La partie analyse en entrant par la résolution de problèmes Atelier A1 La partie analyse en entrant par la résolution de problèmes Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Déroulement de l’atelier Présentation Étude de deux exemples Autres exemples, échanges et synthèse Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Dans l’ancien programme (partie Calcul et fonctions) la résolution de problèmes n’est mentionnée que dans les commentaires et apparaît davantage qu’un cadre de travail qu’un objectif de formation d'autres fonctions telles que (…) pourront être découvertes à l'occasion de problèmes   pour un même problème, on combinera les apports des modes de résolution graphique et algébrique   on ne s'interdira pas de donner un ou deux exemples de problèmes conduisant à une équation qu'on ne sait pas résoudre  ). Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Dans le programme 2009, partie Fonctions, dans la colonne  Capacités attendues : Associer à un problème une expression algébrique Identifier la forme la plus adéquate d'une expression en vue de la résolution du problème donné Mettre un problème en équation Modéliser un problème par une inéquation Résoudre algébriquement les inéquations nécessaires à la résolution d'un problème Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

La résolution de problèmes au cœur du programme Donner du sens aux notions étudiées Donner aux élèves l’occasion de mobiliser leurs acquis pour construire de nouvelles connaissances Mettre tous les élèves en activité Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

La place des exercices techniques L’acquisition de techniques est indispensable mais doit être au service de la pratique du raisonnement Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Mais… Appliquer une technique non comprise n’est pas une activité mathématique. La répétition d’exercices non compris est illusoire et néfaste. Une recette n’est pas le moyen de comprendre plus vite mais le moyen d’aller plus vite lorsque l’on a compris. Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Des questions Comment mettre en œuvre ces principes ? Quelle incidence sur les pratiques en classe ? Quelle progression, quels apprentissages ? Quels outils ? Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

De nouvelles pratiques Progression spiralée, décloisonnement entre les chapitres Prise en compte de la diversité et de l’hétérogénéité des aptitudes des élèves Favoriser la mise en place de stratégies personnelles Diapo à passer plus tard peut-être Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

De nouvelles pratiques Gestion de l’écrit, partage du temps dans l’activité de la classe Utilisation des logiciels de calcul formel Liens avec l’algorithmique Évaluation par compétences idem Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Premier exemple : Peut-on déterminer deux nombres x et y tels que : x² + y² = (x+y)² ? Même question avec x3 + y3 = (x+y)3 formulations Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Quelles sont les connaissances requises pour résoudre cet exercice? A quel moment de l'année peut-il être proposé ? Quels objectifs peut-on poursuivre en donnant cet exercice ? A quels points du programme peut-il être relié? Autres questions possible de l’assistance On écrit les propositions Outils informatiques Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Ecrits d’élèves Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Utilisation d’outils Logiciel de calcul formel Tableur Geoplanw Algorithmique Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Exemple 2 ABC est un triangle isocèle de sommet A tel que AB=AC=6 cm. Parmi les différents triangles que l'on peut construire en existe-t-il un d'aire maximale ? Est-il possible que l'aire du triangle soit égale à 10 cm² ? à 50 cm² ? Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Quelles sont les connaissances requises pour résoudre cet exercice? A quel moment de l'année peut-il être proposé ? Quels objectifs peut-on poursuivre en donnant cet exercice ? A quels points du programme peut-il être relié? Peut-il donner lieu à expérimentation ? Avec quels outils ? 5 minutes de reflexion Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Exercice 3 : les cars de supporters Une entreprise de transport possède 4 cars de 50 places chacun et se propose d'assurer le transport des supporters d’une équipe de rugby. Chaque car se loue 800 € tout compris. 1) Représenter graphiquement le prix par supporter en fonction du nombre de supporters se rendant au stade. 2) Combien l'organisateur peut-il accepter de supporters, s'il s'est engagé à ce que le prix d'une place ne dépasse pas 20€ ? Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Résolutions observées utilisant l’algorithmique: 4 blocs « si…alors » Des « si..alors..sinon emboités » Utilisation de la division euclidienne du nombre de supporters par 50 Une astuce: Utilisation de la division euclidienne du nombre de supporters ôté de 1 par 50 Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Graphique sous algobox Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Quelques objectifs Exercice à support concret Travail sur l’ensemble de définition Travail sur la construction d’une courbe représentative Logique et raisonnements Courbe non triviale ayant quatre parties distinctes (espace d’arrivé) Apport de l’algorithmique Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Dernière Question Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009

Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 Exercice 4 ABC est un triangle isocèle de sommet A tel que AB=6 et BC=8. M est un point du segment [BC], P et Q sont les projetés orthogonaux de M sur (AB) et (AC) respectivement. Étudier comment varie la somme PM+MQ quand M se déplace sur [BC]. Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009