Le nouveau programme de 4ème En application pour la rentrée 2007

Documents utilisés : Nouveau programme de 4ème Les documents d’accompagnement

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Rappels : Obliger ou inciter le plus possible les élèves à se mettre en « activités mathématiques ». Mettre les élèves (souvent passifs en cours) en situation de « recherche de problèmes ».

L’enseignant veillera régulièrement: À se poser la question  « Quel problème at-on posé à l’élève ? » À ne pas se contenter « des applications de cours », mais aider l’élève à se questionner dans l’acquisition de son apprentissage.

Justification du produit en croix Calcul numérique avec habillage ou pas. On part d’un tableau de proportionnalité. Introduction d’une seule lettre On arrive à la généralisation Réciproque du produit en croix

Calcul numérique (avec habillage ou pas) On part d’un tableau de proportionnalité Activité 1 : Mise en évidence du produit en croix On considère le tableau suivant : Nombre de fleurs 3 5 8 Prix en € 4,2 7 11,2 Question : Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs ?

Calcul numérique (avec habillage ou pas) On part d’un tableau de proportionnalité Activité 1 : Mise en évidence du produit en croix On considère le tableau suivant : Nombre de fleurs 3 5 8 Prix en € 4,2 7 11,2 Question :Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs ? Réponse attendue :

Calcul numérique (avec habillage ou pas) On part d’un tableau de proportionnalité Activité 1 : Mise en évidence du produit en croix On considère le tableau suivant : Nombre de fleurs 3 5 8 Prix en € 4,2 7 11,2 Question :Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs ? Réponse attendue : Quel est le prix d’une fleur ?

Calcul numérique avec habillage ou pas On part d’un tableau de proportionnalité Activité 1 : Mise en évidence du produit en croix On considère le tableau suivant : Nombre de fleurs 3 5 8 Prix en € 4,2 7 11,2 Question :Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs ? Réponse attendue : Quel est le prix d’une fleur ? Réponse attendue: car

On choisit deux colonnes du tableau : 3 5 4,2 7 Calculer 3x7 puis 4,2x7 Comparer les résultats. Reprendre avec d’autres colonnes. Conjecturer. (Nécessité d’insister lors de la conjecture sur l’égalité des quotients.)

x 2. Introduction d’une seule lettre. Activité 2 : ( Mise en évidence du produit en croix avec introduction d’une seule lettre.) Ce tableau est de proportionnalité : 5 17 7 x On regarde la démarche  Quelle relation peut-on écrire entre les nombres : 5 ; 17 ; 7 et x ?

x 2. Introduction d’une seule lettre. Activité 2 : ( Mise en évidence du produit en croix avec introduction d’une seule lettre.) Ce tableau est de proportionnalité : 5 17 7 x On regarde la démarche  Quelle relation peut-on écrire entre les nombres : 5 ; 17 ; 7 et x ? Réponse attendue : 5 x x = 7 x 17

Déterminer la valeur de x en utilisant l’expression précédente. Réponse attendue :

Démontrons ce résultat ( A l’aide du coefficient de proportionnalité ) Quel est le coefficient de proportionnalité k permettant de passer de la 1ère colonne à la 2ème colonne du tableau? 5 17 7 x

Démontrons ce résultat ( A l’aide du coefficient de proportionnalité ) Quel est le coefficient de proportionnalité k permettant de passer de la 1ère colonne à la 2ème colonne du tableau? Réponse attendue : puis 5 17 7 x

x Démontrons ce résultat : ( A l’aide du coefficient de proportionnalité ) Quel est le coefficient de proportionnalité k permettant de passer de la 1ère colonne à la 2ème colonne du tableau. Réponse attendue : puis Déterminer la valeur de x en utilisant le coefficient de proportionnalité k. 5 17 7 x

Démontrons ce résultat ( A l’aide du coefficient de proportionnalité ) Quel est le coefficient de proportionnalité k permettant de passer de la 1ère colonne à la 2ème colonne du tableau? Réponse attendue : puis Déterminer la valeur de x en utilisant le coefficient de proportionnalité k. Réponse attendue : 5 17 7 x

Démontrons ce résultat : (Avec l’introduction du quotient) Ce tableau étant de proportionnalité, quelle égalité sur les quotients peut on écrire ? 5 17 7 x Rappelez ce que cela signifie en terme de quotient. Réponse attendue : est le nombre qui multiplié par … donne .... Le quotient de 7 par 5 est égal au quotient de x par 17. Ainsi, exprimez x en utilisant les nombres 5; 17; 7. Réponse attendue :

3. On arrive à la généralisation Activité 3 : Généralisation du produit en croix Quelle égalité sur les quotients peut-on écrire, pour exprimer que ce tableau est un tableau de proportionnalité. réponse attendue: ou « ou les relations inverses » Que peut on écrire en terme de produits en croix ? réponse attendue : ou ad=bc a c b d

Résumé de cours : Si ce tableau : est un tableau de proportionnalité alors ad=bc. a c b d

Démontrons ce résultat à partir de l’interprétation du quotient. En utilisant, l’égalité suivante : Exprimer a en fonction de b, c et d. Réponse guidée par l’enseignant  : Cela signifie en terme de quotient que :     Autre démonstration de ce résultat à partir de la différence :

4. Réciproque du produit en croix Activité 4 : Réciproque du produit en croix Si on a : , quelle égalité de quotients peut-on écrire ? a) Justifier votre résultat à l’aide du quotient . b) Justifier votre résultat en utilisant la définition de l’inverse. c) Que peut-on alors dire de ce tableau ? a c b d