Tirer les enseignements des évaluations pour améliorer les performances des élèves en Mathématiques D’après le document de Mme Marie Mégard Inspectrice générale – groupe de l’enseignement primaire

I) Evolution des performances des élèves II) Les implications des programmes 2008 III) Les caractéristiques de la didactique des Mathématiques IV) Les enseignements des évaluations nationales au CM2

Le dispositif de l’évaluation sur un échantillon de la DEPP 1987 1999 Où en sont nos élèves? Enquète PISA et PIRLS Le dispositif de l’évaluation sur un échantillon de la DEPP 1987 1999 2007

Calcul – scores

Inégalités sociales

Quel enjeu pour l’enseignement des mathématiques à l’école primaire ? L’enjeu est clairement d’inverser la tendance Nous devons agir tous ensemble Il n’y a pas de fatalité : les résultats des élèves d’autres pays de l’UE le prouvent Postulat : l’action des maîtres dans les classes peut améliorer les résultats des élèves

Les objectifs généraux de l’enseignement des mathématiques à l’école primaire « agir dans sa vie quotidienne et se préparer à la poursuite d’études au collège » Moyens : Apprendre à résoudre des problèmes Se doter de connaissances et d’automatismes assurés

Les programmes 2008 « Les programmes sont précis et détaillés en matière d’objectifs et de contenus à enseigner tout en étant ouverts en termes de méthode ». « Chacun s’accorde aujourd’hui sur l’utilité d’un apprentissage structuré des automatismes et des savoir-faire instrumentaux comme celle du recours à des situations d’exploration, de découverte ou de réflexion sur des problèmes à résoudre. L’accès au sens et à l’acquisition des automatismes ne sont pas antinomiques ». « Si le maître est d’abord le maître du choix de sa méthode, il est au service des progrès de ses élèves par rapport aux objectifs des programmes ». La liberté pédagogique des enseignants implique une nécessité : l’évaluation des acquis des élèves.

Les programmes Cycle des apprentissages fondamentaux MATHÉMATIQUES L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires du CP et du CE1. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Conjointement une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes s’installent. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. 1 - Nombres et calcul Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1 000. Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent. Ils mémorisent et utilisent les tables d’addition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent à résoudre des problèmes faisant intervenir ces opérations. Les problèmes de groupements et de partage permettent une première approche de la division pour des nombres inférieurs à 100. L’entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. 2 - Géométrie Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique. 3 - Grandeurs et mesures Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre), et de temps (heure, demi heure), la monnaie (euro, centime d’euro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix. 4 - Organisation et gestion des données L’élève utilise progressivement des représentations usuelles : tableaux, graphiques.

Les programmes Cycle des approfondissements La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d’approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement.  2 - Géométrie L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure. Les relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment. L’utilisation d’instruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé, pliage. Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le cercle : - description, reproduction, construction ; - vocabulaire spécifique relatif à ces figures : côté, sommet, angle, diagonale, axe de symétrie, centre, rayon, diamètre ; - agrandissement et réduction de figures planes, en lien avec la proportionnalité. Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide. - reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ; - vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face. Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l’occasion d’utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé. 3 - Grandeurs et mesures Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre d’un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit. Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle. Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus. Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier. Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés. La monnaie La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et, à leur donner sens. À cette occasion des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées. 4 - Organisation et gestion de données Les capacités d’organisation et de gestion des données se développent par la résolution de problèmes de la vie courante ou tirés d’autres enseignements. Il s’agit d’apprendre progressivement à trier des données, à les classer, à lire ou à produire des tableaux, des graphiques et à les analyser. La proportionnalité est abordée à partir des situations faisant intervenir les notions de pourcentage, d’échelle, de conversion, d’agrandissement ou de réduction de figures. Pour cela, plusieurs procédures (en particulier celle dite de la “règle de trois”) sont utilisées. MATHÉMATIQUES La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision. Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, l’élève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue d’apprendre à résoudre des problèmes. Il renforce ses compétences en calcul mental. Il acquiert de nouveaux automatismes. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite d’études au collège. 1 - Nombres et calcul L’étude organisée des nombres est poursuivie jusqu’au milliard, mais des nombres plus grands peuvent être rencontrés. Les nombres entiers naturels : - principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture des nombres ; - désignation orale et écriture en chiffres et en lettres ; - comparaison et rangement de nombres, repérage sur une droite graduée, utilisation des signes > et < ; - relations arithmétiques entre les nombres d’usage courant : double, moitié, quadruple, quart, triple, tiers..., la notion de multiple. Les nombres décimaux et les fractions : - fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur ; - nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction de leur position, passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement, comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée d’un décimal à l’unité près, au dixième près, au centième près. Le calcul : - mental : tables d’addition et de multiplication. L’entraînement quotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés. - posé : la maîtrise d’une technique opératoire pour chacune des quatre opérations est indispensable. - à la calculatrice : la calculatrice fait l’objet d’une utilisation raisonnée en fonction de la complexité des calculs auxquels sont confrontés les élèves.

A la fin de l’école primaire, tout élève doit : savoir compter avec les nombres entiers être capable de résoudre des problèmes simples relevant des quatre opérations donner du sens aux principales grandeurs objectifs essentiels des apprentissages du cycle II se renforcent au cycle III comprendre et savoir utiliser les nombres décimaux être capable d’analyser, à son niveau, des données en vue de leur traitement s’être approprié les rudiments de géométrie plane

Exemple : progression des apprentissages sur les nombres décimaux la suite orale des nombres à la maternelle ; l’écriture des nombres entiers au cycle 2 : principe de la numération décimale, irrégularité de leur désignation orale ; comparer et ranger des nombres ; introduction des nombres décimaux au CM1 lien avec les fractions décimales lien avec les grandeurs partage de l’unité Comparaison … approfondir au CM2 ; plus de décimales produire des décompositions valeur approchée Ce qui est visé en fin de CM2 ;

Exemple : Progression des apprentissages en vue de la résolution des problèmes de proportionnalité au cycle 2 les grandeurs ; premières mesures relations entre les nombres organiser les données d’un problème en vue de sa résolution Approche à travers les problèmes additifs ou multiplicatifs au cycle 3 des premiers tableaux de valeurs aux tableaux de proportionnalité lien avec les problèmes multiplicatifs approche des propriétés de linéarité passage par l’unité mesures de grandeurs ; grandeurs quotient (CM2)

Ce qui suppose : Des connaissances : Des automatismes : suite des nombres ; principe de la numération de position ; qu’est-ce qu’un angle droit ? ..... Des automatismes : dans les connaissances : tables ; opérations ; utiliser l’équerre… dans les raisonnements : sens des opérations ; calcul mental résolution de problèmes « simples » Le goût de la recherche et du raisonnement Résolution de problèmes « non simples » Recherche d’information dans des situations complexes

Qu’appelle-t-on automatismes en mathématiques? Des techniques et des raisonnements élémentaires disponibles immédiatement pour des tâches simples, indispensables pour l’élaboration de raisonnements complexes, qui s’acquièrent dans la durée, en « automatisant » certaines procédures ou raisonnements courants, utiles, ayant valeur de méthode. Des exemples d’automatismes : En calcul Techniques opératoires et sens des opérations Procédure de calcul mental En géométrie Dessin à main levée des principales figures Disponibilité immédiate de leurs principales propriétés Utiliser, l’équerre, le compas …

Qu’appelle-t-on automatismes en mathématiques? Automatismes en situation problème Exemple : Trouvez le nombre de tulipes dans chacun des massifs décrits ci-dessous : Un massif de fleurs, formé de 60 tulipes rouges et de 15 tulipes jaunes Un massif de 60 rangées de 15 tulipes Un massif de 60 fleurs, formé de tulipes rouges et de 15 jonquilles

Les implications des programmes 2008 Assurer un enseignement explicité des notions définies en extension dans un programme précis Réinvestir ces notions dans des situations mobilisatrices pour les élèves Articuler automatisme et sens Construire progressivement les apprentissages selon une démarche spiralaire Mettre l’élève en situation de réussite en lui proposant des tâches accessibles Apporter des aides aux élèves, en situation et non différées (prise en compte immédiate des erreurs)

Enseigner les mathématiques en mettant en œuvre les caractéristiques de ce domaine : Discipline fondamentale Discipline cumulative Discipline de formation de pensée

Les mathématiques : une discipline fondamentale Loi d’orientation pour l’avenir de l’école du 21 avril 2005 A l’école primaire, adéquation complète entre les attendus des programmes et les paliers du socle commun des connaissances et des compétences.

PREMIER PALIER POUR LA MAÎTRISE DU SOCLE COMMUN : COMPÉTENCES ATTENDUES À LA FIN DU CE1 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique L'élève est capable de : écrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000 ; calculer : addition, soustraction, multiplication ; diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient exact est entier) ; restituer et utiliser les tables d'addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples ; situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ; utiliser la règle et l'équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle ; utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure ; être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs ; résoudre des problèmes très simples ; observer et décrire pour mener des investigations ; appliquer des règles élémentaires de sécurité pour prévenir les risques d'accidents domestiques.

DEUXIÈME PALIER POUR LA MAÎTRISE DU SOCLE COMMUN : COMPÉTENCES ATTENDUES À LA FIN DU CM2 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique A) Les principaux éléments de mathématiques L'élève est capable de : écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu'au centième) et quelques fractions simples ; restituer les tables d'addition et de multiplication de 2 à 9 ; utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) ; calculer mentalement en utilisant les quatre opérations ; estimer l'ordre de grandeur d'un résultat ; utiliser une calculatrice ; reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels ; utiliser la règle, l'équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision ; utiliser les unités de mesure usuelles ; utiliser des instruments de mesure ; effectuer des conversions ; résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, "règle de trois", figures géométriques, schémas ; savoir organiser des informations numériques ou géométriques, justifier et apprécier la vraisemblance d'un résultat ; lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques. B) La culture scientifique et technologique L'élève est capable de : pratiquer une démarche d'investigation : savoir observer, questionner ; manipuler et expérimenter, formuler une hypothèse et la tester, argumenter ; mettre à l'essai plusieurs pistes de solutions ; exprimer et exploiter les résultats d'une mesure ou d'une recherche en utilisant un vocabulaire scientifique à l'écrit et à l'oral ; maîtriser des connaissances dans divers domaines scientifiques ; mobiliser ses connaissances dans des contextes scientifiques différents et dans des activités de la vie courante (par exemple, apprécier l'équilibre d'un repas) ; exercer des habiletés manuelles, réaliser certains gestes techniques.

Fonction du nouveau livret scolaire Circulaire N° 2008-155 du 24 novembre 2008 – B0 N° 45 Validité sur l’ensemble de la scolarité dans l’enseignement du 1er degré Suivi de la progression des acquisitions des compétences et des savoirs Bilans périodiques Attestations de maîtrise des paliers I et II

Les mathématiques : une discipline cumulative les connaissances et les compétences s’acquièrent progressivement, et toute lacune à un niveau donné peut s’avérer un obstacle difficilement surmontable aux niveaux suivants être vigilant à chaque étape les apprentissages se construisent dans la durée, par approfondissements et enrichissements successifs penser les progressions en terme « spiralaire »

Extraits des évaluations CM2 A partir de quelques productions d’élèves Mise en évidence de la dimension cumulative Repérage des démarches

Oui parce que ça ne fait que 3950 g et que dans le sac il y a 6 kg soit 6000 g

J’ai fait ajouté toutes les quantités puis comme je sais que 6 kg = 6000 g alors 3950 g entre dedans

Je fais à chaque fois le nombre + sa moitié parce que 6 + sa moitié font 9

moitié 1L = 50 cL moitié de 250g = 125g 250g + 125g = 375g OEuf 4 moitié = 2 4 + 2 = 6 moitié 2 = 1 2 + 1 = 3 huile ? moitié 1L = 50 cL

La proportionnalité le sens doit être travaillé dès le cycle II (problèmes de type multiplicatif) enseigner les propriétés de linéarité comme pour toute résolution de problème, la connaissance des nombres et la maîtrise du calcul sont incontournables les habitudes de classe se révèlent

La résolution d’un problème de géométrie peut engager des compétences qui touchent à tous les domaines.

Les mathématiques sont une discipline de formation de la pensée L’apprentissage et la pratique des mathématiques développent le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision. Programmes de l’école élémentaire, BOEN HS n°3 du 1 9 juin 2008

Résoudre des problèmes demande un entraînement mobilise toujours des connaissances et des automatismes nombres et du calcul sens des opérations grandeurs usuelles et unités qui les mesurent méthodes de raisonnement

la résolution d’un problème elle engage de nombreux automatismes : le maître doit les repérer ; souvent, plusieurs démarches possibles ; en formation une démarche partielle mérite d’être valorisée par l’identification des réussites (et non « en cours d’acquisition »); apprendre à expliquer son raisonnement : retravailler des productions d’écrit ; être exigeant ;

A la recherche du sens Evaluation : début de classe de sixième Julie a acheté des cadeaux pour Noël deux CD à 8€ l’un, quatre albums à 6€ chacun, un D.V.D. Elle a payé 56€ . Quel est le prix du D.V.D.? Réponse d’un élève : 8€ x 6€ = 54€ Le prix du DVD est 2€

Evaluation Nationale CM2 = 2010

Les enseignements de l’évaluation CM2 Items les plus échoués Champ Compétence Cahier élève Livret enseignant 62 Organisation et gestion de données Lire ou produire des tableaux et les analyser p 14 et 15 p 18 64 Nombres Ecrire et nommer les nombres entiers, décimaux et fractions P 16 P19 67 Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement P20 71 Ordonner, comparer, encadrer des nombres. Les placer sur une droite graduée P 17 P21 P22 73 P 23

Les enseignements de l’évaluation CM2 Items les plus échoués Champ Compétence Cahier élève Livret enseignant 85 Grandeurs et mesures Connaître les unités de temps et leur relations et calculer des durées. Lire l’heure sur un cadran à aiguilles. P 20 P26 87 Géométrie Reconnaître et vérifier à l’aide d’instruments que des droites sont // ou perpendiculaires P 21 P 27 91 Tracer une figure à partir d’un schéma de construction, d’un modèle ou d’un schéma codé P 22 P 28 92 P 23 P 29 99 – 100 Organisation et gestion de données Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité P 24 P 32

Item 62 - Lire ou produire des tableaux et les analyser

Item 62 - Lire ou produire des tableaux et les analyser

Item 64 Ecrire et nommer les nombres entiers, décimaux et fractions

Item 67 - Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement

Item 71 : Ordonner, comparer, encadrer des nombres Item 71 : Ordonner, comparer, encadrer des nombres. Les placer sur une droite graduée

Item 73 : Ordonner, comparer, encadrer des nombres Item 73 : Ordonner, comparer, encadrer des nombres. Les placer sur une droite graduée

Item 85 : Connaître les unités de temps et leurs relations et calculer des durées. Lire l’heure sur un cadran à aiguilles.

Item 87 : Reconnaître et vérifier à l’aide d’instruments que des droites sont // ou perpendiculaires

Item 91 : Tracer une figure à partir d’un schéma de construction, d’un modèle ou d’un schéma codé

Item 92 : Tracer une figure à partir d’un schéma de construction, d’un modèle ou d’un schéma codé 1/2

Item 92 : Tracer une figure à partir d’un schéma de construction, d’un modèle ou d’un schéma codé 2/2

Items 99 – 100 : Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité 1/2

Items 99 – 100 : Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité 2/2

Les acquis des élèves : à moduler suivant les écoles Au niveau national De faibles compétences en résolution de problèmes Faible maîtrise des opérations posées, hormis l’addition Faiblesses récurrentes sur les décimaux Peu d’appropriation des différentes grandeurs Des progrès en géométrie Une bonne maîtrise de l’addition des entiers Une bonne connaissance des entiers, à relativiser toutefois dès lors qu’il s’agit de « grands nombres »

La résolution de problèmes : une notion brouillée Les pratiques des enseignants – Les conclusions du rapport de l’IGEN sont à moduler selon les écoles La résolution de problèmes : une notion brouillée Absence de pratique régulière du calcul mental Peu de différenciation Modalités de travail inappropriées Programmation de cycle négligées Supports écrits

Dispersion des élèves Homogénéité – Hétérogénéité des groupes

Une amélioration qualitative des performances des élèves est possible …….. grâce à l’effet maître !! Cela nécessite l’évolution des certains indicateurs observables : Les emplois du temps et les progressions affichés sont conformes mais concrètement : Les horaires ne sont pas respectés Trop souvent on constate une reproduction à l’identique de la progression de l’an dernier On observe une pratique généralisée du fichier en cycle II, qui tend à gagner du terrain en cycle III Trop rarement un cahier dédié aux mathématiques Pas d’entrainement systématique au calcul, ou alors beaucoup de calculs et très peu de problèmes Peu de traces de calcul mental Peu de différenciation : certains élèves s’ennuient, d’autres ne « suivent » pas Les situations de recherche ne sont pas reliées explicitement à un objectif d’apprentissage Les enseignements des évaluations sont insuffisamment exploités en équipe

Une amélioration qualitative des performances des élèves est possible …….. grâce à l’effet maître !! Il faut utiliser pleinement le temps dédié à la discipline des mathématiques : Pas d’activité sans objet d’apprentissage identifiable et annoncé Pas d’activité sans visée d’acquisitions évaluables Pas d’activité sans conclusion Pas d’élève « laissé pour compte » Pas d’élève « qui s ’ennuie »

Les objectifs généraux de l’enseignement des mathématiques à l’école primaire « agir dans sa vie quotidienne et se préparer à la poursuite d’études au collège »