TRIANGLE & PARALLELES Bernard Izard 4° Avon 2010 08-TH Chapitre 08-TH TRIANGLE & PARALLELES I - DROITES DES MILIEUX II- LE PETIT THALES III – APPLICATIONS / EXEMPLE Bernard Izard 4° Avon 2010

TRIANGLE & PARALLELES I-DROITE DES MILIEUX 1) Expérience et conjecture Construire 5 triangles ABC différents dont un rectangle, un isocèle, un équilatéral, un avec un angle obtus et un quelconque. Placer les point I milieu de [AB] et J milieu de [AC) Tracer les droites (IJ). Que remarque-t-on ? Donner une conjecture.

Sur chaque figure la droite (IJ)semble parallèle à (BC)

2) Théorème de la droite des milieux Dans un triangle la droite qui joint les milieux des 2 côtés d’un triangle est parallèle au 3° côté. Hypothèses: ABC triangle I milieu de [AB] J milieu de [AC] Conclusion: (IJ) // (BC) A B C I J x //

Démonstration: Cahier d’élève (IJ) //(BC)

3) Propriété du Segment De plus la démonstration ci-dessus montre que IJ = BC/2 donc on peut affirmer : Le segment qui joint les milieux des 2 côtés d’un triangle mesure la moitié du 3° côté. A B C I J x //

EX: IJKL est un rectangle de centre O tel que IJ=KL=10cm et JK=LI=6cm. A est el milieu de [IL]. Calculer OA I J K L 10 cm O A x 6 cm O milieu de [LJ] car dans un rectangle les diagonales……… A milieu de [IJ] par énoncé. Le segment [AO] joint les milieux des 2 côtés d’un triangle….. Donc AO = IJ/2 = 10/2 = 5 cm

4) Théorème réciproque Dans un triangle la droite parallèle à un coté passant par le milieu du 2° côté coupe le 3° en son milieu Hypothèses: ABC triangle I milieu de [AB] (d) //(BC] (d) coupe [AC] en J Conclusion: J milieu de [AC] A B C I J x (d) x Démonstration: admise

Ex: DEF triangle équilatéral de côté 6 cm. M est le milieu de [EF]. On trace la parallèle à (DE) passant par M. Elle coupe [DF] en en N. Démontrer que N est le milieu de [DF). Calculer MN D F E N 6 cm x M M milieu de [FE] et (MN)//(DE) donc d’après la réciproque de la droite des milieux…………….. N milieu de [FD] Donc [MN] joint les milieux……… et…….. MN=6/2 = 3 cm

II-LE PETIT THEOREME DE THALES

C’est un tableau de proportionnalité. Construire un triangle ABC tel que AB=9cm; AC=11cm et BC=8cm. M est un point de [AB] tel que AM=5cm. (d) est une droite parallèle à (BC) passant par M. Elle coupe (AC) en N Mesure et calculer Triangle AMN AM  5 Triangle ABC AB  9 AC  11 BC  8 Calculs AM/AB  AN/AC  MN/BC AN  6,1 MN  4,4 0,56 C’est un tableau de proportionnalité. Conjecture: Il y a proportionnalité entre le petit triangle AMN et le grand ABC

Énoncé du théorème ABC un triangle. M un point de [AB] N un point de [AC] Si (MN) est parallèle à (BC) alors: A M B N C

III-APPLICATIONS / EXEMPLES

Ex1: R est un point du côté [OM] d’un triangle MON Ex1: R est un point du côté [OM] d’un triangle MON. OR = 2cm ; OM = 7cm ; ON = 10,5cm; MN =12 cm. La parallèle à (MN) passant par R coupe [ON] en S. Calculer OS.

Ex2: Soit un triangle EGF avec H  [EF] et K  [EG] Ex2: Soit un triangle EGF avec H  [EF] et K  [EG]. EH = 3cm ; EF = 5cm ; KH = 4,5cm. Sachant que (KH) est parallèle à (GF), calculer GF.

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