FORMES ET GRANDEURS Mars 2011 Catherine WAECKEL-DUNOYER CP Pôle Maternelle 37 Mars 2011 Avec l’aide, les conseils et les exemples… de Michel VINAIS responsable de la filière ASH de l’IUFM Tours-Fondettes

PLAN DE L’EXPOSE Les instructions officielles Les formes Les grandeurs Un exemple d’activité : le portrait avec les blocs logiques Des propositions de programmations

Découvrir les formes et les grandeurs IO 2008 « En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d’abord des propriétés simples (1) (petit/grand ; lourd/léger). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer (2) selon la forme, la taille, la masse, la contenance. »

Découvrir le monde : introduction IO 2008 « L’enfant (…) observe, il pose des questions et progresse dans la formulation de ses interrogations vers plus de rationalité. Sa confrontation avec la pensée logique lui donne le goût du raisonnement. Il devient capable de compter, de classer, d’ordonner (2) et de décrire, grâce au langage (1) et à des formes variées de représentation (3) (dessins, schémas). »

IO 2008 « À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de : reconnaître, nommer, décrire (1), comparer, ranger et classer (2) des matières, des objets selon leurs qualités et leurs usages ; dessiner (3) un rond, un carré, un triangle comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire (1) du repérage et des relations (2) dans le temps et dans l’espace. »

SYNTHESE IO 2008 : la logique est transversale. Attention, s’il est nécessaire d’habiller la logique avec du sens, il est indispensable aussi de la décontextualiser, d’en faire pour elle-même afin de rendre ses procédures accessibles. Logique  relations « L’intelligence est construction de liens » J. Piaget « Penser, c’est faire des liens » R. Feuerstein Relations langagières, numériques, logiques (presque un pléonasme !), spatiales, géométriques…

SYNTHESE suite LES ACTIVITES A TRAITER (1) Décrire, nommer. Définir les concepts et les propriétés simples. Verbaliser, les formes géométriques (formes) ou les relations (grandeurs). (2) Représenter, coder, dessiner. Activités graphiques et activités de codage, décodage. (3) Comparer, classer, ordonner. Classification, catégorisation, sériation et algorithmes. Logique.

FORMES ET GRANDEURS Question 1 : Cet élément est-il rond ? Cet élément est-il grand ? « Rond » est une propriété. « Grand » est une relation.

Travailler sur les différents espaces FORMES (Propriétés) Travailler sur les différents espaces Représenter, dessiner. (graphisme) TRANSVERSAL Décrire, nommer, propriétés simples (conceptualisation, verbalisation) GRANDEURS (Relations) Comparer, classer, ordonner (logique) Travailler sur les relations et les algorithmes. TRANSVERSAL Représenter, coder et verbaliser. Je vous propose donc cette répartition des différentes compétences à faire acquérir ou procédures à mettre en œuvre sur les deux domaines formes et grandeurs, sachant que toutes sont partout : verbaliser, conceptualiser, représenter, classer… Néanmoins, certaines sont simplement mieux adaptées à certains apprentissages que d’autres.

Les espaces Espace vécu : espace de l’action Espaces perçus : vue et toucher  exploration et manipulation Espace représenté : Principalement l’espace graphique, donc le plan de la feuille, A3 puis A4, vertical ou horizontal. Il doit faire une projection en 2 dimensions. Espace conçu : espace mental que l’enfant construit très progressivement grâce à des connaissances pratiques et verbales. ESPACE TOPOLOGIQUE « C’est le premier qu’on pénètre et c’est celui qu’on n’a jamais fini de construire. » M. Vinais ESPACE GRAPHIQUE : plan vertical et horizontal, on garde les 2 mais on ne fait pas de hiérarchie. ESPACES GEOMETRIQUES « Le sujet va devoir géométriser l’espace sensible. » Y. Chevallard

ESPACES GEOMETRIQUES La géométrie part du monde sensible pour le structurer en monde géométrique. C’est l ’espace des volumes, des surfaces, des lignes et des points. On met des mots au fur et à mesure sur les concepts de base de la topologie et de la géométrie. Mais l’espace géométrique n’est pas seulement issu de l’espace vécu : dans l’espace moteur il n’y a pas de propriétés. Ex : le carré n’est pas la projection d’un acte de déplacement : le déplacement est linéaire et séquentiel alors que le carré s’appuie sur l’image mentale inscrite dans la mémoire du sujet. Ces images mentales de formes géométriques sont donc à construire chez les enfants. La géométrie doit être enseignée pour exister et elle doit être parlée pour être comprise.

La géométrie doit être enseignée pour exister : démonstration Euclide : par un point extérieur à une droite passe une seule droite perpendiculaire à cette droite. Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite.

P d R Q L’espace sphérique dément les théorèmes du plan.

Topologie : concepts de base La topologie est un apprentissage primordial de la maternelle. Sur, sous, dedans, dehors, devant, derrière, près, loin, vide, plein, gauche, droite… Cf : document « Les concepts de base » sur le site Deux concepts plus tardifs : entre, milieu

Les concepts géométriques L’objectif « géométrique » de la maternelle est de permettre à l’enfant de gérer l’espace graphique seul. Niveau 1 : Topologie : concept de continuité, voisinage, intérieur, extérieur. Niveau 2 : apparition de l’alignement : la ligne droite Niveau 3 : concept de parallélisme, symétrie axiale, projection Niveau 4 : concept d’angles conservés, d’orthogonalité, perpendicularité, intersection Niveau 5 : concept d’invariance des longueurs, d’équidistance, milieu de segment

Concepts géométriques en acte (Cf G. Vergnaud) Paul. 4,5 ans Emma. 5 ans Kévin 4 ans

Se repérer dans l’espace IO 2008 Domaines à croiser Tout au long de l’école maternelle, les enfants apprennent à se déplacer dans l’espace de l’école et dans son environnement immédiat. Ils parviennent à se situer par rapport à des objets ou à d’autres personnes, à situer des objets ou des personnes les uns par rapport aux autres ou par rapport à d’autres repères, ce qui suppose une décentration pour adopter un autre point de vue que le sien propre. En fin d’école maternelle, ils distinguent leur gauche et leur droite. Les enfants effectuent des itinéraires en fonction de consignes variées et en rendent compte (récits, représentations graphiques). Les activités dans lesquelles il faut passer du plan horizontal au plan vertical ou inversement, et conserver les positions relatives des objets ou des éléments représentés, font l’objet d’une attention particulière. Elles préparent à l’orientation dans l’espace graphique. Le repérage dans l’espace d’une page ou d’une feuille de papier, sur une ligne orientée se fait en lien avec la lecture et l’écriture. Domaines à croiser Espace vécu et perçu Maîtrise du vocabulaire et passage par le langage : images mentales et espace conçu Changement d’espace géométrique On doit bien comprendre que le repérage dans l’espace fait complètement partie de l’apprentissage des formes et de la géométrie. L’espace vécu est un préalable et un parallèle incontournable à l’apprentissage de l’espace géométrique, même s’il ne suffit pas. Espace représenté

Le graphisme IO 2008 « Les enfants observent et reproduisent quotidiennement des motifs graphiques. » « L’entrée dans l’écriture s’appuie sur les compétences développées par les activités graphiques mais requiert aussi des compétences particulières de perception des caractéristiques des lettres. » C’est la même démarche pour : « Dessiner un rond, un carré, un triangle. »

Le graphisme Marie-thérèse Zerbato-Poudou Les dominantes par section PS : le geste amples « dans différentes directions » MS : étude des formes à réaliser « les tracés de base » Les lettres sont des figures géométriques plus ou moins complexes. 1 Apprentissage : isoler pour discriminer 2 L’entraînement : quantitatif. GS : le perfectionnement, la maîtrise, la précision « l’entraînement graphique ». Conférence du 9 mars à Tours. Les lettres sont des formes géométriques +/- complexes : les ponts sont des cycloïdes, il y a les cycloïdes allongées : les boucles. Des cycloïdes raccourcies = des sinusoïdes = les vagues.

4 composantes de l’activité graphique 1 Le rôle du modèle : il faut intégrer analyser, réfléchir, décrire, nommer…pour dominer le geste et le refaire.  « imiter » ne vaut pas dire « modèle figé ». Oui à l’imitation cinétique (le geste). 2 Activité, l’analyse perceptive : observer discriminer, comparer, catégoriser avec des formes, des lettres, des morceaux de lettres, verbaliser. Une technique efficace : la dictée à l’adulte : les élèves guident la maîtresse Ils construisent ensemble la définition parfaite du geste. Organisation des données perceptives possible grâce à une décentration et une prise de conscience que le geste n’est pas pareil que la trace. 3 L’action motrice Ne pas verrouiller le geste moteur dans le sens de l’écriture, mais d’abord libérer et exercer le geste dans tous les sens. 4 Le rapport au savoir Statut accordé par l’adulte : dessin, tracé géométrique précis…  1 Ø      « LE MODELE n’est pas perçu comme objet de référence régulateur de l’action jusqu’à 5 ans. » G. Sounalet (1976) C’est perçu comme un « top départ » souvent. Donc le rôle du modèle est à clarifier et à verbaliser pour les enfants. Dictée à la maîtresse : elle fait ce qu’ils disent mais jamais ce qu’ils attendent : elle utilise les différentes directions, le nombre, les longueurs et s’engouffre dans toutes les brèches que l’inexactitude de leur consigne permet.

ATTENTION  Passer par le corps n’a aucun lien direct avec le graphisme : on ne fait pas de rondes pour tracer un cercle ! (Mme Zerbato-Poudou) L’espace vécu n’est pas l’espace géométrique représenté. (M. Vinais) Donc la salle de motricité n’est pas une solution miracle, ni un préalable : c’est une autre entrée avec laquelle il faudra construire, verbalement, visuellement… et patiemment, les liens. (cf diapo sur les espaces) L’enfant qui fait la ronde suit une ligne courbe de son point de vue, le rond est une vue d’en haut, une projection géométrique, elle, se photographie, se verbalise, se construit. Au même titre que le plan de la classe ! Michel Vinais avait dit que l’enfant qui se déplace suivant un carré dans la salle de motricité réalise des segments de droite, le carré est une image mentale de l’adulte.

FORMES (Propriété) Travailler sur les différents espaces Représenter, dessiner. (graphisme) TRANSVERSAL Décrire, nommer, propriétés simples (conceptualisation, verbalisation) GRANDEURS (Relations) Comparer, classer, ordonner (logique) Travailler sur les relations et les algorithmes. TRANSVERSAL Représenter, coder et verbaliser.

Les mises en relations Capacités intellectuelles à mettre en œuvre : esprit observation (attention mémoire) esprit d’analyse identification lien logique : analogique (comparaison), opératoire ou inférentiel (= déductions et inductions) contrôle exécutif (anticiper surveiller s’interroger, vérifier…) L’école demande souvent l’utilisation de la pensée opératoire car elle fonctionne avec des règles, des lois.

10 de trèfle / Identification des liens logiques : lien analogique = couleur cohérente lien opératoire = addition des autres cartes

Les différentes relations Binaire : Le crayon est sur la table / Pierre est à côté de Paul. / Les lapins sont des mammifères. / 7 > 3 Ternaire : Prends le crayon qui est dans le tiroir sous la table / Pierre est entre Jean et Paul. / 7 + 2 = 9 Quaternaire : les droites D1 et D2 sont respectivement perpendiculaires aux droites D3 et D4. / Londres est à l’Angleterre ce que Paris est à la France. /7 + 2 = 5 + 4

Propriétés des relations Il y a toujours un lien entre le logico-mathématique et le numérique (mais on ne sait pas toujours lequel) Relations d’équivalence (=) : habite la même ville que / est de la même couleur que Relations d’ordre (< et >) : est plus grand que / est arrivé avant   Relations symétriques : est à côté de / est de la même couleur que Relations antisymétriques : être la capitale de / être le frère de Relations transitives : habite la même ville que / être arrivé avant

Classification ou catégorisation (lexique) Les classes logiques de Piaget et Inhelder. L’organisation des conduites de classification tendent vers les structures logico-mathématiques. Les opérations de classification sont à chercher, dans les actions de réunion et de dissociation appliquées par l’enfant aux objets. Une catégorie peut être définie en extension (ensemble des éléments d’une catégorie) et en compréhension (ensemble des propriétés communes qui la définissent). La genèse des structures logiques élémentaires (Piaget et Inhelder, 1959) traite des classifications (ou catégorisations) et tente de comprendre pourquoi les formes successives que prend l’organisation des conduites de classification tendent vers les structures logico-mathématiques. Selon les auteurs, les racines des opérations de classification sont à chercher, non dans les concepts manipulés par le langage seul mais dans les actions de réunion et de dissociation appliquées par l’enfant aux objets. Une catégorie peut être définie en extension (ensemble des éléments d’une catégorie) et en compréhension (ensemble des propriétés communes qui la définissent).

Structures logiques élémentaires de la classification Piaget : « Capacité du sujet à mettre ensemble ce qui se ressemble. » Collections figurales : l’enfant regroupe des éléments pour figurer quelque chose Collection non figurale : l’enfant fait des petits tas avec une logique qu’il n’est pas encore capable d’expliciter. L’adulte verbalise alors la logique qu’il comprend. Classes logiques : alignement d’objets suivant des critères qui vont varier : des camions, des rouges, des voitures… Attention : l’acharnement est souvent bloquant : il faut proposer des situations et observer.

Collections figurales : l’enfant regroupe des éléments pour figurer quelque chose

Collection non figurale : l’enfant fait des petits tas avec une logique qu’il n’est pas encore capable d’expliciter. L’adulte verbalise alors la logique qu’il comprend. Il approche ainsi les IO : « En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d’abord des propriétés simples (1) (petit/grand ; lourd/léger). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer (2) selon la forme, la taille, la masse, la contenance. »

Classes logiques : alignement d’objets suivant des critères qui vont varier : des camions (gros) , des rouges (critère couleur) , des voitures (petits) …

Quatre degrés de difficulté : Classes logiques Quatre degrés de difficulté : Appariement Tris : tri successif (d’abord tous les boutons à 3 trous puis ceux à 4 trous…) puis tri simultané (chaque bouton pris est rangé dans la bonne boîte) Intrus Classe Deux types de relation Classes schématiques : appartenance à un espace (la fourchette c’est la cuisine) ou à un script (le dentiste : c’est quelqu’un qui fait mal) Classes taxonomiques propriétés de l’objet ou les attributs du concepts

F1 F2 F3 F1 est carré et seul de son espèce F2 a un bord épais et est le seul dans ce cas F3 est bleu foncé et le seul dans ce cas F1 / F2 sont bleus ciels et seuls dans ce cas F2 / F3 sont circulaires et seuls dans ce cas F1 et F3 sont rayés et ils ont un bord fin. Ils sont seuls dans ce cas. F1 / F2 / F3 sont … différents

Travailler sur les quantificateurs : tous, quelque, chaque…sur des collections organisées

Travailler sur les quantificateurs : tous, quelque, chaque…sur des collections non organisées

La sériation Ce sont des relations d’ordre qui permettent d’avancer vers l’ordinalité. 3 procédures qui débouchent sur une non-construction de la série : le tournoi, la dichotomie et les couples. 3 procédures opératoires qui assurent la réussite : l’insertion, la permutation et l’extremum. Difficulté à noter : le respect d’une même base pour une bonne comparaison.

La sériation : procédures non opératoires Tournoi Dichotomie Tournoi : le sujet se contente de trouver l’élément le plus grand et s’arrête. Dichotomie : réalisation d’une simple partition : le sujet isole un grand et un plus petit et s’arrête. Les couples : le sujet réalise des couples juxtaposés dont les éléments vont dans le même sens. Couples

La sériation : procédures opératoires Insertion Permutation Insertion : 2 ou 3 éléments sont ordonnés d’emblée et le sujet insère les baguettes restantes à leur place. Permutation : un ordre est choisi et des permutations sont opérées sur l’ensemble disposé sur la table jusqu’à l’obtention de l’ordre correct. Extremum : chercher, dans l’ensemble non ordonné, l’un des extrême (le plus petit ou le plus grand) et réitérer la démarche. Extremum

Les algorithmes Répétitifs, puis récursifs : on fait évoluer la période sur un paramètre. Difficulté à lever : Construire l’algorithme devant l’enfant : cela lui évite d’analyser les fragmentations, d’isoler la période de base, de la mémoriser et de vérifier. Matériel idéal et peu onéreux : les allumettes. Positionnement selon 4 directions non ambiguës : horizontales et verticales

binaire quaternaire ternaire ternaire avec amorce Progression pédagogique ternaire avec amorce

À construire dans les deux sens

cyclique

Savoir isoler la période

cacher la période / décaler le cache sur un algorithme ternaire

Algorithmes récursifs : on fait évoluer la période sur un paramètre taille nombre C’est l’algorithme de la numération en chiffres

Algorithme en deux dimensions Le tableau à double entrée D’abord jeu de tri simple puis on enlève une carte et on joue aux devinettes.

Changer de sens Faire compléter en suivant la logique

Introduire le second critère Faire des jeux de devinettes

Synthèse des activités en classe Activités logiques / IO 2002 : - Activités de désignation et de codage. - Activités de classement, rangement. - Activités algorithmiques : Jeux à règles Activités / IO 2008: Nommer certaines caractéristiques d’un objet…le décrire Coder / Décoder Comparer des objets : pareil/pas pareil… Trier Classer Ranger Combiner Réaliser un algorithme Tableau à double entrées …/…

Gisèle JEGOU Le jeu du portrait Un exemple qui réunit des activités de désignation, de codage, de classification et qui s’appuie sur les couleurs, les formes, et les deux grandeurs : taille et épaisseur. La fiche de séquence est dans le Guide de pratiques actualisées.

Les programmations et progressions Programmation école de Bourgueil Ajout des activités logiques Organisation en formes et grandeurs Programmation école de Bièvre-Valloire de Mme Françoise POLLARD Progressions et listes d’activités par niveau : PS, MS, GS de Mme Pollard Liste d’activités du site de l’Isère

Les jeux CDDP Julot l’artiste (Atelier de l’oiseau magique) l’escargot est à constituer de différents motifs graphiques. Différents paliers. Cueillette des fruits (Atelier de l’oiseau magique) : couleurs, formes, nombres. PS (-) Trouver le Zouzou (Atelier de l’oiseau magique) : retrouver les extras-terrestres qui… Tris, langage.

Jeux CDDP Duologic (Nathan) : cartes avec des motifs, couleurs et formes géométriques différentes Mathominos (Sed) : dominos en carré avec différents critères : couleur, forme, taille, motif, puis différentes représentations du nombre et aussi des catégories lexicales. (-) Tangramino (Fox Mind)

Jeux coopératifs Tous les joueurs se battent contre un défi. Donc ils doivent coopérer pour gagner. Comptons les petits poissons (Haba). Jouer avant que la glace n’envahisse la mer. Le verger (Haba)

Livres Mallette d’albums : Découvrir les formes et les grandeurs avec les albums Situations jeux pour des apprentissages mathématiques en maternelle (Retz) (-)Les Cahiers Fourmi de la classe maternelle : SPATIA