = 5 Exemple du type :

Nombres et calculs Niveau 4e Objectifs fondamentaux : Résoudre des problèmes et ne pas privilégier les activités de technique pure Pratiquer le calcul numérique Poursuivre l’étude du calcul littéral.

Nombres et calculs Niveau 4e Priorités : Calcul mental, calcul posé, calcul avec la machine ou l’ordinateur Maîtrise des procédures de calcul effectivement utilisées Acquisition de savoir-faire dans la comparaison des nombres Réflexion et initiative dans le choix de l’écriture appropriée d’un nombre suivant la situation Développement du calcul littéral 

Calculer le produit de nombres relatifs simples Nombres et calculs Calcul numérique Niveau 4e Opérations sur les nombres relatifs en écritures décimales Calculer le produit de nombres relatifs simples Généralisation de règles : addition réitérée 3  (-2) = (-2) + (-2) + (-2) 3  (-2) = (-6) Donner une valeur approchée du quotient de deux nombres

Nombres et calculs Calcul numérique Niveau 4e Opérations sur les nombres relatifs en écritures décimales Sur des exemples, la distributivité de la multiplication par rapport à l ’addition est utilisée pour justifier la règle des signes

Nombres et calculs Calcul numérique Niveau 4e Opérations sur les nombres relatifs en écritures décimales Pour montrer que (-3)(-5) = (+15) (-3)  5 + (-3)  (-5) = (-3)  [5 + (-5)] Or (-3)  5 = (-15) Donc les nombres (-15) et (-3)(-5) sont opposés. Conclusion : (-3)(-5) = (+15)

Nombres et calculs Calcul numérique Niveau 4e Opérations sur les nombres relatifs en écritures fractionnaires Produit, quotient Connaître et utiliser l’égalité Pour la somme : recherche d’un multiple commun des dénominateurs dans les cas où un calcul mental est possible

Nombres et calculs Calcul numérique Niveau 4e Opérations sur les nombres relatifs en écritures fractionnaires (ou décimales) La suppression de parenthèses dans une somme algébrique est étudiée

Nombres et calculs Calcul numérique Niveau 4e Puissances d’exposants entiers Comprendre les notations et Utiliser ces notations en s’appuyant sur leur signification et non par l’application de formules 4²  43 = (4  4)  (4  4  4) = 4  4  4  4  4 = 45 (5a)² = (5a)  (5a) = (5a)  (5a) = 5  5  a  a = 5²  a² = 25a²

Nombres et calculs Calcul numérique Niveau 4e Puissances de 10 Utiliser sur des exemples numériques les égalités : notation scientifique, ordre de grandeur

Nombres et calculs Calcul numérique Niveau 4e Racine carrée Racine carrée à utiliser dans un problème ; elle disparaît de ce chapitre et apparaît en géométrie

Nombres et calculs Calcul littéral Niveau 4e Calcul numérique de la valeur d’une expression littérale Intérêt de tester des valeurs dans une égalité.

Utilisation du calcul littéral sur trois axes : Nombres et calculs Calcul littéral Niveau 4e Utilisation du calcul littéral sur trois axes : - calculs numériques - mise en équation et résolution de problèmes - preuve d ’un résultat général Exemples : La somme de deux multiples de 13 est un multiple de 13 La somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3

Factorisation avec un facteur commun Nombres et calculs Calcul littéral Niveau 4e Développement, factorisation Reconnaissance de la structure (somme, produit) Identification des termes, des facteurs Développement Développement d’une expression du type (a+b)(c+d) Formes réduites visées Factorisation Factorisation avec un facteur commun a ou ax ou x²

Nombres et calculs Calcul littéral Niveau 4e Ordre et opérations Connaître et utiliser : l’équivalence entre l’équivalence entre l’équivalence entre

Nombres et calculs Calcul littéral Niveau 4e Ordre et opérations effet de l’addition sur l’ordre Mise en évidence de l’effet de la multiplication sur l’ordre par des tests de substitution, ou démonstration à partir des signes de a – b et ac - bc, c étant positif ou négatif. Ecriture d’encadrements à la troncature ou à l’arrondi à un rang donné

Nombres et calculs Calcul littéral Niveau 4e Problèmes conduisant à une équation du 1er degré à une inconnue. les équations du type ax + b = cx + d permettent de mettre en évidence les limites des méthodes arithmétiques

Nombres et calculs Calcul littéral Niveau 4e Problèmes conduisant à une équation du 1er degré à une inconnue Exemple : Alice et Bertrand disposent chacun d’une calculatrice. Ils rentrent le même nombre sur leur calculatrice. Alice multiplie le nombre affiché par 3, puis ajoute 4 au résultat obtenu. Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 2, puis ajoute 7 au résultat obtenu. Quand ils ont terminé, ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le même résultat. Quel nombre ont-ils affiché au départ ?