Avant de commencer…

Les constats de l’IGEN en 2006 En termes de notions : La compréhension de la notion de problème L’insuffisance de pratique du calcul En termes de pratiques pédagogiques: Les connaissances des élèves ne sont pas suffisamment prises en compte L’erreur est permise mais pas exploitée La synthèse finale et le résumé sont trop souvent négligés

Des résultats en calcul trop faibles (évaluations 6ème 2007) Calcul mental: 6X8 69,8% ; 60:4 41% Dans 56 combien de fois 8? 55,3% Calcul posé: 876X34 45,2% 27,5X23 28,5% 81:6 48,2% 408:12 52,1% Proportionnalité: (règle de trois) 6 objets identiques coûtent 150 €. Combien coûtent 9 de ces objets ? 34,9% 10 objets coûtent 22 €. Combien coûtent 15 de ces objets ? 30,7%

I La construction du nombre Nombre et calcul I La construction du nombre

I-1 Un peu d’histoire… Il y a 30 000 ans, les premières traces  du « autant » Il y a 6 000 ans, les premières traces du « combien? » Il y a 5 000 ans les premières traces écrites du « combien? » Il y a 4 000 ans: la numération égyptienne (base dix mais pas de position) En Mésopotamie, numération de position en base soixante 300 ans avant JC, les Babyloniens ont une numération de position avec le concept du « 0 » en tant que chiffre 5ème siècle après JC, en Inde apparition de dix chiffres 628 après JC, concept du « 0 » en tant que nombre

… pour retenir que: « Autant » précède « combien? » Le passage par l’écrit est un passage décisif pour le développement de « combien? » Il y a des numérations « poussives », et des numérations « performantes » qui favorisent le calcul Le symbolisme est une autre étape décisive Le « 0 » en tant que nombre est apparu bien après le « 0 » en tant que chiffre

I-2 Et les sciences cognitives ? Il y a deux zones différentes dans le cerveau humain, l’une pour le calcul exact et l’autre pour le calcul approché: - Chez les bébés, discrimination des petits nombres, reconnaissance des grands nombres. Chez l’adulte, calcul exact de 48 + 53, 16 + 22 est il plus proche de 40 ou de 50? (sens des nombres) La finesse de ce sens des nombres est prédictive de la réussite en mathématiques. Il est possible de travailler cet aspect (ex: dyscalculie) et le langage n’est pas indispensable pour construire le sens des nombres. (S Dehaene) A 6 mois les bébés distinguent 8 de 16, mais pas 8 de 12. A la naissance ils perçoivent instinctivement les quantités

I-3 Un peu de didactique… Aspects cardinal et ordinal Groupement; échange; algorithme Dénombrement: adéquation unique; ordre stable; cardinal repéré; abstraction (objets disparates); ordre de comptage quelconque. Recomptage, décomptage; surcomptage Désignation orale

I-4 Des questions… Ecrire ce qu’on entend ? Ecrire ce qu’on voit ? Soixante-trois 57 Et les doigts ? Les manipulations et le chemin vers l’abstraction? Se questionner, se représenter, anticiper, expérimenter, valider, conclure

Propositions pour la maternelle 3 TROIS La connaissance des premiers nombres Un premier répertoire de calcul (somme égale à 5, différence dont le plus grand terme est 5) Les problèmes sur les quantités Ce qu’il est nécessaire d’avoir travaillé en maternelle pour tirer pleinement profit du CP 10

Analyse d’exercices GS Le chapeau qui cache état initial état de recherche Aller chercher le nombre de jetons cachés

Analyse d’exercices GS Numération Problème Autant et combien? Cardinal

II Connaissance des nombres Entiers naturels: lire et écrire; position des chiffres; comparaison; placement sur une droite graduée; relations arithmétiques. Nombres visualisables (reconnaissance globale du dé); nombres familiers (jusqu’à 20); nombres fréquentés (30, 40, etc.); grands nombres (domaine de la numération écrite) Au fur et à mesure des apprentissages les nombres apparaissent sous de nouveaux costumes.

Résolution de problèmes sans technique opératoire Connaissance des nombres, décomposition, représentation Compétences de résolution de problème Mais une explicitation des apprentissages visés est indispensable car l’activité elle-même n’est qu’un moyen, pas une fin en soi Parler de la progressivité des apprentissages à l’EM en 3 étapes « Ce ne sont pas des opérations -au sens mathématiques du terme- que manipulent mentalement les sujets. Il s'agit plus vraisemblablement d'actions intériorisées simulées en pensée et suivant l'ordre strict de la formulation. » M. Fayol 14

Analyse d’exercices CP Groupements, autre exemple, erreur Echange Suite numérique Ordinal ou cardinal ? Décomposition additive

III Le calcul Le calcul posé (contact direct avec les chiffres, entretient des automatismes, résultat exact) Le calcul mental et réfléchi (mémoire, connaissance des nombres et des relations qu’ils entretiennent, propriété des opérations, évaluation et contrôle des résultats, automatismes) Calcul instrumenté (allègement temporaire de la charge cognitive, exploration vaste et rapide, contrôle de résultat)

IV Quatre points clés des programmes Les problèmes : il faut apprendre à les résoudre. Catégories, classes, structures… Le calcul : réhabiliter les diverses formes de calcul : mental, posé, instrumenté. Il y a une intelligence dans le calcul La mémoire : outil indispensable pour « faire des mathématiques » ; mémoire des faits mathématiques, mémoire des méthodes. La notion de « vie courante »

V La résolution de problèmes… Les problèmes peuvent être envisagés selon trois points de vue : - situations-problèmes utilisées pour l'approche et la construction de nouveaux outils mathématiques, - situations-problèmes permettant aux enfants de réinvestir des acquis antérieurs, d'en percevoir les limites d'utilisation (situation contre-exemple) et au maître d'en contrôler le degré de maîtrise, - situations-problèmes plus complexes, plus globales dans lesquelles l'enfant devrait pouvoir mettre en œuvre son pouvoir créatif et affiner la rigueur et la sûreté de son raisonnement.

…Pour faire des maths… « Faire des mathématiques, c'est selon moi "pour apprendre comment résoudre des problèmes" (par avance, donc on étudie des classes de problèmes afin de savoir) et non pas "pour que les problèmes soient résolus" (un à un, donc on étudie les problèmes qui se présentent et on les résout comme on peut). (…). On comprend alors que le slogan de la "résolution de problèmes" permet de nier l'importance des conditions didactiques et de proposer, sous le prétexte qu'il a plus de sens, un enseignement qui ne s'adresse plus qu'aux rares élèves capables de tirer profit par eux-mêmes de leurs rencontres aléatoires » Alain MERCIER http://educmath.inrp.fr/Educmath/en-debat/le-repertoire-des-questions/ruthven/reponse-d-alain-mercier-inrp-france

… et apprendre COMMENT on résout un problème La question qu'il faut poser à propos d'un problème pour l'enseignement est donc double : 1) Quels sont les problèmes voisins de ce problème ? Quel est son genre ? 2) Qu'est-ce que sa résolution permet d'apprendre ? Quel est son avenir ? Alain Mercier, PNP, 13 nov 2007

Analyse de problèmes En partant à l’école, j’ai 3 billes dans ma poche. A la première récréation j’en gagne 2. A la seconde récréation j’en gagne 5. Combien ai-je de billes en rentrant chez moi? En partant à l’école, j’ai des billes dans ma poche. A la première récréation j ’en perds 2. A la seconde récréation j’en perds 5. En rentrant chez moi, je compte 3 billes dans ma poche. Combien j’avais de billes en partant de chez moi ce matin?

• Pb1 : Paul avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Jean • Pb1 : Paul avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Jean. Combien de billes a maintenant Paul ? • Pb2 : Paul avait 3 billes. Puis Jean lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Paul ? • Pb3 : Paul avait 3 billes. Jean lui en a donné. Paul a maintenant 8 billes. Combien de billes Jean a-t-il donné à Paul ? • Pb4 : Paul et Jean ont ensemble 8 billes. Paul a 3 billes. Combien Jean a-t-il de billes ? GS CP CE1 CE2 Pb 1 100 % 100 % 100 % 100 % Pb 2 87 % 100 % 100 % 100 % Pb 3 61 % 56 % 100 % 100 % Pb 4 22 % 39 % 70 % 100 % Introduire de la complexité avec les problèmes de comparaison 22

Pour conclure Les difficultés persistantes Tableau synthétique