ATELIERS DE MATHEMATIQUES Editions Nathan Enseigner les mathématiques aux cycles 2 et 3 Dieppe, le 4 avril 2012 Daniel Bensimhon (daniel.bensimhon@ac-paris.fr)

Constats Les évaluations à l’entrée au collège en mathématiques laissent apparaître deux domaines particuliers de difficultés : Le calcul mental La résolution de problème Les comparaisons internationales (PISA/PIRLS) Des élèves français plus angoissés que les autres face aux mathématiques Une faiblesse particulière lorsqu’il faut « prendre des initiatives, expérimenter, faire des essais, critiquer, recommencer… »

1 – Les principaux enjeux de l’enseignement des mathématiques à l’école.

1 – Créer une continuité éducative avec le cycle 3 puis le collège - Bénéficier des enseignements au collège : compétences acquises et à mobiliser. - Construire les bases à l’école primaire pour acquérir ces compétences Les élèves doivent pouvoir mobiliser ces compétences pour : résoudre des problèmes, parvenir à abstraire, à raisonner, à travailler en groupe ou de façon autonome, à exprimer un résultat

A l’école : la séparation progressive des disciplines Cycle 1 : découvrir le monde 1. Découverte sensorielle 2. Exploration du monde de la matière 3. Découvrir le monde animal 4. Découvrir le monde des objets 5.  Repérages dans l’espace 6.  Le temps qui passe 7.  Découverte des formes et des grandeurs 8.  Approche des quantités et des nombres

La séparation progressive des disciplines – programmes 2008 Cycle 2 : mathématiques 1. Nombres et calcul 2. Géométrie 3. Grandeurs et mesures 4. Organisation et gestion de données Cycle 3 : mathématiques 1. Nombres et calcul 2. Géométrie 3. Grandeurs et mesures 4. Organisation et gestion de données

2 – Participer à la formation du futur citoyen Former un futur citoyen et favoriser son insertion dans la « vie sociale » Les mathématiques fournissent des outils pour agir, pour choisir, pour décider dans la « vie courante »  Les mathématiques, un autre moyen d’expression avec un langage propre : schéma, graphique, figures, etc. Elles représentent donc un autre mode de communication Résultats et données fournis par les mathématiques font l’objet d’un examen critique

3 – Aborder la dimension culturelle des mathématiques Penser des objets abstraits comme les nombres, les figures, débattre du « vrai » et du « faux », c’est commencer à s’approprier des éléments de culture scientifique (surtout dans les activités de résolution de problème et de débats qui y sont liés). Mise en perspective historique de certaines connaissances : numérations romaine ou égyptienne par exemple  enrichissement de cette dimension culturelle

4 – Contribuer à la formation générale des élèves Placer l’élève devant des situations problèmes, une démarche fondamentale en mathématiques  favoriser l’initiative, l’imagination et l’autonomie. Confrontation des résultats : compétences dans le domaine de l’argumentation, considérer d’autres points de vue (décentration)  socialisation, écoute et respect de l’autre (un levier parfois plus fort car ancré dans un besoin de classe) Le statut particulier de la preuve en mathématiques qui s’appuie à la fois sur l’expérience, mais aussi sur des connaissances mathématiques Tracés de figures, réalisation de solides, etc.  développer l’attention et le soin.

5 – Exploiter la pluridisciplinarité des mathématiques Aborder cet axe dès l’école élémentaire. Ce n’est pas un objectif poursuivi systématiquement, mais une certaine cohérence et une vigilance doivent être observées. Voici quelques exemples : Vécu corporel d’un espace, d’une position relative… (EPS) Frise chronologique en histoire (placement des nombres sur une ligne graduée) Cartes et échelles en géographie Proportionnalité lors de l’utilisation d’un verre doseur. Fraction décimale…

2 – Comment enseigner les mathématiques ? Une démarche, des contenus

La démarche d’apprentissage Le degré zéro (environnement non exploité)  L’imprégnation  La découverte  L’institutionnalisation  L’application  L’extension

Un concept visé : la symétrie axiale Étape zéro : utilisation du miroir Imprégnation : tampon encreur, papier calque, découpage de ribambelles, frises géométriques Découverte : classer un ensemble de figures (certaines ont un axe de symétrie) Institutionnalisation : notion de symétrie axiale Application : construire le symétrique d’une figure. Extension : symétries plus complexes (éloignement de l’axe)

Les ribambelles

Un concept visé : la division euclidienne Étape zéro : répartitions diverses de collections d’objets pris dans la vie quotidienne Imprégnation : situations de partage quelconque, plus ou moins complexes, à résoudre pour elles-mêmes Découverte : situations de partage sous contraintes (parts égales, reste minimal) Institutionnalisation : la division euclidienne (cycle 3) Application : situations de division euclidienne Extension : division avec de grandes quantités – division avec des décimaux

Mathématiques et socle commun Attitudes attendues en mathématiques dans le cadre de l’acquisition du socle commun à l’issue des cycles 2 et 3 La rigueur et la précision dans les tracés, dans les mesures, dans les calculs Le goût du raisonnement Le réflexe de contrôler la vraisemblance des résultats La volonté de justesse dans l’expression écrite et orale L’ouverture à la communication, au dialogue, au débat L’envie de prendre des initiatives, d’anticiper La curiosité et la créativité La motivation et la détermination dans la réalisation d’objectifs

3 – La résolution de problèmes

La résolution de problèmes Les problèmes ont une place prépondérante dans l’enseignement des mathématiques. Tous les domaines des mathématiques sont concernés

La résolution de problèmes Objectifs poursuivis Viser la maîtrise des connaissances et en assurer l’appropriation Les mathématiques sont perçues et donc vécues comme des moyens, des outils pour anticiper, prévoir et même décider. Constituer une base, un socle sur lequel construire les connaissances ultérieures. Les élèves prennent conscience des limites des connaissances dont ils disposent Passer progressivement d’une solution personnelle à une solution experte Créer des interactions entre élèves Développer la confiance en soi ainsi que l’imagination et le désir de recherche

Apprendre par la résolution de problèmes La solution personnelle Les propres stratégies de l’élève Une avancée vers l’autonomie de l’élève Des activités modulées La solution experte L’élève ne passe pas spontanément à cette solution Apprentissage grâce à des situations Solutions qui permettent d’aborder d’autres solutions personnelles

Des problèmes résistants et de vrais problèmes De cette enveloppe qui contient 7 images, on en retire 3. Combien l’enveloppe contient-elle d’images ? On veut partager équitablement 18 billes entre 3 enfants. Combien faut-il donner de billes à chaque enfant ?

L’autocar (CE) Enoncé : Un autocar qui peut transporter 60 personnes est complet. 45 adultes y sont installés. Tous les autres passagers sont des enfants. Combien y a-t-il d’enfants dans l’autocar ?

L’autocar Calcul expert : deux solutions Calcul de l’élève Soit le complément de 45 à 60 Soit la différence entre 60 et 45 Calcul de l’élève Envisagé spontanément comme un complément 45 + ….. = 60 Aider les élèves à reconnaître la soustraction, solution plus experte pour d’autres nombres (un train de 926 places occupé par 389 adultes)

Problème : les cartes à jouer CM1/CM2

Problème : les cartes à jouer Six groupes d’élèves Trois cartes sont choisies par les groupes d’élèves et mises dans une boîte. Combien de cartes dans la boîte ?  18 60 côtés comptés à partir des cartes choisies Consigne : Trouver le nombre de cartes portant des carrés et les cartes portant des triangles

Problème de recherche : Les cartes à jouer - commentaires Problème posé pas forcément à partir d’un écrit Les élèves doivent facilement s’approprier la situation et se représenter la tâche pour s’y engager Donner un problème de recherche, c’est lancer un défi L’attitude du maître est aussi décisive que le choix du problème : théâtralité lors de la présentation Validation le plus possible à la charge des élèves.

Problème de recherche Les cartes à jouer - La procédure experte Ce problème est une équation à deux inconnues t = nombre de triangles c = nombre de carrés t + c = 18  c = 18 - t 3t + 4c = 60  3t + 4(18 – t) = 60  3t + 72 – 4t = 60  -t = 60 – 72  t = 12  c = 6 Soit : 6 carrés et 12 triangles dans la boite

La cible CE1/CE2

La cible Objectifs poursuivis : Multiples et compléments Énoncé : quand on lance une flèche au centre de la cible, on marque 16 points. Dans la couronne on marque 3 points. Alexandre a obtenu 190 points. Consigne: trouver les quatre façons possibles d’obtenir le score d’Alexandre

La cible Voici la liste des multiples de 16 16 - 32 - 48 - 64 – 80 – 96- 112 – 128 – 144 – 160 - 176 Les compléments à 190 sont - 158 - 142 - 126 - 110 - 94 - 78 - 62 - 46 - 30 - 14 Dans cette liste, les multiples de 3 sont : 174 (58 x 3) 126 (42 x 3) 78 (26 x 3) 30 (10 x 3) Solutions possibles 1 flèche sur le 16 et 58 flèches sur le 3 4 flèches sur le 16 et 42 flèches sur le 3 7 flèches sur le 16 et 26 flèches sur le 3 10 flèches sur le 16 et 10 flèches sur le 3

Même aire, même périmètre CM2

Même aire, même périmètre Objectifs visés : rayons – cercle – périmètre - aire Consigne : Les cinq figures sont formées de deux formes reconnaissables. Elles ont toutes la même aire. Deux seulement ont le même périmètre. Lesquelles ? Donc, C et E ont le même périmètre et la même aire

Mise en œuvre du problème de recherche – une démarche Présentation du problème Un temps de recherche personnelle Un temps de travail en groupe Une mise en commun et un débat Une synthèse Un ou des prolongements

Comment obtenir l’aire de ce cerf-volant ?

Comment obtenir l’aire de ce cerf-volant ? Plusieurs solutions possibles : Calculer la somme des aires des quatre triangles rectangles (des demi-rectangles) L’aire du cerf-volant est égale à la moitié de celle du rectangle dans lequel le cerf-volant est inscrit Et la solution experte ? Une formule : calcul du demi produit des longueurs des diagonales du cerf-volant

Comment obtenir l’aire de ce cerf-volant ?

Lecture des énoncés : une démarche Au cycle 2 puis tout au long du cycle 3, il faut que les élèves soient confrontés aux énoncés sans la médiation d’une première lecture par le maître. Envisager des énoncés adaptés, différenciés, outillés. Les élèves doivent apprendre à naviguer entre données et questions, à passer du texte à d’autres formes de (re)présentations des données (schéma, tableau, graphique, etc.) Ils doivent aussi apprendre à mobiliser leurs connaissances pour se représenter les situations et valider la plausibilité de leurs réponses La médiation par le maître est plus ou moins présente ; elle s’élimine peu à peu à des moments différents selon les élèves. Viser la stabilité des apprentissages. 40

Facteurs de difficulté des énoncés de problèmes 1) La place de la question : fin ou début ?  Inciter à une double lecture quand la question est en position terminale 2) Ordre des données : ordre correspondant à celui du traitement ou non ; ordre syntaxique cohérent ou non…  Proposer des énoncés avec des présentations variées 3) Complexité du texte : phrases complexes, avec des relatives (surtout avec dont) Faire effectuer des reformulations du texte ; reprise des données sous d’autres formes 4) Caractère plus ou moins complet des données : données indispensables et données parasites Les élèves ont tendance à « tout » utiliser dans un énoncé. Repérer les données inutiles (les isoler, les supprimer). 41

Facteurs de difficulté des énoncés de problèmes 5) Vocabulaire univoque ou non : un lexique spécifique aux mathématiques ou non. Des formules peuvent poser des problèmes (« des livres à 12 euros pièce »)  Élaborer un répertoire (comme dans les autres domaines). Des séances spécifiques (décrochées) d’étude de la langue. 6) Informations données sous plusieurs formes : textes, graphiques, photos, schémas. Parvenir à relier ces informations diverses  Éclaircir le caractère complémentaire des informations 7) Problèmes à une ou plusieurs étapes de résolution : les étapes sont suggérées ou non par la question Veiller à passer d’énoncés où les étapes sont suggérées par les questions à des énoncés présentant uniquement la question. Un aspect possible de différenciation pédagogique (texte plus ou moins « guidant », certaines étapes suffisantes…) 42

Où trouver de tels problèmes de recherche ? Les rallyes mathématiques proposent ce genre de problèmes Soit dans les circonscriptions, dans les académies…. Soit sur des sites Internet : taper « rallye mathématique » dans Google Quelques sites et en particulier la revue Grand N pour les enseignants www.crdp.ac-grenoble.fr/imel/nx/

Quelques sites ressources Liste de nombreux sites http://stepfan.free.fr/dos/ElemMaths.htm Site très varié et accessible http://lescoccinelles.free.fr Sur les jeux mathématiques http://jclebreton.ouvaton.org

4 - Les nombres

Connaître les nombres Savoir les désigner Savoir les Savoir les opérer Savoir les utiliser pour résoudre des problèmes Savoir les utiliser pour mesurer Savoir les désigner Connaître les nombres Savoir les opérer Savoir les comparer

Organisation et gestion des données Calcul Calcul automatisé Calcul réfléchi Calcul posé Calcul instrumenté Connaissance des nombres entiers naturels Apprendre les nombres entiers naturels Grandeurs et mesures Organisation et gestion des données Résoudre des problèmes d’anticipation, de partage. Utiliser des graphiques, des tableaux…

De la maternelle au CM2 La construction du nombre Désignation d’une quantité La numération décimale Le nombre : objet d’étude Différencier valeur et quantité Les grands nombres Insuffisance des nombres entiers

Apprentissage de la numération De la récitation de la comptine numérique à la désignation d’une quantité L’aspect algorithmique de la suite écrite chiffrée Du dénombrement à la désignation écrite chiffrée des quantités Numération et calcul

DVD « Enseigner les mathématiques au cycle 2 » : deux situations d’apprentissage Scéren : CRDP Académie de Créteil

Les nombres et le sens Deux types de problèmes : Ceux qui donnent du sens aux nombres en tant que quantité, mesure ou position. Ceux qui relient le nombre et sa désignation Règles du fonctionnement de notre système de numération écrite et orale Relation d’ordre entre les nombres 1) Il y a 18 boules dans cette urne, cet enfant a 8 ans et il pèse 25kg, ce train est le 3ème qui part à Paris Pour la mesure: le nombre est la quantité d’étalon mis en jeu 2) 10 chiffres pour écrire tous les nombres Échanges de 10 contre 1- il en faut 10 pour passer dans l’ordre supérieur La valeurde chaque chiffre dépend de sa position dans le nombre

Quelles difficultés repérées en fin de CP ? La connaissance des compléments à 10 Passage de la désignation orale à la désignation écrite Les relations arithmétiques entre les nombres : double et moitié

La numération : les grands nombres

Lire des grands nombres

Lire des grands nombres

Le modèle « Planchon » Une approche « nouvelle » de la numération Chaque graphique correspond à un nombre (lire/écrire/décomposer le nombre) Poursuivre le tableau vers la gauche : les « milliards » Poursuivre le tableau vers la « droite » : les dixièmes (colonne B’), centièmes (C’), millièmes (D’) Comparaison de nombres, conversions…

Du côté des jeux mathématiques

Deux coffrets de 3 jeux – CRDP de Franche-Comté Jeux créés par Didier Faradji

Les anneaux pour jouer

Equiplay : dès 4/5 ans Le vainqueur est le premier qui parvient à sélectionner quatre cases avec ses quatre anneaux en faisant en sorte qu’elles contiennent autant de points blancs que de noirs.

quadruplay – octuplay dès 5 ans Obtenir 4 (quadru) ou 8 (octu) en faisant la somme des points contenus dans ses anneaux

Le Décadex : dès 6 ans Chaque joueur ou équipe dispose de quatre anneaux d’une même couleur Le but consiste à totaliser le premier 10 en additionnant les quatre valeurs sélectionnées Les quatre cases réunies doivent être de couleur différente

Magix 34- pour 7/8 ans Chaque joueur ou équipe dispose de quatre anneaux d’une même couleur Le but consiste à totaliser le premier exactement 34 en additionnant les quatre valeurs sélectionnées. Une fois les anneaux déposés sur le plateau, ils peuvent être déplacés pour arriver à 34 Les tracés colorés correspondent aux symboles « plus petit que » et « plus grand que »

5 - Le calcul

Deux natures de calcul mental : le calcul automatisé et le calcul réfléchi

Calcul mental/Calcul posé Une bonne maîtrise du calcul mental est indispensable pour les besoins de la vie quotidienne Le calcul mental est nécessaire pour une bonne compréhension de certaines notions mathématiques Le déficit de maîtrise du calcul mental fragilise gravement l'apprentissage des techniques écrites. Ce qu'on désigne sous le terme de calcul écrit (l'opération posée) requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental. Sans disponibilité rapide des résultats des tables, il n'y a pas d'accès possible aux techniques opératoires  calcul automatisé.

Fonction pédagogique du calcul mental Le calcul mental permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels La pratique du calcul réfléchi s'appuie, le plus souvent implicitement, sur les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première compréhension - Le calcul réfléchi nécessite l'élaboration de procédures originales et, par là, contribue au développement des capacités de raisonnement des élèves

Le calcul mental, une aide à la représentation des nombres Les représentations des nombres sont intériorisées en prenant appui sur des représentations imagées ou symboliques. Dans les premières, on trouve les constellations (dés, dominos, jeu de cartes) ou des figurations à l'aide des doigts. Les secondes sont liées aux codages issus des systèmes de numération, chiffrée ou verbale. Il est donc important, dans les premiers apprentissages des nombres, de consolider les images mentales des « petits nombres », à partir de leurs représentations sous forme de constellations. La mémorisation dans la table d’addition fonctionne essentiellement sur un format acoustique (verbal). Ainsi, parmi les résultats symétriques (comme 7 + 5 et 5 + 7), l'un est toujours plus disponible que l'autre. De la même façon, les doubles sont toujours rappelés de façon plus sûre et plus rapide que les autres résultats, ce qui permet des stratégies efficaces de calcul.

Des impératifs ! L’objectif est bien que, au début du cycle 3, les élèves soient capables de fournir instantanément tous les résultats des tables d'addition, ainsi que les différences et les compléments associés. Pour les résultats multiplicatifs, la reconstruction est plus difficile que pour l’addition. Il faut viser, avant la fin du cycle 3, une mémorisation totale des produits des tables et leur utilisation pour répondre à des questions du type : « Combien de fois 7 dans 56 ? », « 56 divisé par 7 ? »

Proposition de progression en calcul mental

Principes : Proposer des séquences assez courtes (elles sollicitent beaucoup). Elles doivent être quotidiennes au cycle 2 Des exercices faciles au début (mémoire et attention mobilisées) Des exercices plus complexes (stratégies plus nombreuses) Terminer par un exercice difficile (obtenir un résultat et/ou ouvrir la réflexion) Le calcul mental prescrit que l’on ne pose pas d’opérations mais le recours à l’écrit est possible Modalités : L’énoncé de la question est oral ou écrit (s’il est écrit, il doit être effacé au bout de quelques instants) L’élève écrit la réponse (ardoise) ou l’énonce oralement Il est autorisé à écrire des résultats intermédiaires mais pas l’opération Il lui est possible de consulter visuellement une graduation, un tableau numérique, des tables

Calcul additif/soustractif Ajouter/retrancher 1 Ajouter/retrancher 10 (à partir d’une dizaine entière ; à partir d’un nombre quelconque) Ajouter/retrancher 2 (à partir d’un nombre pair/impair) Ajouter/retrancher 5 (à partir d’un nombre en « 0 » ou « 5 ») Complément à 10 (jeux de cartes, de dominos, « faire dix ») Doubles (et moitiés) Ajouter/retrancher 11 ou 9 (+ 10+ 1 : + 10- 1)  Vers le plus complexe Pas de retenues – dizaine entière (23 + 17) Passage de dizaine (23 + 18)

2) Calcul approché situation sur une graduation : frises numériques affichées Arrondir : trouver un nombre rond  123 + 732 ? 120 + 730 = 850. Compensation : 1542 + 728 ?  1540 + 730 = 2270 ou 1550 + 750 = 2300

3) Calcul Multiplicatif Opérations multiplicatives simples (par 10, 100, 1000…). Demander un résultat à l’écrit (section par tanches de 3) Doubles et moitiés (nombres « ronds » puis quelconques à deux chiffres : pairs ou impairs) Les tables : 2 puis 5, puis 4, puis 6, puis les autres. Éviter la récitation dans l’ordre Décomposition/ calcul approché :  123 x 12 = 120 x 12 + 3 x 12 = 1440 + 36 = 1476. Les résultats partiels peuvent être écrits.  Importance du calcul approché : 123 ˜ 100 et 12 ˜ 10 donc 123 x 12 ˜ 1000. Ou 120 x 10 ; 120 x 12… ou en proposant un choix parmi des nombres proches ou non du résultat : 18 000 ; 1 400… 4) Division - C’est surtout le calcul approché qui est visé.

Pistes pour apprendre les tables de multiplication

Pistes pour apprendre les tables de multiplication

Propositions pour la technique opératoire de la multiplication

Technique de la multiplication « ERMEL »

Jeux de calculs multiplicatifs

8 - Organisation et gestion des données 6 - Géométrie 7 - Grandeurs et mesures 8 - Organisation et gestion des données

Géométrie La géométrie développe l’attention, l’observation, le soin et le goût du travail bien fait Proposer une pratique récurrente du tracé, même de simples reproductions de figures Donner le temps aux élèves de se tromper, de recommencer

Géométrie L’enseignement de la géométrie renvoie à deux champs de connaissances : Les connaissances spatiales Les connaissances géométriques Repérages précis Lexique précis La géométrie, un domaine pluridisciplinaire par excellence (EPS, découverte du monde – espace- arts visuels)

Grandeurs et mesures au cycle 2 Partir le plus possible de situations vécues par les élèves Au cycle 2, étude de la notion de longueur et sensibilisation à celles de masses et de durée. S’ajoute la monnaie. Démarche Par comparaison directe Par comparaison indirecte Par mesurage (étalon)  accès à la « mesure » au sens mathématique du terme.

Organisation et gestion des données au cycle 2 Au CP Lire ou compléter un tableau dans des situations concrètes simples. Au CE1 Utiliser un tableau, un graphique. Organiser les informations d’un énoncé.

Organisation et gestion des données au cycle 3 (extraits) Au CE2 Organiser ders données pour résoudre un problème Utiliser un graphique, un tableau Au CM1 Construire un tableau, un graphique Situations très simple de proportionnalité : « règle de trois » Au CM2 Proportionnalité : pourcentage, échelles, conversions : « règle de trois »

Des graphiques

L’erreur, parlons-en !

L’élève peut être « victime » d’habitudes scolaires Erreurs résultant d’habitudes scolaires ou d’un mauvais décodage des attentes du maître L’élève peut être « victime » d’habitudes scolaires Idée de proximité « temporelle » L’entretien oral avec l’élève est essentiel pour mieux comprendre les erreurs « Lors d’un exercice qui consiste à écrire soixante-trois en chiffres, des élèves écrivent 57. Explication d’un élève : « En mathématiques, on fait faire des opérations. Soixante moins trois, je fais la soustraction et je trouve 57 » L’erreur était juste un problème d’interprétation du tiret…

Chercher à parler avec l’élève Des entretiens individuels pour faire comprendre d’où vient l’erreur Proposer des phases de travail individuel Observer de façon active comment procède l’élève : Par exemple, en regardant l’élève en train d’effectuer une opération, interroger : Pourquoi as-tu mis 5 ici ? Es-tu certain du résultat ? Peux-tu recalculer devant moi… Il faut faire « penser tout haut » autant qu’on le peut. La correction immédiate est essentielle car elle évite l’installation d’erreurs.

Dans la bergerie…. Dans une bergerie, il y a 125 moutons et 5 chiens. Quel est l'âge du berger ? Réponse : 25 ans. La maîtresse demande pourquoi : « 125 plus 5, c'est trop gros, 125 moins 5 aussi, 125 divisé par 5 ça va et ça tombe juste ! » Dans ce type de problèmes, les élèves ont intégré plusieurs règles implicites : - les questions qu'on leur pose doivent aboutir obligatoirement à des opérations. - c'est sur les opérations qu'ils seront jugés. - il faut donner une réponse car, ne pas répondre c'est faire preuve d'indocilité ! - et puis les maths… c’est très important !

Eléments de différenciation en mathématiques

Quelques pistes simples en ce qui concerne la différenciation pédagogique en mathématiques Proposer un nombre d’exercices moins important pour certains élèves donner moins d’opérations à calculer Introduire des activités plus simples pour certains, « outillées » pour d’autres, déjà amorcées…. donner des opérations plus simples donner les calculs intermédiaires Ménager des étapes supplémentaires dans la résolution de certains problèmes Les phases de travail individuelles sont primordiales. Elles permettent au maître de constater les difficultés et d’instaurer un dialogue avec l’élève Proposer des aides ponctuelles (tables, coup de pouce…) Inverser toutes ces idées pour une différenciation « vers le haut »

Exemple pour un problème Un commerçant vient de recevoir 15 caisses de pommes contenant chacune 5 kilogrammes, 10 caisses de poires contenant également 5 kilogrammes. Il a payé les pommes 1,10 euro le kilo et les poires 1,20 euro le kilo. Il les revend en augmentant de 50 centimes le prix du kilo de pommes et de 60 centimes celui des poires. Des questions possibles de difficultés variables Une seule question pour les élèves les plus à l’aise Quelle sera la recette totale de ce commerçant lorsqu’il aura tout vendu ? Des questions intermédiaires possibles Quel est le prix de vente d’un kilo de poire… de pomme ? Quelle est la recette pour les poires…pour les pommes ? Des questions très délicates, plus expertes : Quelle recette pour une remise de 10 euros (ou de 10 %) en cas de vente de la moitié des fruits à un seul client ? Quelle recette sachant que 20 kilos de pommes et 15 kilos de poires sont invendus car avariés ? 100

La différenciation par les ressources disponibles et les contraintes imposées Le jet d’un dé pour augmenter le trésor (des perles) en GS/CP La taille du trésor initial  première variable La valeur du dé  seconde variable Pour certains élèves, le dé peut porter des nombres figurés (des points) ou des écritures Le dé peut rester visible ou disparaître rapidement (mise en mémoire, abstraction) Jouer sur la contrainte du temps (plus ou moins de temps selon les élèves) Résultat demandé uniquement par écrit pour certains élèves (valeur et quantité) pour un problème lié à des échanges

La banque d’outils d’aide à l’évaluation

La banque d’outils d’aide à l’évaluation http://www.banqoutils.education.gouv.fr/

Autre site sur l’évaluation www.inattendu.org Adéquation aux programmes 2008 (évaluations, livrets scolaires, programmations de cycle, par niveau, etc.)

La réalité est une approximation des mathématiques

(Montesquieu) Les gens qui veulent toujours enseigner   Les gens qui veulent toujours enseigner empêchent beaucoup d’apprendre. (Montesquieu)