Statistiques de balayage : analyse des « clusters » d’évènements Journée SMAI IMdR : 6 février 2009 Aéronautique

Méthodes de simulation Clusters et statistiques de balayage : introduction sur un exemple simple Méthodes de simulation Monte-Carlo Petri net Méthodes markoviennes Chaîne de Markov simplifiée, simple fenêtre de balayage Chaîne de Markov simplifiée, double fenêtre de balayage Chaîne de Markov complète Résultats et Comparaison des méthodes Conclusion Aéronautique

Une telle série semble très improbable mais… 2 août Le vol 358 d’Air France sort de piste en atterrissant à Toronto 6 août Le vol 1153 de Tuninter s’abîme en mer près de Palerme Fréquence moyenne des accidents aériens : 0,88 par période de 22 jours. 14 août Le vol 522 d’Hélios s’écrase sur un massif près d’Athènes 23 août Le vol 204 de la Tans s’écrase à l’approche en Amazonie 16 août Le vol 1153 de la West Caribbean se crashe au Venezuela Une telle série semble très improbable mais… Les statistiques de balayage permettent d’évaluer ou d’approcher la probabilité d’occurrence d’un tel “cluster” d’évènements. Aéronautique

Objectif : évaluer la probabilité d’observer un cluster de k évènements ou plus dans une fenêtre temporelle de longueur w balayant une période de taille donnée T. Toute fenêtre de taille w peut contenir un cluster Les fenêtres se chevauchent Difficultés Aéronautique

Simulation de Monte Carlo Exemple: Solutions Simulation de Monte Carlo directe (implémentée dans un algorithme dédié) supportée par un réseau de Pétri Chaînes de Markov Deux modèles de probabilité : Loi de Bernoulli Loi de Poisson

Simulation de Monte-Carlo directe Les dates d’accidents sont générées aléatoirement selon la loi considérée et de manière à recouvrir la période d’observation [0,T[ La liste des dates est scannée jusqu’à observation d’un cluster Une variable Nb_Cluster est incrémentée d’une unité La quantité recherchée est donnée par où N est le nombre de répétitions de la simulation. Aéronautique

Réseau de Petri animant une simulation de Monte-Carlo Processus de comptage simple (simple counting medium) 2 places et 2 transitions Initialement la place 1 est marquée d’une pièce Nb_Cluster est égal à zéro Les variables εi (i =1 à k) indiquent les dates de k accidents successifs L’index I permet de calculer en continu le temps écoulé entre les évènements i et (i+k-1) Nb_Cluster passe à 1 dès que k accidents se produisent dans une fenêtre de longueur w Aéronautique

Balayage de la période d’observation MODELES MARKOVIENS Balayage de la période d’observation Notation Xi N(u,w) T 1 2 3 i-1 i u u+w Xi… variable aléatoire donnant le nombre d’évènements sur [i-1,i[ N(u,w)… variable aléatoire comptant le number d’évènements sur la fenêtre [u,u+w[ p la probabilité qu’un évènement se produise sur un sous-intervalle de longueur 1 Bernoulli model i.e. Aéronautique

PREMIER MODELE MARKOVIEN De la fenêtre N(u,w) à la fenêtre N(u+1,w) Gain de la variable aléatoire Xu+w+1 “Perte” de la variable aléatoire Xu+1 indépendants dépendants Aéronautique

PREMIER MODELE MARKOVIEN Etats E0, E1, E2 : respectivement 0, 1 ou 2 évènements dans la fenêtre courante E3 : 3 évènements ou plus dans la fenêtre courante Chaîne de Markov Probabilité d’un cluster de 3 évènements ou plus dans une fenêtre de taille w=10 Aéronautique

Vecteur des probabilités initiales PREMIER MODELE MARKOVIEN Matrice de transition Vecteur des probabilités initiales Nombre d’itérations Aéronautique

PREMIER MODELE MARKOVIEN La probabilité d’observer un cluster de k=3 évènements ou plus dans une fenêtre de taille w=10 balayant la période de longueur T=365 est donnée par le produit MNX avec N=356

DEUXIEME MODELE MARKOVIEN Problème : le modèle autorise des “chemins” qui ne sont pas réalisables en pratique E0 E1 E0 E1

DEUXIEME MODELE MARKOVIEN Partage de la fenêtre de balayage en deux sous-fenêtres E0 E’1 E1

soit un couple (i,j) si i+j<k soit l’état absorbant si i+j=k DEUXIEME MODELE MARKOVIEN Un état est: soit un couple (i,j) si i+j<k soit l’état absorbant si i+j=k La matrice de transition est une matrice de taille D×D avec D=k(k-1)+1 Les probabiltés de transition et le vecteur des probabilités initiales sont calculés d’une manière analogue à précédemment

TROISIEME MODELE MARKOVIEN Modèle “complet” … Xi T 1 2 3 i-1 i u u+w Un état est: soit un w-uplet (X1, X2,…, Xw) si X1 + X2 +…+ Xw <k soit l’état absorbant A si X1 + X2 +…+ Xw =k L’espace d’états est et sa dimension Notation: état (i1,i2,…,im) pour i1=i2=…=im=1 et il=0 sinon

TROISIEME MODELE MARKOVIEN Matrice de transition Transition de l’état (i,j) vers l’état (i-1,j-1) avec la probabilité q: i j i-1 j-1 i j Transition de l’état (i,j) vers l’état absorbant avec la probabilité p: i-1 j-1

Vecteur des probabilités initiales TROISIEME MODELE MARKOVIEN Vecteur des probabilités initiales with and La probabilité d’observer un cluster de k=3 évènements ou plus dans une fenêtre de taille w=10 balayant la période de longueur T=365 est donnée par le produit MNX avec N=356

Premier modèle markovien Double fenêtre de balayage Résultats Discrétisation Jour Heure Méthodes Bernoulli Poisson Monte Carlo direct 0.1250 0.1329 0.1310 RdP, Monte Carlo 0.1225 0.1317 0.1251 Premier modèle markovien 0.0991 0.1176 0.1274 0.1280 Double fenêtre de balayage 0.1014 NaN 0.1296 Modèle markovien complet 0.1028 0.1217

Conclusions Les résultats obtenus dans le cadre du modèle de Bernoulli convergent vers ceux obtenus dans le cadre du modèle de Poisson lorsque le pas de discrétisation tend vers 0. A notre connaissance, il n’existe pas de méthode exacte pour résoudre en un temps « très court » le problème de l’estimation de la probabilité d’occurrence d’un cluster d’évènements… … Les méthodes proposées permettent d’évaluer ou d’approcher cette probabilité en un temps très acceptable. Les méthodes proposées sont très différentes, faisant appel à la simulation, à des approches combinatoires, ou aux chaînes de Markov. Cependant, nous observons qu’elles donnent des résultats quasi identiques lorsque la discrétisation est suffisamment fine.